Equations différentielles

On ajoute 1, donc on a:

1 + 1999e-0.44t > 1

Maintenant, par rapport à F(t), il faut prendrel 'inverse et multiplier par 20 ce qui donne ?

e^-0.44t > 0 car l'exponentielle est toujours strictement positive.
1999e^-0.44t > 0 car 1999 est positif
1 + 1999e^-0.44t > 1
1 / [1 + 1999e^-0.44t] < 1 (car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]1;+Inf[ !!!! Il faut le dire même si cela paraît évident!)
20/[1 + 1999e^-0.44t] <20

Et ceci pour tout t strictement positif !!

Par conséquent, on vient de montrer que F(t)<20. Le fait que F(t)>0 est évident pourquoi?

car l'exponentielle est toujours positive?

et qu'on a +1

C'est ça !!

Le dénominateur est strictement positif car l'exponentielle l'est et le numérateur est égale à 20>0.

On a donc l'inégalité demandée !!!

Maintenant, comment faire la question suivante?

Indication: Ne pas oublier ce que représente F

1. --> On suppose que F=1/u est solution de l'équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y).
Démontrons que u est solution de l'équation différentielle (E2): y'=-0.44*y+0.022

On a pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022) (car u ne s'annule pas par hypothèse)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
Donc u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

(On a montré que: F solution de (E1) => u solution de E2)

-->Maintenant, on suppose que u est solution de (E2): y'=-0.44*y+0.022.
Démontrons que F=1/u est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

J'ai donc pour tout t strictement positif:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44[1/f(t)] + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f(t) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f(t))/f(t)
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
Donc F est solution de (E1)

--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce_at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Or si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1) d'après la question 1)

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e^-0.44*t + 0.05]

Donc l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonctions d"finie pour tout t strictement positif par F(t)=1/u(t) avec u(t)=C*e^-0.44t + 0.05 solution de (E2).
D'où l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonction définie pour tout t strictement positif par F(t)=1/[C*e^-0.44*t + 0.05]

3.
Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e^-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e⁰ + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e^-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e^-0.44t].


4. a.
e^-0.44t > 0 car l'exponentielle est toujours strictement positive.
1999e^-0.44t > 0 car 1999 est positif
1 + 1999e^-0.44t > 1
1 / [1 + 1999e^-0.44t] < 1 (car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]1;+Inf[ !!!! Il faut le dire même si cela paraît évident!)
20/[1 + 1999e^-0.44t] <20

b. On sait que f = 1/u
avec : u(t)= [99.95*e^-0.44*t
Je calcule donc sa limite pour en déduire celle de f?

Tu y tiens à ta limite .

Non on ne calcule pas de limite lorsqu'on chercher à faire un tableau de variation. En effet, on cherche le signe de la dérivée.

Mais à quoi est égale la dérivée, F', de F en fonction de F ? (N'oublie pas que F est solution de (E1) !!).

A partir de là, tu as fait une question a), elle doit forcément servir dans la question b) (il y a toujours une logique dans les questions d'un exercice).

Bon courage!

On sait que F=1/u donc F' = u'/u²
Je fais ensuite un tableau de signes?

C'est un moyen mais il va être couteux en temps et surtout en calcul !!!

Que vérifie la fonction F d'après l'énoncer ?

F vérifie (E1)

C'est tout à fait ça et qu'est-ce ue cela signifie ?

f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))

Ok !!

Donc maintenant, d'après la question 4)a) on va pouvoir déduire le signe de F'(t) directement en fait. C'est tout l'avantage des équation différentielle car on a l'expression de la dérivée en fonction de la fonction elle-même.

Bon courage!

f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
0.22f(t) > 0 car f(t) > 0 d'après la question précédente.
0.22f(t)(20-f(t)) > 0 car 20 - f(t) > 0 car 20 > f(t) > 0 d'après la question précédente.
donc f'(t) est positive donc f(x) est strictement croissante.

C'est tout à fait ça !!!

Pour la question 5)a) et bien vas-y donne-toi en à coeur joie en calculant la limite de F(t) .

Ce qui va te permettre de finir le tableau de varaition de F en fait ce qui te permettra son tracer approximatif dansl a question 5)b).

Bon courage!

Justement, dans cette question je l'avais calculée mais y'avait un truc qui clochait mais je vois pas où...

Ha oui en effet, il y avait un truc qui cloche:

Citation :

lim_x-->+Inf. e^-0.44t = 0 donc :
lim_x-->+Inf. 1 + 1999e^-0.44t = 0

Lorsque deux fonction admette une limite la limite de l'addition est égale à l'addition des limites. Donc il y a un problème entre le passage de la première (qu iest bien juste) vers la deuxième ligne (qui est fausse).

Et le soucis réside là, en fait.

Bon courage pour la finalisation de cette exercice!

La seconde limite vaut 1 non?

C'est mieux en effet !

lim_x-->+Inf. 20 = 20
lim_x-->+Inf. e^-0.44t = 0 donc :
lim_x-->+Inf. 1 + 1999e^-0.44t = 1
Donc :
lim_x-->+Inf. f(t) = 20

Nickel !!!

Nous avions au départ une équation différentielle que nous ne savionsp as résoudre et en faisant un changemetn de variable F=1/u nous nous sommes ramenés à une équation différentielle que nous savions résoudre.

A partir de là, nous avons pu mettre en évidence la fonction que nous cherchions c'est à dire F et à dresser son tableau de variation dans le but de la tracer.

La démarche esst assez courante de changer le problème initiale pour se ramener vers un problème que nous savons traiter plus facilement.

Bon courage pour la suite !

On a a bouclé ça donc?

Il ne reste plus qu'à tracer la courbe (question 5)b) ).

Mais si tu as des questions sur l'exercice, je reste ouvert bien entendu (je suis là pour ça ).

Je vais faire ça demain et je te tiendrais au courant!
Merci pour tout!