Equations différentielles

Ok!

Donc là on a l'ensemble des solutions u de (E2). On sait donc que F est solution de (E1).

Mais quel est le lien entre les deux fonction u et F ?

D'ailleurs, dans la question 1) tu n'as pas écrit la conclusion ce qui t'embête d'ailleurs dans la question deux vu que tu ne vois pasl e lien entre les deux questions.

Citation :

1)
[...]

Donc F est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

Conclusion: Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)

Bon courage!

Désolé je suis crevé je reprendrais ça demain parce que je suis plus dedans.
Merci pour ton aide en tout cas c'est sympa.
A demain et bonne nuit!

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E₂) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce^at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E₂) et on sait que F est solution de (E₁).
Donc si u est solution de (E₂) alors F est solution de (E₁)

Bonjour,

Donc ici le y(t) que tu as explicitée est une solution de (E2). ET si on considère toutes les valeurs de C possibles, nous avons mêem l'ensemble des solutions de (E2).

Donc ce que tu as appelé y c'est une fait une solution u de (E2).

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

Bon courage!

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/u?

Nickel !!!

Conclusion, les fonction vérifiant (E1) sont de quelle forme ?

Elles auront la forme 1/u ??

Oui mais à ce moment là quelle est la forme de u(t) .

On a u(t) en résolvant (E2) qu'on sait résoudre et on en déduit F(t) qui est solution de (E1) graceà l'équivalence. Mais la question te demande d'expliciter l'ensemble des solutions de (E2) dans un premier temps (ce que tu as fait) puis de (E1) dans un deuxième temps (ce qui reste à mettre en évidence).

Bon courage!

La forme est : u = 1/f

Bon, j'ai du mal à me faire comprendre, je pense. Je vais essayer autrement.

La première question te demande de trouver l'ensemble des solutions de (E2): y'=-0.44y+0.022

Les solution de cette équation sont toute de la forme suivante:

Pour tout t>0, y(t)= C*e^-0.44*t + 0.05 avec C dans R

Pourquoi appelle-t-on cela un ensemble de solution? Car on a donné la forme d'une solution de manière générale et qu'on peut écrire cela sous forme d'un ensemble de fonction:

{t (t>0) |--> C*e^-0.44*t + 0.05 / CЄR}= "Ensemble des fonctions solution de l'équation différentielle (E2)"=S₂


Maintennat, la deuxième partie de la question te demande d'expliciter l'ensemble des solution de (E1) (que je note S₁).

Comment faire sachant qu'on ne connaît que l'ensemble S₂?

Et bien on sait d'après la question 1) que si uЄS₂ alors FЄS₁ avec F=1/u

Donc je prend une fonction quelconque dans S₂ que j'appelle u c'està dire que pour CЄR, je pose pour tout t>0, u(t)=C*e^-0.44*t + 0.05

Maintenant, je sais que F(t)=1/u(t) est solution de (E1) (vu que si uЄS₂ alors FЄS₁ avec F=1/u).

Conclusion: ???


J'espère que les idées sont plus simples exprimées ainsi car j'ai pasl 'impression que ce soit très clair pour toi ce qu'est un ensemble de solution d'une équation différentielle. Donc si c'étaitl e cas sans doute que ce message éclaircira sinon, il complètera ce que tu savais déjà au pire.

Bon courage!

En fait, je vois pas pourquoi ça prouve que 1/u(t) est solution de S₁

Donc c'est l'équivalence démontrée en 1) qui à l'air de te poser des soucis d'interprétation.

En fait, si je garde mes ensembles S₁ et S₂ respectivement pour l'ensemble des solutions de (E1) et de (E2). On a montré que:

L'énoncer nous dit que FЄS₁ et on pose F=1/u. Ce sont deux hyptohèse faite par l'énoncer lui-même:

Citation :

f est solution de l'équation différentielle :

(E1) : y' = 0.022y(20-y)

1. On pose f = 1/u.

Maintenant dans la question 1), on montre (par double implication (=>) puis (<=) ou par équivalence (<=>) ) que:

En posant que F=1/u (pour une fonction u qui ne s'annule pas sinon la fraction n'est pas définie), on a:

FЄS1 <=> uЄS₂



Donc maintenant cette question est acquise et on peut l'utiliser directement dans les questions suivante. Et c'est ce qu'on fait dans la deuxième partie de la question 2). En effet, la première partie nous permet d'expliciter la forme des fonction qui compose S₂ puis après on nous demande la forme des fonction qui compose S₁.

C'est à dire qu'on cherche la forme générale d'une fonction FЄS₁ sachant qu'on connaît la forme des fonction uЄS₂.

D'après la question 1), on sait que uЄS₂ => F(=1/u) Є S₁

Est-ce que ça commence à être plus clair ou c'est toujours aussi flou ?

Donc l'ensemble des solutions de (E₁) est :
1/[C*e-0.44*t + 0.05]

C'est tout à fait ça.

Ca paraît bête une fois écrit mais bon, ce n'est pas une évidence si nous avions pas la question 1).

Du coup, il nous reste à déterminer la constante pour qu'on est notre fonction F définie par F(0)=0.01 pouar faire la question suivante.

Bon courage!

Je comprends mieux c'est déjà ça!

Reprenons :

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-^0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e^-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e⁰ + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^^-4
[1 -5*10^^-4] / 0.01 = C = 99.95

Nickel!!

Donc pour tout t>0, F(t)= ??

Bon manque de chance nous n'avonsp as tout à fait la forme qu'il nous demande. Est-ce qu'on pourrait la retrouver à partir de la fonction qu'on vient de mettre en évidence?

i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-^0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e^-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e⁰ + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^^-4
[1 -5*10^^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-^0.44*t + 0.05]
Ils demandent quelle forme?

Celle de la question 3) petit malin :

Citation :

f(t) = 20/[1 + 1999*e^-0.44t]

Comment on passe de celle que tu as à celle-ci ?

Pourquoi doit-on le mettre sous cette forme?

Sinon, on multiplie par 20 et on a notre forme.

En effet, on multiplie par 20 au numérateur et au dénominateur et nous avons la forme que nous cherchons.

Bon alors il y a deux réponse à ta question. La première très scolaire et très naïve qui consisterait à dire "C'estl a question qui demande de le mettre sous cette forme là, donc on le mets sous cette forme là".

Bon c'est bien beau mais pourquoi l'énoncer nous donne cette forme là plus qu'une autre? Et bien c'est pour facilité la résolution de la question suivante tout simplement car on met en évidence le 20 au numérateur et celui-ci se retrouver dans l'encadrement ce qui ne doit pas être anodin.

Alors est-ce que tu as des idée pour la question suivante jsutement par rapport à ce que je viens de dire ?

Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. On a :
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

J'ai donc :
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44(1/f) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f)/f
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E₂) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce^at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E₂) et on sait que F est solution de (E₁).
Donc si u est solution de (E₂) alors F est solution de (E₁)
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e-0.44t].


3. Je calcule la limite de 1/u?

Alors il y a des problème de rédaction car tu ne mets pas en évidence les hyptohèses et les conclusions dans tes démarches:

Citation :

Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. --> On suppose que F=1/u est solution de l'équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y).
Démontrons que u est solution de l'équation différetielle (E2): y'=-0.44*y+0.022

On a pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022) (car u ne s'annule pas par hypothèse)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
Donc u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

(On a montré que: F solution de (E1) => u solution de E2)

-->Maintenant, on suppose que u est solution de (E2): y'=-0.44*y+0.022.
Démontrons que F=1/u est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

J'ai donc pour tout t strictement positif:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44[1/f(t)] + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f(t) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f(t))/f(t)
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
Donc F est solution de (E1)

--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E₂) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce^at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E₂) et on sait que F est solution de (E₁).
Or si u est solution de (E₂) alors F est solution de (E₁) d'après la question 1)

[...
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e-0.44*t + 0.05]

...]

Donc l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonctions definie pour tout t strictement positif par F(t)=1/u(t) avec u(t)=C*e^-0.44t + 0.05 solution de (E2).
D'où l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonction définie pour tout t strictement positif par F(t)=1/[C*e-0.44*t + 0.05]

3.
Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e0 + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e-0.44t].


4. Je calcule la limite de 1/u?

Pour la question 4), on ne calcule pas de limite, il s'agit d'encadrer F(t) pour tout t strictement positif tout simplement en encadrant le dénominateur.

Bon courage!

Je vais tout d'abord vérifier la rédaction de cette question. Le tout nous donne :

1. --> On suppose que F=1/u est solution de l'équation différentielle (E1): y'=0.022*y*(20-y).
Démontrons que u est solution de l'équation différentielle (E2): y'=-0.44*y+0.022

On a pour tout t strictement positif:
F'(t)=0.022*F(t)*[20-F(t)]
F'(t)=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
avec F'(x) = -u'/u² donc :
-u'(t)/[u(t)]²=0.022*(1/u(t))*[20-(1/u(t))]
-u'(t)/[u(t)]²= 0.022/u(t) [(20u(t)-1)/u(t)]
-u'(t)/[u(t)]²= [0.022(20u(t)-1)] / [u(t)]²
-u'(t)/[u(t)]²= (0.44u(t) -0.022) / [u(t)]²
Donc :
-u'(t) * [u(t)]² = [u(t)]² * (0.44u(t) -0.022)
-u'(t) = (0.44u(t) -0.022) (car u ne s'annule pas par hypothèse)
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 pour tout t strictement positif DONC :
Donc u est solution de l'équation différentielle (E2) définie par : y'=-0.44*y+0.022

(On a montré que: F solution de (E1) => u solution de E2)

-->Maintenant, on suppose que u est solution de (E2): y'=-0.44*y+0.022.
Démontrons que F=1/u est solution de (E1): y'=0.022*y*(20-y)

J'ai donc pour tout t strictement positif:
u'(t) = -0.44u(t) +0.022 avec f = 1/u donc u = 1/f
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44[1/f(t)] + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = -0.44/f(t) + 0.022
-f'(t)/[f(t)]² = (-0.44 +0.022f(t))/f(t)
[-f'(t)/[f(t)]] = -0.44 + 0.022f(t)
-f'(t) = (-0.44 + 0.022f(t)) * f(t)
-f'(t) = -0.44f(t) + 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.44f(t) - 0.022[f(t)]²
f'(t) = 0.022f(t)(20-f(t))
Donc F est solution de (E1)

--> Si F=1/u, alors, on a: F est solution de (E1) si et seulement si u est solution de (E2)


2. (E2) : y' = -0.44y + 0.022 --> de type "y' = ay + b" donc :
y(t) = Ce_at + (-b/a) = Ce^-0.44t + 0.022/0.44 = Ce^-0.44t + 0.05.
On a donc l'ensemble des solutions de (E2) et on sait que F est solution de (E1).
Or si u est solution de (E2) alors F est solution de (E1) d'après la question 1)

[...
i)Quel lien y a-t-il entre u et F par hypothèse de l'énoncer?
ii) Conclusion quel est l'ensemble des solutions de (E1) ?

i) f = 1/u
ii) 1/[C*e^-0.44*t + 0.05]



Donc l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonctions d"finie pour tout t strictement positif par F(t)=1/u(t) avec u(t)=C*e^-0.44t + 0.05 solution de (E2).
D'où l'ensemble des solutions de (E1) sont les fonction définie pour tout t strictement positif par F(t)=1/[C*e^-0.44*t + 0.05]

3.
Je cherche donc la valeur de C avec : F(0)=0.01
1/[C*e^-0.44*0+ 0.05] = 0.01
1/[C*e⁰ + 0.05] = 0.01
1/[C + 0.05] = 0.01
1 = 0.01[C + 0.05]
1 = 0.01C + 5*10^-4
[1 -5*10^-4] / 0.01 = C = 99.95

Donc pour tout t>0, F(t)= 1/[99.95*e^-0.44*t + 0.05] = 20/[1 + 1999e^-0.44t].


4. J'ai beau chercher je vois pas... C'était pas bon ce que j'avais fait?

Ce que tu as fait c'est calculer pout t=0 et t=20.

Cependant, on veut un encadrement valable pour tout t strictement positif. Donc la démarche est erronée vu que t u commence par fixer des valeurs de t.

Tu voulais prendre la limite à l'infini j'imagine ce qui nous donne lim_x->+Inf F(t)=20 (car l'exponentielle tend vers 0 en -Infini)

Mais le soucis 'est qu'on ne connaît pas les variatino de F et par conséquent, on ne peut pas savoir si F(t) reste inférieur strictement à 20 ou pas en ne calculant que la limite.

Avec cette phrase, tu pourrais penser à faire une étude de viriation de F ce qui te permettre de déduire q'elle reste bien entre 0 et 20, c'est une première approche à la rigueur qui peut être utile lorsqu'on est complétement bloqué et sans idées.

Cependant, j'ai l'intime conviction que nous ne sommes pas bloqué du tout. Pourquoi?

Pourrais-tu encadrer A(t)=1 + 1999e_-0.44t pour t strictement positif en te servant de ce qu'on connaît de la fonction exponentielle. L'encadrement n'a pas besoin d'être très fin, tu peux y aller de bon coeur pour faire l'encadrement.

Bon courage!

e^-0.44t > 0 car l'exponentielle est toujours strictement positive.
1999e^-0.44t > 0 car 1999 est positif
1 + 1999e^-0.44t > 0