Additions de systèmes

Bonsoir, j'ai un exercice de DM à faire cependant je n'ai pas compris car j'ai été absente quand on a traité ce paragraphe, voici l'enoncé :

A, B et C sont trois points non alignés de C.
Montrer que le système {(A,3);(B,-2);(C,1)} et {(A,3);(B,-2);(C,3);(C,-2)} admettent le même barycentre.
1. on note G = Bar {(A,3);(B;-2);(C;1)}, I le milieu du segment [AC] et J celui du segment [BC]. Montrer que : G = Bar {(I,3);(J,-2)}.
2. Soit B' le milieu du segment [AI], montrer que G est à l'intersection des droites (BB') et (IJ).
3. quelle est la nature du quadrilatère ABIG ? Le démontrer.

Merci d'avance pour votre aide !

Bonsoir et bonne année 2010!

Sur les barycentre, il y a en fait peu de chose à savoir. En effet, il faut savoir la définition du barycentre.

Par exemple, si G=bar{(A;3),(B;-2),(C;1)} on a par définition l'égalité vectoriel suivante:

3*GA + (-2)*GB + 1*GC = 0

Et en utilisant la relation de Chasle sur les vacteurs, nous pouvons donc manipuler cette objet mathématiques à volonté.

Ce qu'il faut savoir tout d'abord sur cette objet c'est qu'il est totalement tirer un problème très concret. En effet, le barycentre est en fait un point en lequel toutes les masse se concentre pour un objet. Par exemple, si tu prends une tige en fer toute simple et que tu mets un doit au milieu de la tige, elle tiens en équilibre. Le milieu de cette tige est en fait l'isobarycentre de celle-ci.

Maintenant si on accroche des poids de chaque côté de cette tige, il va falloir bouger le doigt en fontion des point qu'on aura mis de chaque côté. Et la position qu'on trouvera sera la barycentre des extrémités affecté des poids correspondants. C'est en quelque sorte pour cela que les coefficients (3, -2 et 1 sur l'exemple) s'appellent des poids (associé à A, B et C respectivement).

Par la suite, nous avons voulu définir commetn trouver systématiquement l'emplacement de ce point (l'étude des forces mises en jeu le permet par exemple d'où le lien avec les vecteurs en quelque sorte; c'est très abrégé là) et nous avons fini à force de précision à décrire un nouvel objet mathématique qui est le barycentre. Et nous avons ensuite tenté de trouver ou retrouver les propriétés sur cet objet.

Ainsi, nous connaissons deux propriétés sur les barycentres

- l'homogénéité c'esst à dire bar{(A,a);(B,b)}=bar{(A,k*a);(B,k*b)} avec k un réel non nul quelconque.

- L'associativité du barycentre c'est à dire que:
Si G=bar{(A,a);(B,b);(C;c)} et I=bar{(A,a);(B,b)} ce qui signifie que a+b+c est non nul et de même a+b est non nul (sinon, il n'y a pas de barycentre au sens de la définition)
Alors G=bar{(I,a+b);(C,c)}

La réciproque est tout à fait vraie d'ailleurs, c'est à dire que:
Si G=bar{(I,a+b);(C,c)} et I=bar{(A,a);(B,b)}
Alors G=bar{(A,a);(B,b);(C,c)} (car a+b+c différent de 0)

Les deux propriétés se démontrent à partir de l'égalité vectoriel et de relation de Chasle sur les vecteurs. Nous pourrons donc les démontrer au cas où les utilises brute si besoin.

Voilà en gros les seules choses à connaître. Je dis en gros car il y a une relation fondamentale aussi qu'on peut connaître mais bon, on la retrouve facilement au pire par la définition du barycentre donc je n'en parle pas pour l'instant.

A partir de là, as-tu des idées pour la question de cours (la question avant la question 1) )?

Bon courage!

Merci pour vos explication claires, elles m'ont aidées. Voici mon raisonnement :

{(A,3);(B,-2);(C,3);(C,-2)}
D'apres la propriété d'associativité,
{(A,3);(B,-2);(C,1)}

On peut constater que les deux systèmes sont identiques et donc admettent le même barycentre, soit : 3GA -2GB + GC = 0

pour la question 1,
I est le milieu de [AC], d'où:
IA + IC = 0

ensuite je sais que je dois utiliser la propriété d'associativité mais je ne sais pas comment formuler mon raisonnement

Pour la question de cours c'est tout à fait exacte, il suffit presque d'écrire son cours pour écrire la solution.

Pourl a première question, ilfaut utiliser la remarque juste avant celle-ci.

En effet, G={(A,3);(B,-2);(C,1)}
Or d'après la remarque qu'on vient de montrer, on a aussi G=bar {???} ??

Ensuite, ce que tu écris en terme d'égalité vectorielle est juste mais écrit plutôt I comme barycentre de A et de C avec les bon coefficient (par homogénéité, on peut presque les choisir comme on le souhaite). De même pour J qui sera un barycentre de B et de C.

Il restera en effet à conclure par associativité.

Est-ce que le raisonnement te paraît plus explicite? Il faut vraiment manipuler la notion de barycentre à l'aide des deux propriété autant que faire se peut avant de passer en relation sur les vecteurs pour éviter de sombrer dans les calculs trop rapidement.

Bon courage!

Je suis vraiment désolé mais je bloque au même endroit : "Ensuite, ce que tu écris en terme d'égalité vectorielle est juste mais écrit plutôt I comme barycentre de A et de C avec les bon coefficient (par homogénéité, on peut presque les choisir comme on le souhaite). De même pour J qui sera un barycentre de B et de C."

Comme tu l'as écrit:

I milieu de [AC] <=> IA + IC = 0

Par définition d'un barycentre, que pouvons-nous dire de I? De façon brute sans chercher à faire subtile, juste en utilisant la définition d'un barycentre de deux points ici.

Bon courage!

I=Bar {(A,1);(C,1)} ??

C'est la définition en effet. Donc c'est nickel .
Maintenant, fait de même avec J.

Ensuite, regarde par homogénéité par quoi multiplier les coefficients qui sont égaux à 1 pour l'instant poru qu'on puissance utiliser ces barycentre par associativité dans la définition barycentrique du point G.

Bon courage!

J est le milieu de [BC], d'où :
JB + JC = 0
Donc, J = Bar {(B,1);(C,1)}

soit G le barycentre de A,3 ; B,-2 et C,1
D'après la propriété d'assiciativité,

G=bar{(A,3);(B,-2);(C,1)}

et ensuite, je suis de nouveau bloqué

C'est ok pour J!

Sinon, le fait que G=bar{(A,3);(B,-2);(C,1)} c'est donné par l'énoncer ça.

i)Mais d'après ce qui précède à quoi est aussi égale G en terme de barycentre?
ii) Modifier les poids par homogénéités des barycentre I et J pour les adapter aux coefficients présents présent dans G
iii) Conclure

Bon courage!

J'ai compris, il faut que je multiplie par homogénéité I par 3 et J par -2 ainsi C est bien égale à 1
Cenpendant je ne sait pas comment retranscrire ça sur ma copie

L'idée est là en quelque sorte. On ne multiplie pas I et J mais plutôt les coefficients des points car c'est eux qui varietn par homogénéité du barycentre d'après ce que j'avais marqué dans mon premier message.

Comme on dit souvent "à idées claires, expressions claires". Essaie de nous proposer une rédaction même bancale, je suis sûr qu'elle ne sera pas si fausse que cela. Et l'avantage de cette démarche est que tu va te rendre compte où se trouve les articulations du raisonnement ce qui est très formateur pour d'autre exercice de géométrie par exemple.

Il ne faut pas avoir peur de faire des erreurs après tout qui n'en fait pas? . Donc vas-y lance toi et si ce n'est pas bon et bien nous prendronsl e temps de corriger sans soucis.

Bon courage!

I est le milieu de [AC], d'où:
IA + IC = 0
donc, I=Bar {(A,1);(C,1)}

De plus, J est le milieu de [BC], d'où :
JB + JC = 0
Donc, J = Bar {(B,1);(C,1)}

soit G le barycentre de A,3 ; B,-2 et C,1
D'après la propriété d'assiciativité et d'homogénéité,

I=Bar {(A,3);(C,3)}
et J = Bar {(B,-2);(C,-2)}

Donc G=Bar{(I,3);(J,-2)}

C'est presque super ça .

La conclusion est fausse en fait.

C'est bon jusque là: G=bar{(A,3);(B,-2);(C,1)}

Or d'après la question de cours, qu'avons-nous montrer? Donc G= ???

De plus, par homogénéité, I=bar ??? et J=bar ??? (il faut explicité clairement les coefficient qu'on va mettre en jeu pour éviter les erreurs).

Je te laisse reprendre, nous ne sommes pas loin.

Bon courage!

I est le milieu de [AC], d'où:
IA + IC = 0
donc, I=Bar {(A,1);(C,1)}

De plus, J est le milieu de [BC], d'où :
JB + JC = 0
Donc, J = Bar {(B,1);(C,1)}

D'après la propriété d'homogénéité,

I=Bar {(A,1*3);(C,1*3)}
I=Bar {(A,3);(C,3)}
et J = Bar {(B,1*-2);(C,1*-2)}
J = Bar {(B,-2);(C,-2)}

soit G le barycentre de A,3 ; B,-2 et C,1
D'après la propriété d'assiciativité,

{(A,3);(B,-2);(C,3);(C,-2)}

ensuite je ne sais vraiment pas comment conclure

Donc G= Bar{(I,6);(J,-4)}, par homogénéité, G=Bar {(I,3); (J,-2)}
donc G est bien le barycentre du système {(I,3); (J,-2)}

est-ce juste ??

Et ba tu vois que tu sais faire !

C'est nickel! Tout n'est peut-être pas à 100% bien rédigé mais en tout cas tous les arguments sont là et dans un ordre cohérent. Donc c'est compréhensible pour toi d'une part ainsi que pour le correcteur. C'est donc parfait!

Bon courage pour la suite, la démarche est similaire et la conclusion repose sur la définition d'un barycentre.