Dm Coordonnées polaires et trigonométrie

Bonsoir Blagu'cuicui

Voila mon Enoncé :

(O;i;j) est un repère orthonormal direct. La rotation R de centre O et d'angle 2π/3 transforme le point A de coordonnées polaire (1; α) en B et le point B en C.

On Cherche a démontrer que :

(vecteur OA) + (Vecteur OB) + (vecteur OC) = (vecteur 0)

et en déduire que :

cos α + cos ( α +2π/3) + cos ( α +4π/3) = 0

sin α + sin ( α +2π/3) + sin ( α +4π/3) = 0

1ere question :

a) Quelle est l'image de C par la rotation R ? Démontrez en utilisant les images de A, B et C par R que le triangle ABC est équilatéral.

A mon avis l'image de C par la rotation R doit être le point A.

Après pour démontrer que le triangle est équilatéral, on peut supposer que comme on a les trois point ayant leurs images identiques, les trois points sont donc situés a équidistances les uns des autres. Donc le triangles ABC est équilatéral.

b) Prouvez alors que O est le centre de gravité du triangle

Le point O étant le centre du cercle, les points A, B et C étant des points appartenant au Cercle. Les distance OA , OB et OC sont égales au rayon du cercle mais sont aussi égales entre-elle même. On en déduit que le point O est le centre du triangle ABC est donc son centre de gravité.

c) Calculez les coordonnées polaires de B et C

Les points B et C étant des points A auxquelles on a ajoutés 2π/3 ou 2*2π/3

On en déduit :

Le point B a pour coordonnées polaire : (1; α +2π/3 )

Le point C a pour coordonnées polaire : (1; α +4π/3 )

d) Calculez en fonction de de α les coordonnées cartésiennes de A, B et C

Je bloque a ce moment la, vu que je n'ai pas les coordonnées polaires exactes de A. A vue dπ'oeil sur la figure qui est avec l'exercice, je dirais que l'angle polaire de A est π/4 mais comme je ne sais pas trop si je dois déduire directement la mesure de l'angle sur la figure ou bien est-ce que je dois effectuer un calcul au préalable...

J'attend tes conseils

Bonsoir,

Il y a quelques imprécisions dans tes réponses. Déjà on parle de "points équidistants à" ou de "points à égal distance de" mais on ne mélange pas les deux .

Pour la question 1), comment justifies-tu que tu revient bien au point A? Tu appliques la rotation au point C par rapport au point A, combien de fois as-tu appliquer cette rotation?. Mais il faut le justifier de façon rigoureuse et non approximative, c'est le principe des mathématiques. Pour le fait que le triangle est équilatéral, je te conseille de plutôt regarder les angles et non les distances pour le coup.

Pour la question suivante, il y a une grosse erreur. En effet, tu as montrer que O était le centre du cercle circonscrit au triangle mais pas du tout le centre de gravité qui est quant à lui le point de concours des médianes. alors comment justifies-tu que ce que tu as fait sert quand même à montrer que O est bien le centre de gravité?

Je suis d'accord pour la c).

Pour la question d), c'est écrit en toutes lettres : "en fonction de α" par conséquent, il faut calculer en fonction de α et non chercher à utiliser une valeur à la place du paramètre α. tu appliques les formules de changement de coordonnées de façon brutale en fait.

Bon courage!

Pour la 1) comme on a fait trois fois la rotation R ( c-a-d 3*2π/3) on obtient 2π qui est équivalent a un tour complet du cercle donc on revient bien au point A n'est-ce pas ?

Et pour montrer que le triangle est équilatéral, on observe que :

AôC = BôC = CôA

Les angles sont donc égaux, le triangle est donc équilatéral...Peux t'on résonner comme sa ?

Pour la 2) Alors la je ne sais pas vraiment trop comment expliquer le fait que o en étant le centre du cercle circonscrit du triangle puissent être aussi son centre de gravité...

Je pense que si le triangle est équilatéral alors o est aussi son centre de gravité vu qu'il est le centre...?

d) Alors pour les coordonnées cartésiennes de chaque point j'ai trouvé :

A : x= cos (α)
y= sin (α)

B : x= cos (2π/3 + α)
y= sin ( 2π/3 + α)

C : x= cos (4π/3 + α)
y= sin (4π/3 + α)

Pour la e) il me demande de déduire celles de (vecteur OA) + (Vecteur OB) + (vecteur OC) et de conclure...

Alors les coordonnées de (vecteur OA) + (Vecteur OB) + (vecteur OC) sont :

[cos (α); sin (α)] + [cos (2π/3 + α); sin ( 2π/3 + α)] + [cos (4π/3 + α); sin (4π/3 + α)]

et comme, il est dit au début que (vecteur OA) + (Vecteur OB) + (vecteur OC) est égal au (vecteur nul) , on peut en déduire que :

[cos (α); sin (α)] + [cos (2π/3 + α); sin ( 2π/3 + α)] + [cos (4π/3 + α); sin (4π/3 + α)] = (vecteur nul)

Voila ! Bon après je sais pas encore si j'ai bon mais pourrais tu me donner ton avis quand a mon raisonnement et a ma conclusion...? Merci

Bonjour,

C'est Ok pour la première partie de la question 1), on a effectué un tour complet et donc l'image de C sera bien le point A.

Pour les angles égaux, je demande qu'à y croire mais tu ne l'as pas démontré encore car tu n'a mis en évidence que deux égalités d'angle d'après ce que tu écris. C'est l'idée en tout cas!

Pour la 2), que savons-nous des droites remarquables d'un triangle équilatéral?

Pour la d) c'est d'accord.

Pour la e), je te conseille de regarder les abscisses et les ordonnées des vecteurs séparément, c'est plus facile à manipuler. Par contre ta conclusion est fausse:

Citation :

On Cherche a démontrer que :

(vecteur OA) + (Vecteur OB) + (vecteur OC) = (vecteur 0)

Donc on ne le sait pas encore, c'est ce qu'on doit conclure .

Bon courage!

Bonsoir,

Quand tu dis que je n'ai mis en évidence que deux égalités d'angle, tu parle de sa : AôC = BôC = CôA

?

après en ce qui concerne les droites remarquables d'un triangle équilatéral, on sait que dans un triangle équilatéral les trois médianes sont aussi les trois hauteurs, les trois médiatrices, les trois bissectrices et les trois axes de symétrie...N'est-ce pas ?

Pour la e) si je sépare les abscisses et les ordonnées, cela me donne :


cos (α) + cos (2π/3 + α) + cos (4π/3 + α)

sin (α) + sin ( 2π/3 + α) + sin (4π/3 + α)

Mais j'ai pas très bien compris la question...Que dois-je faire après sa ?

Merci

Bonsoir,

Oui je parlais bien de cette égalité là où tu mes en évidence deux égalité mais tu parles deux fois du même angles CÔA ou AÔC c'est le même angle géométrique.

Je suis d'accord pour les droites remarquables. Ne pourrais-tu pas conclure maintenant sur le fait que O est bien le centre de gravité et non seulement le centre du cercle circonscrit?

Pour la question e), tu dois montrer que les abscisses comme les ordonnées sont nulles vu qu'on cherche à montrer que l'addition des trois vecteurs donne le vecteur nul.

Bon courage!

Huuummm Je n'ai aucune idée pour désigner le dernière angle, pour moi c’était simplement CÔA mais tu as raison vue sous un autre angle, c'est le même angle que AôC...Comment devrais-je m'y prendre a ton avis ?



Pour l'autre comme O est le point de concours des 3 bissectrices, et d'après les propriétés d'un triangle équilatéral, il est aussi le point de concours des 3 médianes donc le centre de gravité du triangle...

Pour montrer que les abscisses et les ordonnées sont nul, je peux m'y prendre avec les cosinus et sinus ou bien dois-je repartir avec les lettres...?

Mais dans les deux cas comment devrais-je commencer pour faire apparaître d'une part le vecteur nul ?

Je ne peux pas simplement dire :


cos (α) + cos (2π/3 + α) + cos (4π/3 + α) = 0

Une relation de Chasles sur les angles par exemple .

Sinon, pour la suite, tu me fais peur! En effet, le centre du cercle circonscrit c'est le point d'intersection des trois médiatrices et non des trois bissectrices !!!!!


Tu doit démontrer ça:

Citation :

cos (α) + cos (2π/3 + α) + cos (4π/3 + α) = 0

tu ne peux pas l'écrire vu que c'est ce que tu dois démontrer d'après l'énoncé de ton exercice.

Bon courage!

Le dernier angle pourrait donc être BOA ?

Du fait que : AôC = BôC = CôA nous donne : AôC = BôA

Désoler pour mon erreur, je ne suis pas bon en géométrie mais j'essaie de m'améliorer...

Ayant ceci par exemple :cos (α) + cos (2π/3 + α) + cos (4π/3 + α)

comment devrais-je m'y prendre pour faire apparaître le vecteur nul...?

Je n'ai vraiment aucune idée, peut-être pourrait on additionner ces valeurs ? Je ne pense pas mais bon...

Le triangle peut très bien être isocèle sans être équilatéral.

Il faut vraiment exprimer les angles du triangle et non les angles par rapport au centre du triangle. Il faut dire pourquoi les angles du triangle font bien 60° ce qui justifierai le fait quel e triangle est bien équilatéral.

Bon courage!