Intersection de courbes.

Bonjour, j'ai un autre soucis avec un exercice de Math. En faite là, je bloque pour les premières questions et je n'arrive donc pas à traiter le reste des questions. Voici l'énoncé:


On définit la fonction P sur IR par :
P(x) = 2x² - 6x + 3
Dans le repère orthonormal (O ; i ; j), on appelle Ρ la courbe représentant P et on désigne par S le point de coordonnées (3/2 ; -3/2)

1°) a) Mettre P(x) sous forme canonique.
b) Donner une équation de P dans le repère (S ; i ; j) et tracer P.
2°) Dresser le tableau des variations de P et préciser le minimum de P sur IR.
3°) Donner un encadrement de P(x) pour x appartenant à l'intervalle [-2;3].
4°) a) Représenter, dans (O ; i ; j), la droite Δ d'équation y = x
b) Résoudre algébriquement l'inéquation P(x) ≤ x. Vérifier graphiquement.


Pour la question 1°) a) , aucuns problèmes:
La forme canonique est (sauf erreur de ma part) :
2[ (x-3)² - 3/4 ]

Mais c'est la 1°) b) qui me pose problème et qui me bloque pour continuer l'exercice..

Bonsoir,

Sauf erreur, il y a une erreur dans ta forme canonique justement. En effet, si nous mettons 2 en facteur, on arrive à: 2*[x² -3x + 3/2]

Ce que nous redonne pas ton expression 2*[(x-3)² - 3/4]= 2*[x² -6x + 9 - 3/4]=2*[x² - 6x + 33/4]

Je te laisse revoir tes calculs.

Pour la question suivante, il s'agit d'effectuer un changement de repère. Et d'ailleurs, il ne s'agit que d'effectuer un changemetn d'origine en fait. C'est à dire qu'au lieu de considérer O(0;0), on va considérer S(3/2;-3/2) comme nouveau centre. Donc dans le nouveau repère S a pour coordonnées (0;0) et dans l'ancien (c'est à dire le repère (O;i,j) ) il a pour coordonnées (3/2;-3/2).

La question est donc comment déduit-on les coordonnées d'un vecteur SM (c'est à dire les coordonnées de M dans le nouveau repère) en fonction des vecteurs i et j.

Rappel: M de coordonnées (x;y) dans le repère (O;i,j) <=> OM= x*i + y*j

Bon courage!

Désolée, mais je ne trouve vraiment pas où est mon erreur pour la forme canonique..

Voici le calcul que j'ai fais:

2[ (x-3)² - (6² - 4*2*3)/4*(2)² ]
2[ (x-3)² - 12/16 ]
2[ (x-3)² - 3/4 ]

Toujours cette formule apprise par coeur .

Alors a*[ [x + b/(2a)]² - (b²-4*a*c)/(4*a²) ] voilà la formule que tu as apprise par coeur.

Ici a=2, b=-6 et c=3

Je te laisse donc revoir tes calculs .

L'avantage d'apprendre une formule par coeur c'est de ne pas apprendre la méthode qui permet de la retrouver. Je suis assez d'accord avec cela. Le soucis d'apprendre une formule par coeur? C'est de faire des erreurs de signes ou de calculs lié à la formule ne question.

Je te recommande fortement (surtout vu le très peu de difficulté que pose cette méthode) d'apprendre ou plutôt de comprendre la méthode permettant d'arriver à la forme canonique. Celà te permettra d'éviter les erreurs liées à ta mémoire ou au calcul interne à la formule. Après chacun gère sa façon de voir les choses, je le conçois tout à fait. Et si tu préfères apprendre la formule, il n'y a pas de soucis mais alors ne fait plus d'erreurs sur le sujet sinon, cela serait un mauvais choix stratégique.

Bon courage!

A présent, je trouve:
2[ (x-3/2)² - 3/4 ]

Nickel!

On voit donc apparaître le x-3/2 qui va sans doute disparaître par la suite comme nous allons le voir.

Maintenant, il faut effectuer le changement de repère ou plutôt le changement de centre du repère vu qu'on garde les mêmes directions pour les axes.

Ainsi, un point de coordonnées (x;y) dans le repère (O;i,j) à quelles coordonnées dans le repère (S;i,j)? En d'autres mots, comment passe-t-on de OM à SM?

Bon courage!

Grace aux formules:

x = X + xΩ
et y = Y + yΩ

Non?

On peut le voir comme ça aussi.

Tu aimes bien apprendre des formules .

OM=OS+SM

Or OM=x*i+y*j

Donc SM=-OS+x*i+y*j

Or OS=(3/2)*i + (-3/2)*j donc -OS=(-3/2)*i + (3/2)*j

Conclusion: SM=(x-3/2)*i + (y+3/2)*j

Et si on appelle (X;Y) les coordonnées de M dans (S;i,j). On a aussi: SM=X*i+Y*j

Or deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées donc:

{X=x-3/2
{Y=y+3/2

Ce qui redonne bien tes formules:

{x=X+3/2
{y=Y-3/2

Je te laisse donc faire le changement de variable pour trouver la nouvelle équation.

Bon courage!

Mais à quoi correspond M ?


Je n'ai pas très bien compris..

Attendez, j'ai une petite idée. Je ne pense pas que ce soit ce que vous étiez entrain de m'expliquer, mais je vous la partage quand même!

Il s'agit d'un changement d'axes de repère par translation.

Si on fais une figure montrant deux axes Ox, Oy, deux axes SX, SY parallèles aux précédents, le point S ayant pour coordonnées (a;b) dans le premier repère, ainsi qu'un point M ayant pour coordonnées (x;y) dans le premier repère et (X;Y) dans le deuxième, on verras qu'on a :
x = a + X et y = b + y.

Donc, pour déterminer la fonction P(X) représentée par la courbe dans le deuxième repère, on peux remplacer dans l'expression de P(x), x par a + X et écrire P(x) = b + P(X).
Autrement dit : P(X) = P(a + X) - b.

Qu'en pensez vous?

Bonsoir,

C'est exactement ce que tu proposais par les formules ou ce que je te proposais pas translation.

Car dans ce que j'avais écrit, j'explicitais justement la translation: SM=SO+OM

Si je prend S(a;b) et M(x;y) dans l'ancien repère et (X;Y) dans le nouveau j'ai bien:

SM=X*i+Y*j c'est à dire que les coordonnées de SM sont (X;Y)

OM=x*i+y*j ce qui est bien le fait que les coordonnées dans l'ancien repère sont (x;y)

Enfin, SO=-OS=-a*i+(-b)*j c'est à dire que SO à pour coordonnées dans l'ancien repère (-a;-b).

L'égalité nous donne:

{X=x-a
{Y=y-b

Il s'agit bien d'une translation de vecteur SO entre le premier et le deuxième repère. Et si nous voulons l'ancien en fonction du nouveau, il faut écrit OM=OS+SM ce qui nous donne bien une translation de vecteur OS cette fois ci.

Donc ce que tu dis est exacte, on a bien: x=a+X et P(x)=y=Y+b=P(X)+b

En conclusion:
P(X)=P(x)-b
Or x=a+X

Donc P(X)=Y=P(a+X)-b

Ici, nous avions P(x)=2*[ (x-3/2)² -3/4) ]=2*(x-3/2) - 3/2 et nous avons S(3/2;-3/2)

Je te laisse donc conclure!

Quel est le but de la question en fait? Il s'agit tout simplement de pouvoir tracer la courbe représentant P dans le repère (O;i,j) mais avec comme contrainte de ne connaître que la parabole de la fonction carrée. En conséquence, on te ramène à un repère adapté pour reconnaître la parabole et ainsi pouvoir la tracer sans soucis dans le repère adapté.
Est-ce que la démarche proposée te semble plus intéressante maintenant?

On ne te fait pas faire un changement de repère pour le plaisir mais simplement pour te donner la possibiltié de tracer sans l'aide d'une calculatrice, la courbe représentant la fonction P.

Bon courage!

D'accord, donc voici ce que j'ai fais:



Soit M le point de coordonnées (X ; Y) dans le repère (S, i, j) et (x ; y) dans le repère (O, i, j).
Sachant que OM = OS + SM, on peux écrire :

{ x = 3/2 + X --> X = x - 3/2.
{ y = -3/2 + Y --> Y = y + 3/2.

Soit y = P(x) = 2(x - 3/2)² - 3/2
y + 3/2 = 2(x - 3/2)²
Y = 2X²

C'est tout à fait exact!

Il ne reste plus qu'à tracer maintenant .

Pour la question suivante, je te conseille fortement de ne pas oublier qu'un changemetn de repère peut permettre de mieux appréhender les choses. Il faut juste faire attention qu'un changement de centre garde la monotonie et les extremum mais un changement d'axe peut inverser voir complètement changer les choses. Pourquoi?

Car si je change i en -i et quej e laisse j par exemple, j'inverse la monotonie et donc les extremums (minimum devient maximum et inversement). Il faut donc être méfiant lorsqu'on fait plus que changer le centre du repère.

Par contre, un chose est sûr c'est que dès qu'on change de repère, on peut faire des déduction dans le nouveau repère puis effectuer le changment de repère inverse pour voir comment les déduction sont transporté dans l'ancien repère.

Bon courage pour la suite!

D'accord.

Donc voici ce que me donne le graphique :




& voici ce que me donne le tableau de variation :

Bonsoir,

Alors dans le nouveau repère (S;i,j) vu qu'il s'agit d'une fonction carrée (au facteur 2 près) la fonction est paire et donc symétrique par rapport à l'axe x=3/2. Ce qui ne se voit pas de tropsur ton dessin et c'est un peu domamge . Sinon, l'allure est bien une parabole en effet.

Sinon, le tableau de variation est exacte vu qu'on a vu que dans le nouveau repère S était le sommet de notre parabole, il n'a avait donc plus rien à faire .

Bon courage pour la suite de l'exercice!

Très bien. Ensuite, pour la question 3), voici comment j'ai répondu :

f(-2) = 2[ (-2 - 3/2)² - 3/4 ]
f(-2) = 2[ (-7/2)² - 3/4 ]
f(-2) = 2[ 49/4 - 3/4 ]
f(-2) = 2[ 46/4 ]
f(-2) = 2 * 23/2
f(-2) = 23.

Et

f(3) = 2[ (3 - 3/2)² - 3/4 ]
f(3) = 2[ (3/2)² - 3/4 ]
f(3) = 2[ 9/4 - 3/4 ]
f(3) = 2[ 6/4 ]
f(3) = 2 * 3/2
f(3) = 3.

Donc l'encadrement de f(x) lorsque x appartient à l'intervalle [ -2 ; 3 ] est [ 23 ; 3 ]


??

La fonction P n'estp as du tout monotone sur [-2;3], on ne peut donc pas du tout conclure à partir du calcul des image des extrémintés.

Et l'erreur pouvait se voir directement en constatant que 3/2 appartient à l'intervalle [-2;3] et en conséquence, l'image de 3/2 est dans l'encadrement de P(x) pour x entre [-2;3]. Or P(3/2)=-3/2 qui n'est pas dans ton intervalle [3;23].

Il n'y a d'ailleurs aucune image négative dans cette intervalle ce qui est très louche d'après ton dessin .

Il faut donc faire très attention au fait que ce que tu as fait marche si et seulement si la fonction est croissante sur l'intervalle qu'on considère ou décroissante à la rigueur. Or ici, il y a un changement de monotonie pour x=3/2 ce qui change donc là donne.

D'ailleursà l a question d'avant, on t'a demandé le minimum de ta fonction, ce qui est donc un bon moyen de vérification lorsque le minimum appartient à l'intervalle qu'on considère. Enfin, un moyen au brouillon d'éviter les erreurs est de commencer par résoudre graphiquement ce qu'on te demande c'està dire repérer l'intervalle [-2;3] sur l'axe des abscisses et regarder l'image de cette intervalle sur l'axe des ordonnées. Ensuite, il restera à retrouver par le calcule ce que tu auras observé.

La démarche te semble-t-elle plus clair? Et surtout, as-tu compris l'erreur que tu as faite et le fait que tu aurais pu de toi-même le voir en regardant ton graphique par exemple.

Je te laisse reprendre le raisonnement. L'idée est de scinder ton intervalle en deux pour ainsi avoir un intervalle où la fonction serait décroissante et une autre où elle serait croissante et ainsi pouvoir conclure.

Bon courage!

D'accord. Donc graphiquement, on peux dire que quand x varie de -2 à 3, P(x) est décroissant dans l'intervalle [-inifini ; 3/2] puis croissant sur [3/2 ; +infini]

Alros on écrira plus que P est croissante ou décroissante car c'est la fonction qui croît ou qui décroît. A la place de P(x).

Sinon, c'est tout à fait ça.

Tu pouvais d'ailleursl e dire directement à partir du tableau de variation que le changemetn de monotonie se faisait en x=3/2. Par conséquent, sur [-2;3/2] , P est décroissante et sur [3/2;3], P est croissante.

Et là, tu peux y aller directement, si -2<x<3/2, en appliquant P qui est décroissante sur [-2;3/2], on a donc ??? <P(x)< ???

Et il faut faire de même lorsque 3/2<x<3 en appliquant P qui est croissante, on a ???

Est-ce que tu comprends pourquoi on scinde en deux l'intervalle et surtout pourquoi c'est beaucoup plus simple ainsi?

D'accord.
Est-ce que je peux écrire ça comme ça: (Je ne fais pas les calcules, je vous donne juste le résultat que j'ai trouvé, mais sur ma copie, je mettrais le calcul, bien évidament).

0n calcules P(-2) ; On trouve 23.
Entre x=-2 et x=3/2 , on sais que la fonction P est décroissante.

On calcules P(3/2) ; On trouve -3/2.
Entre x=3/2 et x=2 , on sais que la fonction P est croissante

Enfin, on calcules P(2) ; on trouve 3.


Donc: -2 < x < 3/2 d'où 23 < P(x) < -3/2
et 3/2 < x < 2 d'où -3/2 < P(x) < 3


??

Bonjour,

Alors je constate que le raisonnement que je te donne ne t'es pas du tout familier, j'ai l'impression. L'année dernière tu as dû avoir la propriété suivante:

Soit F une fonction définie sur I et soit a, b dans I tel que a<b

Si F est croissante sur I, alors F(a) et F(b) sont rangées dans le même ordre que a et b c'est à dire que F(a)<F(b)
Si F est décroissante sur I, alors F(a) et F(b) sont rangées dans l'ordre inverse que a et b c'est à dire que F(a)>F(b)

Et c'est d'ailleurs pour pouvoir appliquer cette propriété qu'on commence toujours par étudier les variations d'une fonction lorsqu'on cherche à ranger les images par cette fonction.

Ici le but est donc de ranger les images de l'intervalle [-2;3] par P.

Or sur cette intervalle la fonction P n'est pas monotone car d'après le tableau de variation F change de monotonie pour x=3/2.

En conséquence, on va étudier les images des intervalles [-2;3/2] et [3/2;3] séparément.

Ce qui me fait dire que tu n'as pas très bien compris les choses est que tu cites la monotonie de la fonction sans l'utiliser et à la fin tu écris:

Citation :

-2 < x < 3/2 d'où 23 < P(x) < -3/2

Ce qui n'a pas de sens car être inférieur à -3/2 et supérieur à 23 n'est pas possible tout simplement. Donc il n'y aurait aucune image sur l'intervalle [-2;3/2] ce qui n'est pas le cas.

Maintenant, prenons un exemple simple. Je cherche à trouver un encardement de P(x) lorsque x est dans [10;20].
Soit 10≤x≤20
Or la fonction P est croissante sur [10;20] d'après le tableau de variations
Donc en appliquant P aux inégalité, on ne change pas le sens de celles-ci (vu que lorsqu'une fonction est croissante, les images sont rangées dans le même ordre que les antécédants)
D'où P(10)≤P(x)≤P(20)
On concluerait en calculant les bornes bien entendu.

Autre exemple, je cherche à encadrer P(x) sur [-40;-30].
Soit -40≤x≤-30
Or P est décroissante sur [-40;-30] d'après le tableau de variations
Donc en appliquant P aux inégalités, on change le sens de celles-ci.
D'où P(-40)≥P(x)≥P(-30)
C'est à dire P(-30)≤P(x)≤P(-40)
Et on conclut en calculant les bornes.

Voilà, une rédaction surl e sujet mais c'est surtout les enchaînements qu'il faut que tu comprennes parfaitement. Pourquoi, on met en évidence la monotonie de la fonction? Pourquoi on change les signes dans ce cas là? Pourquoi on ne change pas les signes dans l'autre cas?

Il faudrait qu'à la fin des vacances celà soit réellemetn un réflexe mais surtout que tu ais bien compris d'où cela vient et pourquoi cela fonctionne ainsi. C'est un raisonnement très classique et le maîtriser rapidement est vraiment cruciale poru la suite. Pourquoi? Car lorsqu'on va te demander d'encadrer telle ou telle quantité, tu vas être amener à regarder dans l'expression de la quantité ce qui est croissant ou décroissant et ainsi pouvoir conclure directement sans faire d'étude de fonctions par exemple. C'est vraiment ultra pratique comme raisonnement pour effectuer des encadrements et tu vas être amenée à l'utiliser plus ou moins souvent. C'est pour cela qu'il faut mieux bien comprendre cette démarche lorsqu'on a du temps devant soi .

En espérant que les choses s'éclaircissent petit à petit. Et si ce n'est pas le cas n'hésite pas à m'arrêter et à demander des précisions, je suis là pour ça après tout .

Bon courage pour la suite!

C'est correct si je dis que:

(Après avoir calculer P(-2), P(3/2) et P(3).
Si -2 < x < 3/2 alors 23 > P(x) > -3/2
et, si 3/2 < x < 2 alors -3/2 < P(x) < 3

Donc, si -2 < x < 3 alors 23 > P(x) > 3


Je ne suis pas du tout sûr..

Bonsoir,

C'est correcte à partir du moment où sur chaque ligne tu ajoute la précision "car P décroissante sur ...." ou "Car P croissante sur ...". Car c'est réellement la croissance ou la décroissance qui fait que l'ordre est conservé ou pas.

De toute façon d'une manière générale, toute rédaction est bonne du moment qu'elle est bien justifiée .

Bon réveillon de Noël !!!

Si -2 < x < 3/2 alors 23 > P(x) > -3/2
Car P est décroissant sur [ -2 ; 3/2 ].
et, si 3/2 < x < 2 alors -3/2 < P(x) < 3
Car P est croissant sur [ 3/2 ; 3 ]

Donc, si -2 < x < 3 alors 23 > P(x) > 3