Détermination de tangentes

Bonjour, je suis surtout bloquée aux question 2)et 3) de cet exercice :

On considère la courbe C d'équation y= x²-x+1 et la courbe C' d'équation
y= 1/(1+x).
1) Démontrez que ces deux courbes se coupent en un point A dont vous préciserez les coordonnées.
Là je pense qu'il faut résoudre l'équation y= y et ça me donne comme solutions :
x= 0 et x= -3/2 ... mais après je ne vois pas comment faire..
2) Démontrez que les courbes C et C' admettent en ce point A une tangente commune.
3) étudiez la position de chacune de ces courbes par rapport à cette tangente.
je pense qu'il faut faire un tableau de signe pour chaque courbe mais après que faire ?
Pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Bonjour,

Il doit y avoir un problème à la première question.

En effet, trouver un point d'intersection entre deux courbes revient à chercher les solutions d'un système de deux équations (les équations de courbes) à deux inconnues. C'est à dire que pour la première question, il s'agit de résoudre le système:

{y=x²-x+1
{y=1/(x+1)

Il n'y a qu'un seul point d'intersectino d'après l'énoncer de la question. Il est donc quasiment improbable de trouver deux abscisses permettant de résoudre ce système.

Est-ce que tu comprends pourquoi il y a une erreur?

Pour la question 2), il faudra calculer l'équation de la tangente à chacune des courbes en ce point (point dont on aura les coordonnées une fois la première question bouclée). En espérant pouvoir constater qu'il s'agit de la même équation. C'est cela que signifie "avoir une tangente commune au point A".

Pour la question 3), il s'agit en effet de faire un tableau de signe de la différence entre chacune des équations et la tengante commune pour savoir où se situe les ordonnées des points de la courbe (et donc la courbes) par rapport à la tangente.

Cet exerccie permet par exemple de pouvoir affiner un tracer de ces deux courbes dans un repère donnée. Car il est souvent délicat lorsqu'on a un point d'intersection entre deux courbes de savoir où il est et comment les courbes se croisent à cette endroit précis. C'est une démarche qui permet donc de palier à cette difficulté si nous avions à effectuer le tracer.

Bon courage!

Merci beaucoup pour ces précisions,
alors pour la question 1) si je résout le système je trouve 2x^3+3x^2 = 0 mais il doit y avoir une autre erreur parce que je ne vois pas comment continuer...

Il doit en effet avoir un problème dans ton calcul car je ne vois pas comment tu as fait apparaître les coefficient 2 et 3 dans ton résultat.

Donc si on travaille par substitution, on a donc en remplaçant y par sa valeur dans la deuxième équation:

{y=x²-x+1
{x²-x+1=1/(x+1)

Maintenant, nous sommes amené à résoudre l'équation x²-x+1=1/(x+1). Puis lorsque nous aurons une solution à cette équation, nous remplacerons sa valeur dans la première équation.

Est-ce que la démarche de résolution est comprise pour ce qui est de la substitution?

Maintenant, comment résolves-tu l'équation x²-x+1=1/(x+1) ?

Bon courage!

J'hésite sur la manière de résoudre l'équation, si on passe tout dans le membre de droite, on a :
1/(x+1)-x^2+x-1=0
on met sous le même dénominateur :
(-x^3-x^2+x^2+x-x-1)/(x+1) + 1/(x+1)=0
1-x^3-1/(x+1)=0
-x^3/(x+1)=0
et comme -x^3=0 on étudie x+1=0 donc x=-1
c'est ça ? où est ce qu'il ne faut pas résoudre l'équation de cette façon ?

Bonjour,

Il y a un soucis à la fin de ta rédaction. En effet, tout tes calculs sont justes et le raisonnement bon jusqu'à cette lige là: -x³(x+1)=0

Maintenant, nous savons déjà que x est différent de 1 (sinon le quotient ne serait pas définit vu qu'on ap as le droit de diviser par 0). Mais ceci est anecdotique ici vu qu'il faut toujours avoir en tête:

"Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul"

Par conséquent, quelle est l'unique solution à cetet équation?
Conclure sur les coordonnées du point d'intersection.

Bon courage!

vous voulez dire que nous savons que x est différent de -1 ( parce que vous avez écrit 1, je crois que c'est plutôt -1)...
d'après ce que vous avez dit, je pense que l'unique solution à cette équation est x= 0
c'est ça ?
donc les coordonnées du point d'intersection sont A(0;2), est-ce exact ?
En tout cas, merci mille fois pour votre aide généreuse !!

Bonsoir,

En effet, c'est bien différent de -1 et non de 1. Comme quoi se relire a toujours du bon et à tout niveau .

Sinon, l'unique solution est bien 0 en effet car la fraction est nulle si et seulement si -x³=0 c'est àdire x=0.

Par contre, je ne suis pas tout à fait d'accord sur l'ordonnée du point A. Quelle est l'ordonnée d'un point d'abscisse nul? (Sachant qu'il s'agit du point d'intersection, l'une ou l'autre des équations donnera le même résultat).

Pour la question d'après, tout repose sur le calcul de l'équation de la tangente à C et à C' au point A (avec l'espoir que les deux équatinos soient identique si on souhaite montrer une tangente commune ).

Bon courage!

merci beaucoup de m'avoir aidé, j'ai bien suivi la correction de l'exercice et je discerne bien les étapes à suivre pour ce type d'exercice maintenant

Bonsoir,

N'hésite pas à nous proposer une correction de cette exercice. Cela te permettra de faire un bilan de celui-ci et voir s'il reste des choses qui ne sont pas claires (une correction paraît toujours claire lorsqu'on l'a lu mais bon le refaire peut montrer qu'on avait pas encore tout compris ou au contraire qu'on a tout assimilé) et cela permettra à d'autre d'avoir une correction de celui-ci ce qui peut être intéressant aussi.

Bon courage pour la suite et @bientôt sur le forum!