intersection equations de cercle

bonsoir,

Je travaille actuellement dans le cadre de mon TPE sur le GPS. J'ai choisi comme demarche personnelle de realiser le calcul des coordonés inconnues. Je sais que ce calcul fait intervenir des equations de cercle. Je cherches des donnés sur un énoncé oui je puisse tomber sur un résultat qui soit dans Z.
Merci de votre aide.

bonjour et bienvenue parmi nous!

Le GPS est vraiment fascinant de par sa complexité d'une part et de part son fondement mathématiques d'autre part.

Par contre, que considères-tu comme situation initiale car je ne saisie par trop cette fin de phrase:

Citation :

Je cherches des donnés sur un énoncé oui je puisse tomber sur un résultat qui soit dans Z

Dans quoi travailles-tu pour ton GPS? Et que souhaites-tu réaliser exactement car j'avoue avoir des soucis pour comprendre/visualiser ta démarche et donc ce que tu souhaites exactement avoir en solution.

Je te laisse donc détailler ou expliciter ton idée ou ta démarche pour qu'on puisse y voir plus clair et donc que je puisse à mon tour te guider du mieux que je peux.

Bon courage!

bonsoir,

Le calcul d'une position par un gps fonctionne par une résolvation d'intersection de deux equations de cercles.

J'ai pris comme points A(1;2) et B(3;3)
On prend AM = a et BM = b
On cherche les coordonés (x;y) du point M
on suppose a=2 et b=3

le système obtenu est :

(x-1)² + (y-2)² = 2²
(x-3)² + (y-3)² = 3²

aprés resolvation de ce système je me retrouve avec le polynôme :

5x² + 22x + 1 = 0

Δ=463

α=(-22+"racine"464)/10
β=(-22-"racine"464)/10



Voila mon probleme. Je cherche un énoncé dont la solution soit un résultat plus simple;

Merci d'avoir repondu

Bonsoir,

Donc tu fais un GPS en deux dimensions (c'est déjà assez compliqué comme cela tu as raison) c'est à dire que tu te ramènes au cas du plan et de l'intersection de deux cercles pour repérer une position donnée.

Alors je vais essayer de résumer le soucis. En fait, tu considères deux cercles dont tu fixes les coordonnées des centres respectivement A et B dans un repère orthonormé j'imagine (vu que tu calcules des distances, je pense que le repère est forcément orthonormé, c'est important de le préciser quelque part dans ta démarche par exemple) puis tu choisis de fixer le rayon des deux cercles.

Ensuite, tu cherches les points d'intersection de ces deux cercles et (s'ils ne sont pas tangents ou distincts) tu t'attends en effet à avoir deux points d'intersection M₁ et M₂.

Nous sommes donc amenés à résoudre un système de deux équations à deux inconnues dont les inconnues sont les coordonnées de M c'est à dire ici x et y et les deux équations sont les équations des deux cercles (vu que les coordonnées du point M, si l'intersection existe ce qui est loin d'être toujours le cas, doivent bien vérifier les deux équations).

Maintenant, tu as résolu le système et tu as gardé une seule des deux équations (n'oublie pas que lorsqu'on résout un système de deux équations à la fin, il y a bien deux équations et non une seuledans le système!). C'est à dire celle qui est vérifiée que par les abscisses (après une substitution j'imagine qui a été précédée d'une combinaison qui était une simple soustraction d'ailleurs).

Par contre, je ne suis pas tout à fait d'accord sur cette dernière équation. Car même si les solutions ne vont pas être plus simples pour autant, essayons au moins d'avoir une réponse juste à présenter. Car même si on n'a pas forcément trouvé un résultat voulu, il faut toujours présenter quelque chose et ceci même si ça n'a pas abouti. Et le but sera de tenter à ce moment là d'expliquer pourquoi ça n'aboutit pas. Et ceci sera apprécié et même valorisé (savoir prendre du recule par rapport à la démarche mathématique car nous resolvons un problème concret par exemple)
Donc pour notre système, si je développe les deux équations, nous obtenons:

{ x² - 2x + 1 + y² - 4y + 4 = 4
{ x² - 6x + 9 + y² - 6y + 9 = 9

On constate qu'en faisant la première ligne moins la deuxième et en gardant la deuxime ligne par exemple, on a:

{ 0 + 4x - 8 + 0 + 2y = 0
{ x² - 6x + 9 + y² - 6y = 0

C'est à dire en divisant par 2 la première ligne et en isolant y:

{ y = -2x +4
{ x² - 6x + 9 + y² - 6y = 0

Ainsi, l'équation en x qu'il reste dans la deuxième ligne par substitution est: x² -6x + 9 + (-2x+4)² -6*(-2x+4) = 0

Je te laisse finir le calcul et remarquer qu'il y a un léger changement. Ceci te donnera donc les abscisses et il restera à calculer les ordonnées y grâce à l'autre équation.

Bon le résultat est un peu moins moche que celui que tu proposes mais tu aimerais avoir une réponse sans racine carrée, c'est bien ça? Alors la question serait, pourquoi souhaites-tu avoir une réponse sans racine carrée? Pour des raisons de dessin? Pour mieux visualiser les choses? Pour... ?

Car si c'est pour des raisons de représentation graphique, le tracer des cercles donnera les valeurs exactes de deux positions possibles. donc à la rigueur, ce n'est pas un problème. Si la raison est "esthétique" c'est à dire que c'est plus sympas d'avoir des coordonnées entières, pourquoi pas mais alors je ne vois pas réellement l'intérêt.

Maintenant, si le but est tout autre. C'est à dire que le problème n'est pas que la réponse ne te plaît pas mais que tu souhaites savoir à quelles conditions sur les rayons, par exemple, les coordonnées des points d'intersections seront entières. Là, cela devient déjà un autre état d'esprit et donc ça motive la recherche de telles solutions. Ce n'est pas simple par contre mais bon, on peut essayer de voir comment axer notre recherche à ce moment là.

Sinon, pour une question de démarche mathématique, il serait intéressant au moins d'évoquer le fait qu'il n'y a pas toujours de solutions pour l'intersection de deux cercles c'est à dire qu'il y a, lorsque deux centres sont fixés, une forte dépendance du problème aux rayons des deux cercles justement.

Je sais que l'équation des sphères n'est pas forcément au programme de 1ère S si mes lectures de programmes sont bonnes (c'est plus au programme de terminale S) mais bon rien ne t'empêche de regarder le problème du GPS de voiture ou de randonnée par exemple avec l'intersection de trois sphères? D'ailleurs pourquoi faut-il trois sphère alors que dans le plan deux cercles suffisent? Ce genre de questions peuvent être pertinantes pour donner un apport à votre réflexion par exemple (l'intersection en 3D est au programme de 1ère d'ailleurs).

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions ou à demander des précisions si quelque chose n'est pas clair dans ce que je raconte ou propose.

Je te remercie,

En effet ma raison etait plutot esthétique... et je pense présener ce calcul le jour de l'oral donc l'idée des intersection de sphère est bonne, mais hors programme pour moi... Je fais ces caluls et te recontact pour te dire des nouvelles

Merci

Bonjour,

Pour des raisons esthétiques, j'avoue qu'en effet ça manque un peu d'ambition dans la justification car c'est rarement le cas en fait. Mais nous pouvons regarder à partir de quels rayons cela est bien le cas, en effet. Pour l'idée, ça revient cette fois-ci à laisser les rayons a et b comme inconnus et à fixer les deux points d'intersection. Ainsi, tu as un système à résoudre à deux inconnues mais 4 équations en théorie (c'est ce qu'on appelle un système surdimensionné) ramené à deux en pratique vu qu'on considère que les points sont intersections donc deux équations peuvent s'enlever et on peut donc travailler qu'avec un seul des points d'intersection à la rigueur et ajuster pour l'autre par la suite voire même le calculer manuellement. Après ce ne sont que des idées pour résoudre ton problème esthétique qui se transforme en résolution d'un problème beaucoup plus théorique comme je te le disais (mais néanmoins très intéressant en soi).

Sinon, le fait que les sphères ne soient pas au programme n'implique pas que tu ne dois absolument pas en parler car après tout le système GPS c'est avant tout de la 3D aujourd'hui et cela peu donner un plus dans ton apport personnelle vu que c'est hors programme (je me souvient avoir parler de dérivée de travail de force non constante au cours du temps en terminale alors qu'on c'était vite apperçut que c'était hors programme mais bon à force de persister ça à fini par se faire). L'équation d'une sphère est vraiment très proche de celle d'un cercle donc bon tu t'éloigne pas tant que ça si tu souhaite faire une digression dans ce domaine là en tout cas. Après dans le plan, on peut aussi faire de la triangulation si on veut creuser dans cetle branche là c'est aussi possible car on reste dans le repérage de position dans le plan après tout ce qui est aussi la même but que le GPS (d'ailleurs, les deux sont assez lié en fait mais bon).

En tout cas, n'hésite pas à nous présenter ta démarche pour parler du GPS tel que tu l'as étudié, cela pourra être intéressant à regarder en tout cas.

Bon courage!

En effet je pense parler des equations de sphères mais pour le calcul, je préfère rester dans la plan.

Reprenons :

{y=-2x+4
{x²-6x+9+y²-6y=0

x²-6x+9+(-2x+4)²-6(-2x+4)=0

x²-6x+9+16-16x+4x²+12x-24=0

5x²-10x+1=0

D'où : Δ=(-10)²-4*5*1
=100-20
=80

D'où : α=(10+√20)/10=√80=4√20=4√5

β=(10-√80)/10=-4√5


Ceci correspond donc aux coordonés x des deus solutions.

Je sais aussi qu'il faut desormais trouver les deux coordonés y des solutions.

Comment faire ?

Merci d'avance

Bonjour,

Il y a encore une petite erreur je pense.

En effet, tu arrives donc à l'équation 5x² - 10x + 1 = 0

Donc le discriminant est égale à Δ=80 pas de soucis la dessus. Par contre tes solutions respectives sont:

α=(10+√80)/10 et β=(10-√80)/10

Et là attention aux simplifications trop rapide. En effet, si on prend par exemple α=(10+√80)/10, tu effectues une simplification par 10 mais au numérateur il n'y a pas de factorisation par 10 de mis en évidence.

Car je rappelle qu'on ne peut simplifier une fraction que si nous avons réussi à mettre en facteur au numérateur et au dénominateur le même nombre.

Si je prend des chiffres sans racine carrée, je suis pourtant persuadé que tu ne ferais pas l'erreur de dire que (10 + 20)/10=20 et pourtant c'est ce que tu as écrit en écrivant α=(10+√80)/10=√80.

Donc je te laisse refaire les calculs car le résultat n'est tout de même pas aussi simple que cela. Par contre, l'idée de simplifier √80 au maximum est bonne car tu vas peut-être pouvoir faire des factorisations au numérateur du coup.


Sinon, pour calculer l'ordonnée y, je te rappelle qu'en fait depuis le début nous ne resolvons pas une équation mais un système d'équation. Du coup, il te reste encore une ligne où tu avais écrit y en fonction de x justement. Et c'est cette ligne là du système qui va te permettre de conclure. Sinon, un autre moyen de conclure si on se retrouve perdu c'est de se dire que les coordonnées de mon point d'intersection doivent vérifier l'équation de mes deux cercles et connaissant la valeur de l'abscisse, il ne reste plus qu'une seule inconnue qui est la valeur de l'ordonnée y.

Est-ce que la démarche est plus claire ainsi?

Bon courage!

Ha oui, erreur bête...

je reprend :

α=(10+4√5)/10=(5+2√5)/5

β=(10-4√5)/10=(5+2√5)/5

Ceci corespond donc aux coordonés x des deux solutions.

En revanche, la seconde partie est toujours floue pour moi... En effet je ne vois pas comment je peux passer de ces deux solutions à l'autre équation me donnant les coordonés y des solutions.

Merci de ta patience

bonjour,

Les deux solutions sont exactes maintenant pour l'équation en x que nous avions.

Alors reprenons la démarche d'une recherche de point d'intersection car en effet, cela n'est pas très claire.

Je considère deux fonction F et G et leur courbe représentative dans un repère c'est à dire la courbe C_F d'équation y=F(x) et la courbe C_G d'équation y=G(x).

Le but c'est de caractériser un point M de coordonnées (x,y) pour que celui-ci soit un point d'intersection des deux courbes.

Essayons de raisonner par une simple analyse de la situation c'est à dire supposons que notre point M est bien l'intersection de mes deux courbes. Cela veux donc dire que M appartient à C_F et M appartient aussi à C_G.

Maintenant, qu'est-ce que cela signifie "M(x,y) appartient à la courbe C_F" ?

Et bien tout simplement que si je considère son abscisse x et bien sont ordonnées pour que mon point appartienne à la courbe est forcément égale à F(x). Pourquoi? Car tous les points de ma courbe ont des coordonnées de la forme (x,F(x)) c'est d'ailleurs pour cela que sont équation est y=F(x).

Ainsi, j'ai une première équation que doivent vérifier mes deux coordonnées qui est y=F(x).

De même, vu que M est le point d'intersection entre mes deux courbes, je sais aussi que M appartient à C_G. De la même manière j'en déduis donc que y=G(x).

Ainsi, j'ai montré que si M(x,y) est un point d'intersection entre C_F et C_G alors x et y vérifie le système suivant:

{y=F(x)
{y=G(x)


Maintenant, si je suppose que mon point M a des coordonnées qui vérifient le système suivant:

{y=F(x)
{y=G(x)

Et bien j'en déduit d'après la première ligne de mon système que M appartient à C_F car ses coordonnées sont de la forme (x,F(x)).
Et d'après la deuxième ligne de mon système j'en déduis donc que M appartient à C_G car ses coordonnées vérifient (x,G(x)).

Donc M est bien un point d'intersection entre C_F et C_G

J'ai donc montré que:

M(x,y) est intersection de C_F et C_G si et seulement si x et y vérifient le système suivant:
{y=F(x)
{y=G(x)


Dans notre cas, nous n'avons pas de fonction F et G mais nous avons deux équations de cercle qui doivent être vérifiée simultanément ce qui explique qu'il s'agisse aussi d'un système d'équation et non d'une seule équation.

Donc quelles sont les deux équation vérifié par x et y les coordonnées du point d'intersection?
Connaissant les valeurs possibles pour les abscisses de ces points d'intersection que nous venons de calculer, déduire les valeurs de leurs ordonnées.

Bon courage et n'hésite pas si quelque chose est encore flou à demander de plus amples informations.

si je comprend bien, je dois remplacer mes deux solutions dans l'equation y=-2x+4 ?

Si c'est cela :

y=-2[(5+2√5)/5] + 4
y=(10-4√5)/10 + 40/10
y=(50-4√5)/10
y=(25-2√5)/5


y=-2[(5-2√5)/5] + 4
y=(10+4√5)/10 + 40/10
y=(50+4√5)/10
y=(25+2√5)/5

donc les deux points M qui sont solutions de ce problème ont pour coordonés :

M1 ( (5+2√5)/5) ; (25-2√5)/5 )

M2 ( (5-2√5)/5 ; (25+2√5)/5 )

Etait-ce la démarche a suivre ?

Merci d'avance

C'est tout à fait ça!

Nous avons utilisé la deuxième équation pour déduire les valeurs possibles pour les abscisses des points d'intersections mais nous avions aussi une première question qui reliait les abscisses x avec les ordonnées y. Et c'est celle-ci qui nous sert donc pour conclure.

Par contre, il y a une légère erreur dans les caculs. Essaie de rester plutôt lent pour les calculs car il faut mieux perdre un peu de temps pour les faire juste que d'y aller tête baissée pour se planter.

En effet, a*(b/c)= (a*b)/c
car b/c=b*(1/c) donc a*(b/c)=a*b*(1/c)=(a*b)/c

Donc je te laisse reprendre tes calculs mais sinon, la démarche est juste maintenant.

Bon courage pour la suite!

Je suis parfois étourdie la dessus...

y=-2[(5-2√5)/5] + 4
y=(-10+4√5)/5 + 20/5
y=(10+4√5)/5


y=-2[(5+2√5)/5] + 4
y=(-10-4√5)/5 + 20/5
y=(10-4√5)/5

donc

M1 ( (5+2√5)/5 ; (10-4√5)/5 )

M2 ( (5-2√5)/5 ; (10+4√5)/5 )

Est ce correct ?

Excellent !!

Bon maintenant, y'a plus qu'à se servir de cette méthode en faisant varier le taille de tes cercles ou le positionnement des centres aussi. N'oublie pas qu'il y a des cas, où il n'y a pas d'intersection justement.

Bon courage pour la suite de ton TPE!

Merci beaucoup pour ton aide

Je passe jeudi, je te donnerai des nouvelles

Pas de problème.

N'hésite pas à donner tes impressions surtout et puis si tu le souhaite, tu peux toujours expliquer ta démarche de construction de ton tpe (quel problème tu t'es posé, comment as-tu pensé le résoudre, ...) car cela pourra être intéressant même pour toi à l'avenir si je peux y apporter quelque chose de plus.

Bon courage en tout cas et surtout ne te laisse pas démonter, le but est de rester calme et serein car lorsqu'un travail est fait et bien fait, cela se ressentira le jour J!