équation du cercle

SLT , j'ai un problème sur l'équation du cercle et j'espère votre aide et merci
soit l'ensemble C d'équation : x² y²-6x-2y 5=0
1) montrer que C est un cercle dont on précisera le rayon et le centre I
j'ai trouvé I(3,1) et R=V5
2) soit D_m : mx-y 2-6m=0 où m un paramètre réel
a) vérifier que d(I,D_m)=|1-3m|/√(1 m²)
déjà vérifié
b) trouver m pour que D_m coupe C en deux points P et Q tel que PQ=4
ici je bloque

Bonsoir,

Je n'ai pas vérifiée les premières questions pour l'instant mais pour celle qui te manque, il faut revenir à la définition même des points d'intersection entre deux courbes.

En effet, un point d'intersection entre deux courbes aura des coordonnées qui vérifient l'ensemble des deux équations de courbes à savoir qu'elles seront solutions du système des deux équations.

Je pense que tu pourras conclure à partir de là.

Bon courage!

j'ai pensé de cela :
mxP-yP+m=0
mxQ-yQ+m=0
(xP-xQ)²+(yP-YQ)²=16
(xP-3)²+(yP-1)²=5
(xQ-3)²+(yQ-1)²=5

on a 5 équations avec 5 inconnues
il me parait qu'il existe une méthode plus simple je sais pas pourquoi ! :p je vois qu'on doit utiliser 2a)

Oulà que c'est compliqué !!!

J'aurai plutôt dit que M(x,y) est un point d'intersection du cercle et de la droite si M appartient au cercle et M appartient à la droite Dm.

Donc, on résout le système suivant:

{x² + y² - 6x - 2y + 5=0
{mx-y 2-6m=0

Du coup, il y a deux solutions pour x qui dépend de m bien entendu et il faudra ajuster m pour que la distance entre P et Q soit égale à 4.

Pour la question 2)a), je ne vois pas trop comment l'utiliser mais on peut dire que le triangle IPQ est ........ en I et donc la hauteur relative à la base PQ est égale à la distance entre I et la droite Dm.

Bon courage!

j'ai utilisé Pythagore dans IPH ou H est le P.O de I sur PQ
mais je n'ai pas compris cette méthode

Citation :

on résout le système suivant:

{x² y² - 6x - 2y 5=0
{mx-y +2-6m=0

Du coup, il y a deux solutions pour x qui dépend de m bien entendu et il faudra ajuster m pour que la distance entre P et Q soit égale à 4.

comment peut-on résoudre ce système ?

Bonsoir,

En fait, lorsqu'un point appartient à deux droites, il suffit de résoudre le système formé par les équations de deux droites vu que les coordonnées du point d'intersection doivent vérifier en même temps les deux équations. Là, il s'agit de la même idée sauf qu'on part d'une équation de cercle.

{x² + y² - 6x - 2y + 5=0
{mx - y + 2 - 6m=0

Pour la deuxième ligne, on exprime y en fonction de x puis on remplace la valeur de y dans l'équation de la première ligne.

Cela donne: y= -mx -2 + 6m pour la deuxième ligne et dans la première ligne on remplace y par cette expression ce qui nous donne une équation d'inconnue x et de degré 2. Il ne reste plus qu'à résoudre.

Est-ce plus clair ainsi ?

Bon courage!

ça doit nous donner un delta avec m non ?? comment peut-on ainsi déterminer x ?

Bonjour,

En effet, cela se complique un peu par rapport à mon intuition initiale car le discriminant est assez horrible et ne se simplifie pas beaucoup après vérification. L'idée était de pouvoir faire des premières hypothèses sur m vu que le discriminant doit forcément être strictement positif (sinon, nous n'aurions qu'un point d'intersection ou pas du tout ce qui est exclus vu que la distance PQ est strictement positive). Puis de déduire la forme des abscisses des deux points en fonction de m et enfin calcul la distance PQ pour résoudre l'équation en m. Mais après coup, cela s'avère trop compliqué au vu de la tête du discriminant pour trouver les abscisses des points d'intersections.

En revanche, ton idée avec la projection orthogonale de I sur [PQ] me paraît plus simple à utilisée d'une part et devrait aboutir vu la forme de l'exercice. En effet, on a déjà calculer la distance IH avec cette méthode en 2)a) et qu'on connaît de fait la distance IP vu que P appartient au cercle d'après la question 1). De plus, vu que le triangle IPQ est isocèle en I, du coup, (IH) est aussi la médiatrice de [PQ], et donc on n'a plus qu'à chercher P tel que la distance PH soit égale à 2 (vu que H est le milieu de [PQ]). Ce qui nous limite à un seul point dont on cherche les coordonnée.

Désolé pour le contre temps et bonne continuation!