Equations différentielles

Salut!
Pour continuer dans la lancée des chapitres vus vite fait et là où j'ai du mal voici les équations différentielles avec un exercice assez long et me semblant complexe.
J'aurais donc besoin d'un coup de main et d'explications parce que j'en ai pas eu beaucoup en cours...


On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d'un ordinateur (t est exprimé en années et f(t) en millions de ménages).
Soit t = 1980 et f(0) = 0.01
On estime donc sur la période 1980-2000 que f est solution de l'équation différentielle :


1. On pose f = 1/u.
Démontrer que f est solution de (E₁) si, et seulement si u est solution de l'équation différentielle :


2. Résoudre (E₂) et en déduire l'ensemble des solutions de (E₁)

3. Démontrer que f est définie par [0 ; +Inf.[ par :


4.a. Démontrer pour tout réel de [0 ; +Inf.[ que 0 < f(t) < 20.
b. Déduire sans calcul que f est strictement croissante sur [0 ; +Inf.[

5.a. Calculer la limite de f(t) quand t --> +Inf.
b. Tracer la courbe de f dans un repère orthogonal sur l'intervalle [0 ; 40].

Voici mes réponses :

1. On a u = 1/f et déjà là, je bloque et ne sais même pas par oùù commencer pourtant j'ai cherché pas mal...

2. (E₂) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce^at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.

3. Alors là, aucune idée...

4.a. 0 < f(t) < 20 ??
--> f(0) = 0.01 selon l'énoncé.
--> f(20) = 15.37 donc :
0 < f(t) < 20
b. f(t) est toujours supérieure à 0 donc n'est jamais négative et ses valeurs ne font que croître de f(0) à f(20) donc, f(t) est strictement croissante.

5. lim_x-->+Inf. 20 = 20
lim_x-->+Inf. e^-0.44t = 0 donc :
lim_x-->+Inf. 1 + 1999e^-0.44t = 0
Donc :
lim_x-->+Inf. f(t) = +Inf.


Bon, ça pèse pas lourd tout ça mais j'ai fais vraiment ce que j'ai pu et on est passé là-dessus vite fait donc c'est pas facile. J'aurais donc besoin d'explications surtout.
Merci d'avance.

Alors je vais commencer par essayer d'expliquer pourquoi à mon avis les professeur de mathématiques passe rapidement sur ce chapitre.

Il y a peut de théorie abordable en terminale (l'existence d'une solution par exemple ne peut pas être démontrer avec les moyen de Term S) mis à par l'unicité d'une solution avec condition initiale (ce qu'on appelle le problème de Cauchy en fait).

Et la preuve de l'unicité est très simple car il suffit de supposer qu'il y est deux solutions différentes et d'arriver à une contradiction (c'est l'histoire de faire un petit rappel sur le raisonnement par l'absurde). Et encore cette démonstration n'est pas toujours faite par manque de temps le plus souvent.

Du coup, il reste quoi à faire avec ce chapitre? Et bien, il vient directement en parallèle avec le chapitre sur l'exponentielle pour en voir une utilité concrète d'une part et pour que la théorie mathématique soit en place lorsqu'en physique vous aller aborder les équations différentielles. Voilà l'utilité réelle de ce chapitre permettre de ne pas être largué en physique et de mieux comprendre la forme des solutions que vous verrez en physique.

Par conséquent, il y a que peut de chose à faire sur ce chapitre:

- mettre en place le vocabulaire et un peut de théorie et de pratique (d'où viennent ses équation différentielle)
- mettre en place la résolution de ces équations grace à la fonction éxponentielle

Sachant que seule les équations du premier ordre avec second membre doivent être abordée c'est à dire des équation du type:

a*y'+b*y+c=0

avec possibilité que a,b et c soit des fonctions de t ou des constantes. Et s'il s'agit de fontion de t, vous êtes guidés dans la résolution du problème.

A partir de là, tu constates que ce chapitre est "pauvre" et qu'il y a en fait que le fait d'appliquer la méthode de résolution qui sert réellement. Par rapport au chapitre plus conséquent et tout aussi cruciaux qui sont fonction exponentielle, logarithmé népérien, les complexes, l'intégration et les compléments du chapitre sur les suites. Ceci expliquant celà, il n'en est pas moins indispensable de connaître les méthodes de résolution (ce que tu as l'air de connaître) mais après ce sont les questions annexe au chapitre lui-même qui peuvent poser problème comem des équivalence à montrer ou autre.


Bon passons à ton exercice maintenant:

La première question est destabilisante car en fait, il s'agit de démontrer une équivalence entre deux propriétés ce qui n'estp as souvent fait et peut tomber dans tout type d'exercice.

Le principe est pourtant simple et se fait en deux temps:

-Si je suppose la partie de gauche, alors je démontre la partie de droite
-Si je suppose la partie de droite, alors je démontre la partie de gauche

Et il arrive qu'on puisse faire les deux en même temps, ce qu'on appelle "raisonner par équivalence" (comme lorsque tu résout une équation en fait).

Mais si tu es bloqué, il suffit de considérer les deux cas séparemment et d'y alelr à son rythme.

Alors supposons que F est solution de (E1) et je pose F=1/u
C'est à dire que pour tout t strictement positif, on a F(t)=1/u(t) et que (E1) est vérifiée par F c'est à dire que pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]

Maintennat le but, c'est qu'en partant de ses hypothèses là, j'arrive à u solution de (E2) ce qui signifie que pour tout t strictement positif:
u'(t)=-0.44*u(t)+0.022


Ensuite, il faudra faire l'autre sens (vu qu'il s'agit d'une équivalence "si et seulement si") c'est à dire supposer que u est solution de (E2) et que F(t)=1/u(t) et montrer que F est solution de (E1).

Est-ce que la démarche est plus claire ainsi ?

Pourquoi tu emploies la dérivée?
En fait, je comprends pas où tu place le f = 1/u et comment tu remplaces...

Alors dans le premier sens:

Citation :

Alors supposons que F est solution de (E1) et je pose F=1/u
C'est à dire que pour tout t strictement positif, on a F(t)=1/u(t) et que (E1) est vérifiée par F c'est à dire que pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]

F=1/u signife que pour tout t strictement positif, F(t)=1/u(t).

Donc on peut remplacer dans (E1), F(t) par 1/u(t). Il faut bien entendu calculer sa dérivée vu qu'on doit remplacer F'(t).

Est-ce que c'est plus clair, comme ça ?

Y dans les équations je le remplace par f ??

Ok je comprend le problème !!!

Lorsqu'on écrit une équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y), on écrit une équation entre des fonctions:

Pour tout t dans l'ensemble de définition considéré, on a l'équation différentielle (E1): y'(t)=0.022*y(t)*[20-y(t)]

Par conséquent, lorsqu'on dit que la fonction "F est solution de l'équation différentielle (E1)" ou "F vérifie l'équation différentielle (E1)", on dit que pour tout t dans le bon ensemble, on a:

F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]


C'est comme si, je te disais que 2 est solution de l'équation (x-2)*(x+4)=0 cela signifie bien que (2-2)*(2+4)=0 (je remplace x par sa valeur).

Je pense que c'est ça ton problème pour le moment et j'espère l'avoir en parti résolu mais sinon n'hésite pas à me demander plus de précision.

Tout s'éclaire tout d'un coup!
Reprenons :

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u)*[20-(1/u)]

C'est le principale si tout s'éclairci .

Alors il reste encore le F'(t) à exprimer sachant que F(t)=1/u(t) (pour tout t strictement positif).

D'ailleur d'une manière général soit tu écrit nue égalité entre des fonctions c'est àdire que tu mets pas les t F'= ... ou soit tu éprime une égalité entre des valeurs et à ce moment là, tu écris la dépendance en t partout u(t), F'(t), F(t).

Il faut toujours avoir une égalité entre deux objets de même nature et ne pas se retrouver avec une égalité du type kg=kms en quelque sorte.

Bon courage!

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]

Nickel!!

T'arrête pas en si bon chemin. Le but est d'arriver à montrer que u est solution de (E2): y'=-0.44*u+0.022

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]

Je développe?

J'ai envi de dire que tu fais comme tu veux du moment que tu arriveà l'équation (E2) .

Tu peut développer maintenant la partie de droite puis faire un produit en croix après. Ou tu multiplies tout de puis par [u(t)]² puis tu développes ensuite.

C'est à toi de voir dans quelle sens tu préfère faire les calculs pour ne pas faire d'erreurs de calculs justement.

Bon courage!

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u(t) = -0.44u(t) +0.022 soit :
y'=-0.44*u+0.022

Citation :

u(t) = -0.44u(t) +0.022 soit :
y'=-0.44*u+0.022

Alors ce passage est faux non pas seulement parce qu'il reste un u dans la dernière égalité mais parce qu'il y a une erreur fondamentale.

EN effet, u n'est pas une fonction muette comme y. En effet, u est une fonction qui est fixée par l'énoncé! Alros que y est juste là pour mettre en forme l'équation tout simplement.

Donc lorsque tu arrive à:

Citation :

u(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif

Tu déduis que u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022


Est-ce que tu comprends le soucis qu'il y avait? En fait le y ici c'est domme le dx en intégration car le x est une variable muette et bien ici le y est une variable muette aussi même s'il s'agit d'une fonction. Par contre F et u sont des fonction fixées par l'énoncer.

Pour avoir l'équivalence maintenant, il faut partir de u solution de (E2) et arriver à F solution de (E1). Tu vas d'ailleurs vite constater qu'il suffit décrire les calculs dans l'autre sens et qu'on aurait donc pu directement faire un raisonement par équivalence.

Bon courage!

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

Citation :

Alors ce passage est faux non pas seulement parce qu'il reste un u dans la dernière égalité mais parce qu'il y a une erreur fondamentale.

--> ???
J'ai donc :
u(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f

J'ai mis en rouge dans mon dernier message le petit u qui se baladait . Mais le soucis n'était pas là en fait, j'espère que tu as assimilé le véritable problème de fond qu'il y avait. En gros, on ne peut pas changer u par y car y est muet et u non.

Sinon, pour le deuxième sens ça part plutôt bien en effet .

Sinon en passant, je ne sais pas si tu t'es attardé 30s sur la simplification par [u(t)]² dans ce passage là:

Citation :

-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)

Mais elle est possible seulement parce que u ne s'annule pas (ce qui se déduit par définition vu qu'on pose F=1/u mais il faut le dire tout de même).Car si u(t) pouvait s'annuler l'égalité serait toujours vrai et serait du type "0=0". Faut essayer de faire attention lorsqu'on effectue des simplifications, il est si vite arrivé de diviser par 0 (ce qui permet d'ailleurs de faire la démonstration fausse de "2=1").

Bon courage!

Tu entends quoi par "u ne s'annule pas?"

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
1/f = -0.44(1/f) + 0.022
(1/f -0.022)/(1/f) = -0.44
(1/f -0.022)f = -0.44
1 -0.022f = -0.44
f = (-0.44 -1)/(-0.022) = 1.44/0.022
Je dois retrouver la forme du début non?

u ne s'annule pas <=> pour tout t strictement positif u(t)≠0

Sinon, je n'avais pas vu mais ici, il y a une légère erreur:

Citation :

u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :

Il s'agit bien de la dérivée qui est égale au reste.

Pour la suite du coup:

Citation :

On suppose que u est solution de (E2) avec f=1/u. J'ai donc:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec u = 1/f

Démontrons que f est solution de (E1) c'est à dire que f'=0.022*f*(20-f)

C'est une question de rédaction mais pour démontrer une implication, on suppose une partie (et on l'écrit) puis on démontre l'autre partie (et si on veut être sur de savoir ce qu'on doit démontrer, on l'écrit aussi). Ce sont des petite astuce de rédaction qui permettent de pas trop patoger pour savoir d'où on part et où on va.

Bon courage!

Tu entends quoi par "u ne s'annule pas?"

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]²]/f = -0.44 + 0.022f
-f'(t)/[f(t)² *f(t)] = -0.44 + 0.022f
-f'(t)/[f(t)³] = -0.44 +0.022f
Arf je bloque

Tu bloques dû à une erreur de calcul:

Citation :

[-f'(t)/[f(t)]²]/[1/f(t)] = -0.44 + 0.022*f(t)
-f'(t)/[f(t)² *f(t)] = -0.44 + 0.022*f(t)

On divise par (1/f) ou on mulitiplie par f c'est comme tu veux.

Du coup, on arrive à:

[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)

En multipliant par f(t) des deux côtés de l'égalité, tu vas ertrouver sensiblement ce que tu cherches.

Bon courage!

Tu entends quoi par "u ne s'annule pas?"

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²

Nickel!!

Il ne reste plus qu'à mettre 0.022*f(t) en facteur à droite pour retrouver (E1).

Pour la première partie del a question 2), elle était bonne et bien rédigée. Il reste la deuxième partie c'est à dire donner l'ensemble des solution de (E1) connaissant celui de (E2) et la première question.

Bon courage

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))

2. (E₂) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce^at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
Je vois pas comment en déduire ça...
Là j'ai la solution de (E2) donc, je remplace ca dans E2 et ensuite par ce que jaurais dans E1?

Si tu remplaces ça dans (E2), tu vas trouver 0! Heureusement vu qu'il s'agit de l'ensemble des solution de (E2).

Par contre qu'avons-nous démontrer à la question 1) concrètement?

u solution de E2 donc f solution de E1