Determination de deux aires égales.

Bonjour a vous, voilà j'ai un soucis pour mon exercice de maths et j'aimerais bien que vous puissiez m'aider =D.

Voici l'énoncé : A chaque angle d'une feuille de papier rectangulaire de format 21 x 29,7, on plie de la façon indiquée sur la figure ci dessous.



Determiner x pour que la partie repliée ait la même aire que la partie restante (hachurée).

Je pars dans l'idée que du fait qu'il y ait deux aires égales, on doit obtenir une égalité de deux équations, qu'on ramènerais par la suite a une seule équation qui serais égale à zero. Mais je ne suis pas sûr que ce soit ça ^_^. Cet exercice fait parti du chapitre sur les polynômes du second degré, si ça peut vous aider

Merci d'avance

Bonsoir et bienvenue parmi nous!

Ton intuition est plutôt juste mais maintenant, il faut concrétiser tes dires par la mise en question.

En effet, que vaut l'aire de la partie qui va être repliée?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Merci
Etant donné que l'aire de la partie repliée va être égale a celle de la partie restante, et qu'on a que x, c'est justement pour ça que je bloque.
J'aurais tendance à dire que l'aire vaudrais x² ce qui signifirais que l'aire de la partie replié soit un carré. Et donc celle de la partie restante aussi par la même occasion non ?

En fait, nous cherchons une valeur de x pour qu'il y ait égalité des deux aires.

On constate assez rapidement que l'aire centrale ne va pas nous être accessible de façon brute. Pourquoi? Car il s'agit d'un parallèlogramme dont on ne connaît ni la longueur des côtés et encore moins la longueur d'une hauteur. Par conséquent, il serait logiquement assez vain de se lancer dans le calcul de cette aire là.

En revanche, on peut dire qu'on peut la déduire dans le cas que nous cherchons. Pourquoi?

Car nous cherchons la ou les valeurs de x tels que, l'aide centrale soit égale à l'aire colorée. Par conséuquent, si je pose A₁ l'aire achurée et A₂ l'aire de la partie blanche lorsqu'on a égalité entre les deux aires. De plus, je pose A l'aire de notre feuille.

i) Quelle(s) relationsavon(s)-nous entre A₁, A₂ et A?
ii) Exprimer A₁ en fonction de A seulement.

On constate donc que l'idée est de calculer l'aire de la partie colorée et elle est en fait très simple à calculer si on prend le temps de bien regarder la figure et de bien mettre sur celle-ci toutes les hypothèses que nous possèdons. D'une manière générale pour ce genre d'exercice, le premier réflexe à avoir est de reproduit la figure sur ta feuille et de mettre toutes les anotations sur les longueurs et sur les angles que tu peux déduire seulement avec les hypothèses del 'énoncer comme:

- mettre en évidence les angles droits
- mettre en évidence les longueurs manquantes données par le texte

Et dès fois, nous pourrions mettre aussi des indications annexes à côté du dessin (dans d'autres exercices) comme:

- Parallèlisme entre des droites
- Orthogonalité entre des droites
- égalité de longueur
- propriétés sur les angles (genre si nous avions un triangle isocèles ou équilatérale)

C'est un avantage non négligeable de pouvoir faire une figure et il faut donc mettre toutes les anotations qu'on peut mettre d'après l'énoncer (on ajoute pas de déduction autre que des déducton classique car des figures peuvent être trompeuses donc il faut savoir rester simple aussi).

Ainsi qu'elle est la particularité du calcul de l'aire colorée?

Bon courage!

Alors si je commence en répondant à vos deux question j'obtiens :
i) A = A1 + A2 (etant donné qu'on replie la feuille, on perds pas de papier logiquement ^^)
ii) Etant donné que les deux aires sont égales, logiquement A1 = A/2.
En revanche je ne comprends votre dernière question : "Ainsi qu'elle est la particularité du calcul de l'aire colorée?
"

C'est tout à fait exact!

Nous savons donc calculer A et en déduire la valeur de A₁.

Cependant, il va falloire maintenant exprimer A₁ en fonction de x pour mettre en évidence l'équation que nous allons devoir résoudre.

L'aire colorée, A₁, se calcule en ajoutant plusieurs aires distinctes. Comment calcule-t-on ses aires? En déduire l'aire A₁.

Bon courage!

Dans le cas présent : A = 21x29,7 = 623,7 cm²
Donc l'aire A1 = A/2 = 623,7/2 = 311,65 cm²

Donc par conséquent, il va faloir faire la somme des 4 triangles rectangles qui se trouvent autour du parrallèlogramme pour obtenir A1.
Le calcul de l'aire d'un triangle rectangle se calcule avec l'aire d'un rectangle qu'on divise par deux si mes souvenirs sont bons.
Seulement, etant donné que nous avons que x, qui serais donc la largeur d'un rectangle imaginaire autour de chaque triangle rectangle. Il nous faut donc la longueur. Pour le coté de 29,7, la longueur du côté manquant = 29,7-x
Et donc pour le coté de 21, la longueur = 21-x. En supposant que l'aire des deux triangles rectangles a droites et a gauche soites egales, même principe pour ceux du haut et du bas, j'obtiendrais
A1 : 2*(((21-x)*x)/2) + 2(((29,7-x)*x/2) = 311,65

Seulement, ca me parait beaucoup trop compliqué, même si je suis persuadé qu'il faut soustraire x a chacun des cotés de notre feuille pour calculer l'aire des 4 triangles rectangles.

PS : (Je ne pourrais voir votre réponse que demain en début d'après-midi, mes excuses a l'avance)

Ne t'excuse pas, il n'y a pas de mal pour cela. après tout, le but est de progresser et de réfléchir sur des démarches et des raisonnements des exercices.
Donc rien ne presse, il suffit de prendre son temps pour bien apprivoiser les choses et ainsi mieux assimiler pour les réutiliser ensuite.

Ta démarche est excellente en tout cas!

En fait, juste des questions de vocabulaire pour t'aider à mieux voir les choses. On n'ajoute pas les 4 triangles rectangles mais leur aire respective bien entendu.

Et sinon, d'après le dessin que nous avons sous les yeux, on ne suppose pas que les triangles sont égaux deux à deux, on l'affirme!! En effet, il suffit de voir que le côté de l'angle droit pour celui en haut à gauche est de 29.7-x et de x comme tu l'as dit. Et pour celui en bas à droite c'est exactement la même chose x et 29.7-x. Et même pour les deux autres triangles qui ont pour côtés de l'angle droit x et 21-x comme tu l'as écrit.

Ainsi, on arrive bien à:

2*(((21-x)*x)/2) + 2(((29,7-x)*x/2) = 311,85 (c'est bien 311.85, il devait avoir une faute de frappe dans ton message, je pense)

Il ne nous reste plus qu'à résoudre cette équation qui va être un polynôme du second degré (comme te l'indiquait le titre de ton chapitre d'ailleurs).

Il ne faut pas que tu soit impressionné par l'aspect compliqué que prend cette équation car ta démarche étant excellente, il ne peut y avoir d'erreur dans l'écriture de cette expres​sion(à l'erreur de calcul près bien entendu). Il faut vraiment que tu te convaincs que ton raisonnement est vraiment nickel et donc que tu es vraiment capable d'avoir d'excellente intuition malgré ta réticence sur le sujet (à première vue un joli manque de confiance en soi pour le coup ).

Bon courage pour la finalisation de cette question et n'hésite pas à poser tes questions!

Bonjour à vous, pour commencer, j'affirme la faute de frappe
Ensuite, si je regarde l'équation qui me parrait compliquée, j'observe que je peux simplifiée celle-ci en "annulant" les *2 et /2 dans chaque partie de l'équation.
Donc j'obtiens finalement : (21-x)*x + (29,7-x)*x = 311,85
Maintenant je résouds :
(21-x)*x + (29,7-x)*x = 311,85
21x - x² + 29,7x - x² = 311,85
50,7x - 2x² = 311,85
-2x² + 50,7x - 311,85 = 0 => Calcul du discrimant (j'utiliserais la lettre "d")
d = b² - 4ac
d = 50,7² - 4*(-2)*(-311,85)
d = 2570,49 - 2494,8
d = 75,69.

Le discriminant étant positif, on admet donc deux racines réelles :
x' = (-b - \/¯d)/2a
x' = (-50,7 -\/¯75,69)/ -4
x' = 14,85

x" = (-b + \/¯d)/2a
x" = (-50,7 + \/¯75,69)/ -4
x" = 10,5

Or en vérifiant, je m'aperçois que la valeur de 14,85 ne vérifie pas la précédente équation. En revanche, 10,5 fonctionne parfaitement, j'en conclus donc que 10,5 est la valeur de x pour laquelle les deux aires sont égales. Pourriez vous me confirmer si ma solution est juste ?

Merci d'avance

Bonjour,

Les calculs étant juste les deux solutions vérifient donc nécessairement l'équation du second degré.

Je ne vois pas pour l'instant pourquoi tu ne considères pas 14,85 comme une solution de notre problème.

Les deux solutions nous donnent en fait deux point remarquable sur notre feuille qui sont intuitivement plutôt logique en fait. Vu que 10,5 c'est la moitié de 21 et que 14,85 est la moitié de 29,7.

Bon courage pour la suite!

Après plusieurs calculs effectués sur un brouillon, je trouve une valeur de x égale a environ 6,151 cm.
En fait j'ai calculé l'air de la partie hachurée.
Bon c'est pas très clair, mais en fait j'ai fait comme ceci :
A(partie hachurée) = 21x - x² + 29,7x - x² = 50,7x - 2x² (étant donnée qu'elle est égale a la partie repliée)
Donc on obtiens :
623,7 (aire de la feuille) -50,7x -2x² = 50,7x -2x²
623,7 - 101,4x = 0
623,7 = 101,4x
x = 623,7/101,4 = 6,1508..... (que j'ai arrondi a 6,151).

Est-ce là le resultat ?

Ton raisonnement est juste mais en fait il s'agit exactement du même que celui d'avant à l'erreur de calcul près.



En effet (Aire de la feuille)-(Aire de la partie achurée)= Aire de la partie achurée.

Ce qui revient exactement à: Aire de la feuille/2=Aire de la partie achurée

C'est exactement le raisonnement que nous avions fait (tu as juste faire une erreur de signe en fait lorsque tu as refait ton calcul).

Les solutions de notre équation du second degré étaient exactement les solution qu'on cherchait, est-ce que celate semble évident? Car j'ai l'impression que tu t'es emmélé les pinceau là pour le coup.

Bon courage!

Oui je me suis emmélé, mais là du coup je sais plus où j'en suis. Les valeurs trouvées précédamment sont donc les valeur de x ? Ce qui voudrais dire que x = 10,5 sur le côté de 21 et 14,85 sur le côté de 29,7 ?

Bonsoir,

Qu'avons-nous calculer lorsque nous avons résolue l'équation du second degré?

Là, où tu t'es emmêlé se situe dans ton calcul:

Citation :

623,7 (aire de la feuille) -(50,7x -2x²) = 50,7x -2x²

Ainsi rectifié tu vas retomber exactement sur l'équation du second degré que nous avons déjà résolue.

Mais que représente x dans ces équations? Et donc si nous trouvons des solutions à celles-ci, que représentent les solutions?

Bon courage!

Ah mais oui, en effet... Je me demandé pourquoi, erreur de parenthèse ...

Donc dans l'equation que j'ai résolu, x va correspondre au longueur a pliée sur chacun des côtés donc, étant donné que la feuille est un rectangle, il est donc normal que je trouve deux soltions différentes. Maintenant les résultats obtenus : 10,5 et 14,85. Comme vous l'avait souligné plus haut, on s'aperçoit que ces deux valeurs représentes la moitié de chacun des côtés de la feuille. Ainsi 14,85 représente la longueur x a pliée sur le côté de 29,7 cm de la feuille, et 10,5 représente la longueur x a pliée sur le côté de 21 cm de la feuille. Au final les deux aires se superposent donc, et on par conséquent la même aire

Et non du tout!!!

x est une longueur fixée aussi bien sur la longueur que sur la largeur du rectangle représentant ta feuille.

En consèquence, s'il y a deux valeurs pour x c'est qu'il y a deux façon de plier la feuille tout simplement car x n'est pas différent sur la largeur ou sur la longueur de ta feuille. Il faut vraiment bien se convaincre de celà en tout cas.

Est-ce plus clair ainsi?

Bon courage pour la suite!

Ahhh ! J'avais pas pensé à ceci... A vouloir allé trop vite, je fais des erreurs.
En effet c'est bien plus clair, x étant fixé, j'aurais du me douté qu'il ne pouvait pas varier.

En tout cas, j'ai bien assimilé l'exercice, je viens d'en refaire un ou x était une solution double, et après vérification du corrigé, mon exercice est juste

En tout cas merci beaucoup pour votre précieuse aide, je ne sais pas comment vous faites pour assimiler autant de formules de maths
J'aurais apprécié vous avoir comme prof de mathématiques au lycée, car j'ai du mal a suivre, et le professeur n'as pas toujours le temps de revenir sur les chapitres précédants.
Donc Merci

En fait, le principe justement c'est de nep as apprendre de formule.

Bon dit comme cela, c'est un peu barbare car comment faire un exercice sans utiliser de formule me diras-tu. Et bien tout simplement en ne cherchant pas à claculer une formule dans un exercice mais plutôt une démarche ou un raisonnement précis dans celui-ci.

EN effet, ici par exemple, il s'agit d'un exercice de géométrie faisant intervenir un rectangle dont on connaît la largeur et la longueur. Donc tout de suite je sais trois choses:

- Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur
- Il y a quatre angles droits
- Je peux calculer son périmètre et son aire

C'est trois choses sont de trois ordres différents dans l'analyse d'une donnée:

- La première me donne des agalités de longueur et le parallèlisme
- La deuxième permet d'avoir des informations sur les angles et donc sur la possibilité d'avoir des triangles rectangles ou des droite orthogonale par exemple
- La troisième me permet d'exprimer des distances ou des surfaces au besoin

Et celà, n'est qu'une analyse del a première donnée, je n'ai encore pas lu les questions. C'est une démarche d'analyse des données que je fais pour éviter e perdre des informations en route en quelque sorte.

Ensuite, on me définit une longueur x sur chaque côté d'parès un dessin puis on rejoint les 4 nouveau point entres-eux. En conclusion, je peux encore déduire deux choses:

- 4 triangles rectangles qui sont apparus (je peux donc par exmeple appliquer Pythagore ou calculer leurs aires facilement)
- Chaque longueur et largeur est découpé en deux morceau dontj e connaît les valeurs (respectivement: x et longueur-x ainsi que x et largeur-x)

Cette analyse peut se résumer en un dessin au brouillon ou directement sur la copie d'ailleurs. Ainsi, tu as toutes les données du problème devant les yeux.

La première chose à faire avant de commencer quoi que ce soit vu qu'on a définie une inconnue x c'est de savoir quelles sontl es valeurs que peut prendre x d'après le dessin.

Et bien, on voit qu'au minimum la valeur de x est 0 c'est à dire qu'on ne fait pas de pliage. Et au maximum la valeur de x vaut la largeur du rectangle puiqsqu'on ne peut pas plié plus que le rectangle lui-même de toute façon .
En conclusion, j'ai un x qui peut varier de 0 à 21cms.

Et là, tu constates que je n'ai aucunement lu les questions et pourtant j'ai fait tout le travail qui va me permettre de répondre à la totalité des questions. ET ceci sans faire aucun calcul ou utiliser aucune formule en fait! Juste en regardant et analysant simplement et tranquillemetn les données de l'exercice.

Et c'est cette démarche qui, le jour où tu l'acquièrera, te fera progresser très rapidement car tu constates que cette simple démarche permet de déduire tout ce dont j'ai besoin pour la suite alors même que je ne connais pas encore les questions qu'on va me poser mêem si avec toutes ces données on sent à des kms arriver la question surl es aires qui est la seule donnée calculable directement à partir de toute notre analyse.

Donc, il n'y a pas de miracle en fait ou une capacité de mémoire énorme derrière mais simplement une démarche et un raisonnement qu'il faut adapter pour pouvoir mieux cerner les problèmes et à terme tu verras presque apparaître les questions des exercices avant qu'on te les pose (la classe, non? ). Ce n'est pas surhumain mais par contre ça demande un investissement en temps car ce n'estp as du tout natruel pour vous en tant qu'élèves d'avoir cette démarche là car on ne vous l'a pas apprise ainsi car cela demande un effort d'abstraction de temps en temps et nous n'avons pas le temps ne classe de pouvoir faire des cours de méthodes ou de démarches scientifiques (à regret je l'avoue).

En tout cas j'espère que j'ai un peu démistifié les choses pour que tu puisses vraiment te convaincre que tout ceci est abordable avec du travail et un effort de passer par une méthode de raisonnement et de recherche de la démarche de l'exercice en quelque sorte.

Bon courage pour la suite et n'hésite pas à poser tes questions!

D'accord , merci encore