[1ère S] Configuration géomtrique et coordonnées polaires

Bonjour, je suis désolée de vous dérange, mais je suis bloquée pour mon DM de maths, sur les coordonnées polaires...En effet, mon professeur de maths, qui est tellement gentil, nous donne des dm avec la moitié du cours, et c'est assez difficile pour nous de faire le DM sans exemple et tout...Donc si vous pouviez m'aider se serait très gentil (ci joint mon exercice de maths, je ne vous demande pas non plus de me le faire, mais seulement de m'aider a démarrer, parce-que je ne vois pas du tout comment faire):

Le plan est muni d'un repère orthonormal (O;i;j) et d'un demi axe polaire (O; i)

1) Les points A, B et C sont définis par leurs coordonnées polaires A(1;0), B(1;π) et C( √3; π/2). Prouver que ABC est équilatéral. trouver les coordonnées polaires des symétriques A₁, B₁ et C₁ de A, B et C par rapport à (O; i) puis des symétriques A₂, B₂ et C₂ de A, B et C par rapport à O. ( Faire une figure )

2) Les points M et N sont définis par leurs coordonnées polaires M(1; -π/8), N(√3; 3π/8). Placer ces points, calculer la distance MN, exprimer le sinus et le cosinus de (NO,NM) et donner la mesure principale de cet angle.

Voila, donc je n'ai absolument rien compris... Je pense avoir bon en placant les points A, B et C...Prouvez qu'ils sont équilateral, et bien, il faut que les trois angles soient egales a 180° soit 60° par angle, ou bien que les angles soient de pi/3, mais je sais pas comment le démontrer...Pour les points A₁, B₁ et C₁ et A₂, B₂ et C₂ je sait les placer (enfin je pense) mais je sais pas comment l'écrire, je veux dire, on les place et il faut surement expliquer, ou démontrer...non ?

Les points M et N je pense avoir réussi à les placer vu que le triangle MON est rectangle en O mais pour tout le reste je ne sais pas comment faire, j'avais penser à Pythagore pour calculer une distance, mais je n'y arrive pas...

Donc comme vous pouvez le constater je ne sais pratiquement rien à part placer des points et encore...J'ai beau aller dans les aide individualiser, il n'y a qu'un seul prof de maths pour 50 élève, et il ne viens jamais me voir...Voila merci de m'aider...et j'espere que j'aurais une réponse rapide...

Encore merci d'avance...

Bonjour et bienvenue parmi nous!

Alors vu que tu n'as pas tout le cours, je vais donc commencer par quelque rappel simple surl es notation et les premières propriétés surl es distance et les angles.

Déjà une question bête mais qu'est-ce que des coordonnées polaires?

Et bien, il s'agit en fait de faire un changemetn de repère et de considérer un repère dans lequel le centre ne change pas c'est à dire que le centre de notre nouveau repère est encore O. Et ensuite ce sont les vecteurs de la base qui changent. En effet, si je prend un point M du plan et quej e regade ses coordonnées polaire et bien le premier vecteur de base va repérer la distance OM (ce qui nous donne notre première coordonnées) et le second vecteur de la base polaire va repérer l'angle orienté qu'il y a entre l'axe des abscisses et la demi-droite (OM) ce qui nous donne comme deuxième coordonnée: (i,OM).

Donc récapitulons:
Si je considère un point M dans le repère orthonormée (O;i,j) et que j'appelle ses coordonnées polaires (ρ;θ), nous avons:
{ρ=OM
{θ=(i;OM)


De plus, je rappelle que la distance AB dans un repère orthonormé ce calcul ainsi AB²=(x_B-x_A)²+(y_B-y_A)².

Comment passer de coordonnées cartésiennes au coordonnées polaires?

Soit M qui a pour coordonnées cartésiennes (x;y) et pour coordonnées polaires (ρ;θ), on a:
{x=ρ*Cos(θ)
{y=ρ*Sin(θ)


Enfin, je rappelle que nous avons une relation de Chasles sur les angles orientés qui s'écrit ainsi:

Soient u,v et w trois vecteurs du plan, ona:
(u,w)=(u,v)+(v+w)

Et avec tout ça, nous avons tout ce qu'il nous faut pour travailler sur les coordonnées polaires (iln'y a rien dep lus dans le cours aussi bizarre que cela puisse paraître le chapitre n'estp as des plus long mais par contre, il faut bien le comprendre sinon, on est incapable de l'appliquer).

Maintenant passonsà ton exercice.

Alors quelque points de vocabulaire. On ne dit pas que les point sont équilatéraux, cela ne veut rien dire ne soit car équilatérale signifie qui a trois côtés de même mesure, doncp our des points cela ne veutp as dire grand chose. Donc on parle de triangle équilatérale c'està dire en effet ui a trois côtés de même mesure.
Pour cela, il faudrait donc calculer les distances AB, BC et CA. Mais nous avons des coordonnées polaires, donc les coordonnées polaires ont pour vocation de mettre en évidence les propriétés d'angles (ce que ne fait pas les coordonnées cartésiennes). Il serait doncp lus judicieux de considérer les angles comme tu l'as remarqué.
Pour ce faire, il faut donc calculer les angles orienté (AB,AC), (CA,CB) et c'est tout car si ses deux là sont égaux à π/3 ou -π/3 (les deux réponses sont viables car pour un triangle équilatérale l'orientation n'importe pas, il suffit que les angles géomtriques donc non orienté soient égaux à 60° donc +ou-π/3) alors le dernier sera forcément égale à 60° car la somme des angels d'un triangle est égale à 180° comme tu l'as dit de façon maladroite d'ailleurs (ce ne sônt pas les trois angles qui sont égaux à 180° mais bien la sommes des trois angles). Je te laisse donc entamer les calculs

Enfin, pour les symétriques par rapport à l'axe des abscisses et par rapport à O, il faut en effet justifié mais maintenant à moi de poser les questions:
- Qu'est-ce que cela signifie que deux points sont symétriques pas rapport à l'axe des abscisses sur la distance à O et l'angle formé avec l'axe des bacsisses?
En gros, quelles sont les propriétés de la symétrie axiale?

- De même pour la symétrie centrale.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque cohse n'est pas clair!

ps: les vecteurs sont notés en gras sur le forum et pour les caractères spéciaux le copier coller marche très bien ici bas.

Merci beaucoup, je comprend mieu avec toi que mon professeur de maths et son cours...Maiis dis moi, "angles orientés" est ce que c'est pareil que "angle de deux vecteurs" ? Parce-que dans mon cours... Les mots "angles orientés" ne sont jamais écrits...donc...voila...Dans mon (I) Angles de deux vecteurs, j'ai une figure (un hexagone) avec plusieurs points ( de A à F ) et un point O qui est au centre, et en dessous j'ai:
(OA;OB) = π/3
Donc je pense que c'est ca que je dois faire non ? pour (AB;AC) et (CA;CB)

Une symétrie axiale...

Le symétrique par rapport à une droite:
- d'une droite est une droite.
- d'un segment est un segment de même longueur.
- d'un angle est un angle de même mesure.
- d'un cercle est un cercle de même rayon.

Enfin c'est le truc avec le pliage, on peu plier par rapport a la droite axiale et on a la même figure...( je sais, ca fait pas 1ere S comment j'explique ça...)

pour ce qui est de la symétrie centrale c'est...comment expliquer sa...la figure est symétrique par rapport à un point...du coup, la figure ce retrouve de l'autre côté et à l'envers...enfin, imaginons qu'on a un point M qui est symétrique par rapport au centre de point On on a alors M' de l'autre côté et donc le O est le milieu de [MM']
Enfin je crois que c'est sa...^^

donc pour la question sur les symétries je place les points et je fais juste une phrase pour expliquer la propriété de la symétrie axiale et central...

Pour ce qui est de la distance MN, j'ai donc fait MN²= (racine de 3 - 1)² + ( 3π/8+π/8)²
Pour (racine de 3 -1)² j'ai fait l'identité remarquable (3+2V3-1) ?? + (π/2)²
2+2V3+π²/4 (oula sa doit pas etre sa)
MN= racine de 2+2V3+π²/4
(desespere à fond)
MN= V2 + V(2V3) + π/2
Arf sa doit etre faux, je vais essayer de le refaire sur une feuille...

Citation :

"angles orientés" est ce que c'est pareil que "angle de deux vecteurs"

C'est tout à fait ça. Avec les vecteurs, on donne en quelque sorte un sens à l'angle car on écrit le premier côté de l'angle duquel on va partir pour mesurer celui-ci et on va aller jusqu'au deuxième côté de l'angle qui sera dirigé par le deuxième vecteur.

Par contre c'est dommage de ne pas parler d'angle orienté car même si en effet, on ne peut pas le définir rigoureusement avec le bageage de 1ère c'est une notion plutôt intuitive qui introduit justement très bien les angles de deux vecteurs vu que c'est exactement l'expliciation de la façon intuitive qu'on a de l'orientation d'un angle.

Pour calculer les angles de deux vecteurs, il va falloir que tu introduises les angles que tu connais c'est à dire les angles (i,OA), (i,OC) et (i,OB) qu'on obtient grâce au coordonnées polaires.

après, il faut essayer de calculer à l'aide de la relation de Chasles sur les vecteurs et de propriété d'alignement de point de calcul (AB;AC) (nous verronsl 'autre angle pas la suite).

Nous verons le reste après car je pense que faire trop de chose en même temps risque de t'embourillerp lsu qu'autre chose (pr exmepel le calcul del a distance c'est pour les coordonnées cartésiennes et non pour les coordonnées polaires).

Bon courage!

Citation :

Pour calculer les angles de deux vecteurs, il va falloir que tu introduises les angles que tu connais c'est à dire les angles (i,OA), (i,OC) et (i,OB) qu'on obtient grâce au coordonnées polaires

Oula, là par contre, je comprend plus...Enfin, je suis pas sur mais donc:
(i,OA) = O
(i,OC) = π
(i,OB) = π/2

Donc faut que je trouve π/3 ... mais je ne vois pas comment...peut être, en additionant tous les angles et en divisant par 3...
O + π + π/2 = 3π/2
3π/2/3 = 3π/2*1/3 = 3π/6= π/3

Donc le triangle ABC est bien un triangle équilatéral vu les angles valent π/3 rad...

C'est sa ?

Alors alors, allons-y doucement et étape part étape, il n'y ap as le feu au lac .

Donc les trois angles sont exacte, il s'agit de dire que la deuxième coordonne polaire est égale à l'angle fait avec l'axe des abscisses donc c'est nickel.

i) Que peut-on dire del a mesure de l'angle (OA,OB)? Qu'en déduisons-nous sur les points, A, O et B ?
ii) De plus, que vaut l'angle (OA,OC) connaissant l'angle (i,OC)? Qu'en déduit-on sur le triangle COA?
iii) Même question pour le triangle BOC.

A partir de là, je vais laisser de côté les angles cas la manipulation des angles n'a pas l'air encore d'être très au point (vu que tu n'as pas fait assez d'exercice) donc nous allons essayer de trouver un autre chemin c'est à dire le calcul des trois distances.

Bon essayons de fixerl es idées. D'après les coordonnées polaires que vaut OA, OB et OC?

Sachant que juste avant, nous avons déduti quelque propriétés, pouvons déduire la distance AB directement? Et les distances CA et CB à l'aide del a caractérisation du triangle BOC et du triangle COA?


J'espère que cette démarche là sera plus facile à aborder pour toi, sinon n'hésite pas à poser tes questions!

Bon courage!

si un peu qu'il y a le feu, mdrr c'est pour demain mais bon au moins la j'ai compris alors qu'au lycée mais franchement je prefererais ne pas finir lexercice pour demain et avoir une mauvaise note et avec toi apprendre à faire cet exercice et pouvoir le refaire ou faire d'autres exercices de se genre, que de le finir a la va-vite et de rien comprendre et d'être pomé pour le Controle ^^

i) (OA;OB) vaut π donc O, A et B sont alignés.
ii) (OA;OC) vaut π/2 donc COA est un triangle rectangle.
iii) (OB;OC) vaut π/2 donc BOC est un triangle rectangle.

Citation :

D'après les coordonnées polaires que vaut OA, OB et OC?

OA = 1
OB = 1
OC = racine de 3

Citation :

Sachant que juste avant, nous avons déduti quelque propriétés, pouvons déduire la distance AB directement? Et les distances CA et CB à l'aide del a caractérisation du triangle BOC et du triangle COA?

Là j'ai pas trop compris, c'est pythagore donc ?

Nickel ça!

Bon en tout cas pour le finir pour demain on verra en fonction de notre avancement car en effet ce n'est pas le plus important en soi. Le but étant de comprendre les choses pour pouvoir les utiliser de façon correcte (voire même les utiliser tout simplement ).

En fait, ce que je disais à la fin, c'est que vu que O, A et B sont aligné et sachant les valeurs de OA et OB que vaut AB?

D'ailleurs est-ce que tu comprend pourquoi, il fallait absolument montrer l'alignement pour pouvoir conclure sur cette distance?

Ensuite, nous avons deux triangles rectangles, dont on connaît deux distances sur les trois, donc en effet cela sent le théorème de Pythagore à plein nez .

Est-ce que tu comprends mieux le raisonnement ainsi? On commence par déduire des propriété à partir des angles avant d'entamer la recherche de distance car sinon, on ne savait pas conclure tout simplement. Il faut toujours essayer de voir ce que tu as sous la main et comment manipuler ce que tu as sous la main pour pouvoir déduire des choses sur les figures (car ici nous sommes en géométrie en fait mais en analyse avec les fonction et autre c'est la même façon de raisonner en fait) dans le but de répondre à la question. Si je résume le raisonnement de façon générale (pour une grande partie des exercices) je dirai ceci:

- Qu'est-ce que je veux ou cherche à démontrer?
- Qu'est-ce que j'ai dans l'énoncer, les questions précédentes ou dans mon cours en lien avec la question?
- Comment faire le lien entre ce que j'ai et ce que je souhaite avoir?

(Dans la vie c'est pareil en fait mais bon arrêtons les analogie et essayons d'avancer ).

Bon courage!

JE n'ai pas attendu ta réponse pour essayer sur une feuille le théoreme de pythagore...Mais bon...

Bah pour moi AB = 2 cm non ?
vu que c'est le diametre du cercle trigonometrie et que sa va de [-1;1] si mes souvenirs sont bons...
oui je comprend pourquoi il faut montrer l'alignement entre ces trois points...

Mais donc si mon 2cm est bon...
Sa devrait faire CA²=CO²+OA²
CA²= 1²+1²
CA²= 2
CA= racine de 2

CB²= CO²+BO²
CB²= 1²+1²
CB²=2
CB=racine de 2

AB²= CB²+CA²
2²= racine de 2 ² + racine de 2²
4= 2+2
4=4

comme AB²= CB²+CA²
d'après le théorème de pythagore
Le triangle ABC est équilatéral...

Pour AB vu que A, O et B sont aligné, on a: AB=AO+OB=1+1 (c'est à cela que ça sert en fait ).

Donc AB=2cms en effet.

Maintenant pour les deux triangle rectangle, il y a un problème car si AC=Racine(2), il ne risque pas d'être équilatérale vu que je rappelle:

Un triangle équilatérale est un triangle qui a trois côtés égaux.

En effet, il y a une erreur quelque part, que vaut OC?

Je te laisse rectifier tes calculs .

Bon courage!

Et bien, OC vaut 1...ah non pardon, il est pas sur le cercle...en effet, bah il vaut (V3; pi/2)
Mais je sais pas combien fait la distance...
Je vois pas du tout...
Et pis en plus je risque de ne plus pouvoir venir parce-que ma chère soeur que j'aime (ironie) me soule pour avoir l'ordinateur, de la à me traiter de toute sorte de nom... mais je ferais tout pour revenir, mais je ne vois pas du tout...OC...OC...1+ racine de 3 ?

Tu as pourtant bien répondu plus haut sauf erreur:

Citation :

OA = 1
OB = 1
OC = racine de 3

La distance au centre du repère est donnée par la première coordonnée polaire toujours .

Je te laisse refaire tes calculs avec cette rectification et tu vas bien trouver que les trois distances sont égales si tout ce passe bien.

Bon courage pour les calculs!

Ca y'est j'ai -enfin- l'ordinateur ET les bon calculs ils sont tous égales à 2 cm ^^

CA²=racine de 3 ² + 1²
CA²= 3+1
CA= racine de 4 = 2

idem pour CB
on peux passer à la suite ^^ Enfin je pense ^^

On en conclut donc quel etriangle ABC est équilatérale en effet.

Ne pas oublier de bien mettre en évidence les hypothèses lorsque tu appliqueras le thoérème de Pythagore et de même pour l'alignemetn des point car c'est vraiment cela qui est important, le reste étant du calcul donc à l'erreur près ses justes alors quel e raisonnement doit e^tre juste .

Alors ensuite, il faut trouver les coordonnées polaires des symétriques des trois point par rapport à l'axe des abscisses.

i)Que pouvons-nous dire de tous les points situé sur l'axe des abscisses pour cette symétrie?
ii) Qu'en conclut-on sur les point A et B?
iii) En déduire, les coordonnées polaire de A₁ et B₁

De plus, pour un point qui n'appartient pas à la droite de symétrie, comment construit-on son symétrique? C'està dire quelles propriétés allons-nous utiliser pour construire le point C₁ par exemple?

Bon courage!

et bien, les points A et B restent à leur place
A1 à les même coordonnées que A et B1 les même coordonnées que B

ii) A1(1;0)
B1(1;pi)

iii)C1(racine de 3; - pi/2) ???
Bin on plis la feuille à l'axe de symétrie (des abscisses) ^.^
Ca serai pas des coordonnées opposé ou inverse ? =(

Alors en effet, les coordonnées sont justes pour le point C₁ mais va falloir le justifier rigoureusement tout de même .

Pour les point A₁ et B₁ vu que A et B sont sur l'axe de symétrie, ils ne bougent pas en effet car les point de l'axe de symétrie sont dit invariants ou fixes pour la symétrie en question.

Ensuite, il va falloir justifier les coordonnées de C₁ et pour cela, il va falloir une autre description du pliage .

Donc:

Si je prend un point M hors de la droite de symétrie, comment construit-on le point image M' avec une règle graduée (ou un compas) et une équerre?

Euh....
•Le point M' est le symétrique du point M par rapport à la droite des abscisses.
• la droite des abscisses est la médiatrice de [AA']. Et est l'axe de symétrie...

Bah faut tracer une droite passant par M et perpendiculaire à l'axe des absicces ou axe de symétrie et il faut avec le compas mettre le truc pointu sur l'intersection des deux droites mettre le côté crayon sur le point M et tourner le compas de l'autre côté jusqu'a arriver à la droit M...

Roo je vois le truc mais je sais pas comment expliquer... ^.^ Mais sa tu as du le remarquer...

Tout y est pourtant !!

Comme quoi tu les connais tes propriétés !

Alors vu que l'axe des abscisses est la médiatrice de MM', c'est que nous avons:

(MM')⊥(Ox)
Et si j'appelle H le projeté de M sur l'axe, on a: MH=HM'


Est-ce que jusque là c'est bon, au niveau de la remise en jambe?

Maintenant, revenons à notre exercice.

i) Quel est le projeté de C sur l'axe (Ox)?
ii) En déduire, la distance OC₁ (qui est la première coordonnée polaire je le rappelle encore une fois)

Vuque par définition, (CC₁)⊥(Ox), conclure pour l'angle (i,OC₁) (qui est la deuxième coordonnée polaire, je le rappelle aussi).

Est-ce que tu comprends le raisonnement que je met en place? Je n'utilise que ce que je sais de façon rigoureuse et à partir de là, j'avance vers ce que je cherche.

Bon courage!

i) Le projeté de C ? C'est O
Donc si j'appele O le projeté de C, on a CO=OC1 ou (OC')
ii) La distance OC1 = la distance OC = racine de 3 sa ne peu pas etre -racine de 3 car une distance n'est jamais négatif (voila ce que le prof me dit tout le temps XD)

L'angle (i,OC) = pi/2

oui je comprend ton raisonnement, c'est vrai que vu comment moi je raisonne, ca a beau etre bon dans un sens, ce n'est pas très "mathématiques"

Tu penses qu'on peux passer à la suite ou pas (symétrie centrale =( )

En fait, on appelle O le projeté vu qu'il s'appelle déjà comme cela .

En effet, l'angle (i,OC)=pi/2, donc O est le projeté de C sur l'axe des abscisses. Il faut toujours justifier ce que tu écris et de façon systématique en fait.

Donc après, on déduit l'agalité des longueur et même mieux que ça, par construction,o n déduit au C₁ est sur l'axe des ordonnées car l'axe des ordonnées est perpendiculaire à l'axe des abscisses et C appartient à l'axe des ordonnées.

Conclusion, (i,OC₁)= ??



En fait, il faut que tu parte d'un principe simple en mathématiques: "rien est évident et si ça l'est alor ça s'écrit". A partir de là, tout ce que tu énonces doit être justifié un minimum pour montrer que ton raisonnement est juste et que tu sais où tu vas.

Est-ce que tu comprends mieux les choses comme ça?

Pour la symétrie centre, c'est le même principe, la première chose à metre en évidence c'est: "Commetn construit-on M' le symétrique de M par rapport à la symétrie centrale de centre O le centre du repère?" ET à partir de cela, nous allons pouvoir faire des déductions vu que les points sont sur les axes donc sont très particuliers en fait .

Bon courage!

oui je comprend mieu ^^
Je dormirais moins bêtes grace à toi...Quand je pense que demain j'ai trois heures de maths d'afilé ^^ avec un controle de deux h eures sur la trigo ^^

enfin bref, pour la symétrie centrale:

Citation :

"Commetn construit-on M' le symétrique de M par rapport à la symétrie centrale de centre O le centre du repère?"

Elle se fait autour d'un point (O ici) , et elle transforme le point M en un point image M'. De facon a ce qeu O soit le miilieu du segment MM'. On dit alors que O est le centre de symétrie du segment [ MM' ].
???

Les points B, O et A étant alignés, BO = OA; A est le symétrique de B par rapport à O donc B2= A B2(1;0)
" " Best le symétrique de A par rapport à O donc A2=B A2(1; pi)
Les points C, O et C1 sont alignés, donc OC= OC1, C est le symétrique de C1 par rapport à O donc C1=C2, C2(acine de 3, -pi/2).

Nickel !!!!

Rien à redire là, j'avoue c'est bluffant pour le coup. Tous les arguments sont là, c'est super à lire pour moi .

Ceci conclut donc la première question.

Maintenant pour la deuxième question as-tu des idées pour calculer la distance MN? Tu avais écrit quel e triangle MON étaient rectangle en O si tu arrive à le montrer, alors on va pouvoir calculer MN de façon plus simple.

Bon courage!

Et bien, en faite, je crois pas qu'il soit rectangle...Attend je vais chercher ma figure...ah bah si il est rectangle...theoreme de pythagore ?? NM²= OM²+ON²

OM est le rayon du cercle donc OM=1cm
ON est un point du deuxieme cercle (il est sur le meme cercle que les points C, C1 et C2 donc ON= racine de 3
NM²=1²+racine de 3 ²
NM²=1+3
NM²=4
NM= racine de 4 = 2
NM = 2 cm

ou on peut peut etre dire que Le triangle ONM est une rotation du triangle COM vec le point O comme point de rotation et donc on peut dire que MN=CA et comme CA= 2 MN=2

...

Je pense qu'on ne va pas chercher de rotation et faire simple mais il doit y avoir une rotation en effet.

Mais bon, ce que tu as utilisé c'est le thoérème de Pythagor dans le triagle MON rectangle en O mais encore faut-il démontrer que MON est rectangle en O et ceci sans dire "ça se voit sur le dessin" car sur un dessin, on ne démontre rien, cela fixe les idées mais ne permet pas de faire des conclusion rigoureuse.

Alors comment montre-t-on que le triangle MON est rectangle en O?

Bon courage!

réciproque du theoreme de pythagore...
Si dans un triangle le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est un triangle rectangle.

Si MN²=OM²+ON², alors MON est un triangle rectangle en A
a mais non vu qu'on a pas la distance MN...ROoooooooooooooo

ou peut etre avec SOHCAHTOA
sin = opp/hyp
cos= adj/hyp
tan= opp/adj