DM géomatrie pour mercredi

J'y ai réfléchis longuement, mais je n'y arrive pas concrètement à affinier le tout, pouvez-vous m'y aider ?
Merci d'avance.


SABCD est une pyramide à base carrée de 6 cm de côté et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux.


Bibi la souris doit se rendre par le chemin le plus court du point A au point J, milieu de [SC], en se déplaçant à la surface de la pyramide.


Trouver la position de T sur l'arête [SB] qui donne le plus court chemin.

Liens du dessin, ci-dessous:
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/...ibi_souris.pdf

Bonsoir et bienvenu parmi nous Darka,

Après une petit recherche, je rectifie ton lien:
http://mathematiques.ac-bordeaux.fr/peda/lyc/qo/plus_court/bibi_souris.pdf

En effet, celui que tu nous fournissais n'était hélas pas valide mais ce n'est pas grave vu que nous avons réussi à le retrouver .

Nous planchons dessus et nous te donnerons des indications dans peu de temps, normalement.

Re bonsoir,

C'est ce qui s'appelle un problème qui n'est pas simple, posé ainsi en tout cas. Cependant, il est bel et bien faisable . Heureusement d'ailleurs .

Alors, on te donne une indication dans l'exercice qui est de poser x=BT. Puis d'essayer de calculer la distance AJ= AT + TJ en fonction de x.
Pour ma part, j'ai utilisé la même méthode.

Je pose donc BT=x. Donc x Є [0 ; 6] car T est sur le segment [BS] qui mesure 6cms par construction de la pyramide vu que tous les triangle sont équilatéraux.

Alors à partir de là, nous n'avons pas beaucoup de méthodes qui s'offrent à nous pour pouvoir calculer la distance AT et la distance TJ. En effet, nous ne disposons pas de triangle rectangle pour utiliser pythagore ni de droite parallèle pour utiliser le théorème de Thalès pour déduire directement ces deux distance là directement.

L'une des solutions qui s'offre donc à nous, c'est d'essayer de se ramener à des calculs de distances dans un repère orthonormé.
C'est à dire qu'il nous faut définir un repère orthonormé et trouver les coordonnées de T et de J dans ce repère.

1ère étape: Définition du repère orthonormé

Pour l'origine du repère, il faut rester simple pour minimiser les calculs de distances qui suivront. Donc, on choisie comme origine du repère le point A.

Après, nous savons que la base de la pyramide est un carré. Donc on a: (AB) perpendiculaire à (AD) par définition avec AB=AD=6cms.

On définie donc un répère dans le plan de la base qui est (A, AB/AB, AD/AD) (par convention j'écrirai les vecteurs en gras).
On a donc dans ce repère B(6,0) et D(0,6).

Or nous voulons un répère dans l'espace et non dans le plan pour définir les coordonnée de J et de T. Il nous faut donc à partir de là, définir un vecteur unité (= de norme 1) perpendiculaire à AB et à AD.

Je définis le point I, milieu de la base de la pyramide. C'est à dire que I est le point d'intersection des diagonales de ABCD. Et par la construction de la pyramide, nous savons que les 3 triangles sont équilatéraux. Donc I est le projeté orthogonal de S sur la base.
C'est à dire que (SI) perpendiculaire au carré ABCD. Et en particulier, (SI) perpendiculaire à (AB) et à (AD) qui sont inclus dans le plan de la base.
Donc, on a explicité un vecteur IS/SI qui est unitaire (de norme 1) et qui est orthogonal à AB/AB et AD/AD. Cependant, il faut que tous les vecteurs définissant le repère partent de l'origine A. Je prend donc le vecteur k qui est pointé en A tel que k=IS/IS.

Conclusion, je définis le repère orthonormé ainsi: Ω=(A, AB/AB, AD/AD, k).

Or I est le milieu de ABCD. Donc on a: AI=(1/2)*AC
Or par le théorème de pythagore dans le triangle ABC rectangle en B, on a: AC=√(6²+6²)=√(36*2)=6√2.
Donc AI=(6√2)/2 c'est à dire AI=3√2

Or AI=IS (je te laisse le vérifier) donc IS=3√2

Conclusion, dans le repère Ω, on a:

A(0,0,0)
B(6,0,0)
C(6,6,0)
D(0,6,0)
S(3,3,3√2) (à vérifier par le calcul en projetant I sur (AB) et sur (AD), on retrouve le 3)

Maintenant que le repère est posé, il nous faut expliciter les coordonnées des points T et J. Le post suivant commencera le raisonnement.

J'espère jusque là avoir été assez clair et compréhensible.

2ème étape: Calcul des coordonnées de T et de J dans le repère Ω:

Je vais commencer par le plus simple c'est à dire [b]calculer les coordonnées de J dans Ω.

On sait que J(x,y,z) est le milieu de [SC]. On a donc par définition d'un milieu:

x=(Xs+Xc)/2
y=(Ys+Yc)/2
z=(Zs+Zc)/2

D'où:

x=9/2
y=9/2
z=(3√2)/2

Donc J(9/2, 9/2, (3√2)/2 )

Il nous reste donc plus qu'à calculer les coordonnées de T.

Pour se faire, il faut se placer dans le plan (SBI).

En effet, dans ce plan, je trace la parallèle à (IS) passant pas T. Elle coupe (BI) en K.

A partir de là, on sait que les coordonnées de K(Xk,Yk) dans le repère (A, [b]AB/AB, AD/AD) sont respectivement les abscisse et ordonnée de T dans le repère Ω vu que K est le projeté orthogonal de T sur le plan de base. Et nous savons aussi que la distance KT, nous donne la cote (Zt) de T.

Les indications pour déduire les trois coordonnées de T sont:

Premièrement, dans le plan (SBI), on a par construction (TK) parallèle à (SI).... Le théorème de Thalès s'impose donc sachant qu'on cherche TK avec BT=x, BS=6 et SI=3√2....On en déduit donc Zt !!

Deuxièmement, on se place dans le plan de base ABCD et on cherche les coordonnée de K avec le repère défini plus haut. Pour celà, on défini L milieu de [AB] [qui est le projeté de I sur (AB)] et M milieu de [BC] (qui est donc le projeté de I sur (BC).

A partir de là, il te reste plus qu'à utiliser Thalès dans les triangle BIL et BKO avec O projeté de K sur (AB). On en déduit BO ce qui permet d'avoir la distance AO qui sera l'abscisse du point recherchée.

Puis appliqué encore Thalès dans les triangles BIM et BKP avec P projeté de K sur (BC). Celà te donnera directement BP qui sera l'ordonnée du point recherchée.

Ne pas oublier que tu as déjà le rapport de Thalès dans les deux cas vu que tu l'as calculé lors du premièrement. En effet, BK/BI est commun à tous ces triangles !!!!

Tu as donc les coordonnées de ton point T!!


3ème étape: Le calcul des distances!

Il faut donc calculer en fonction de x, les distances AT et TJ.

Tu en déduit donc la distance AJ en fonction de x vu que AJ=AT + TJ.


4ème étape: Calcul du minimum


Maintenant que tu as AJ en fonction de x. l'expression est de la forme:

AJ(x) = √(polynôme de degré 2) + √(polynôme de degré 2)

Il reste donc à calculer le minimum de cette fonction là....

Piste: regarder la monotonie de la fonction sur [0 ; 3] puis sur [9/2 ; 6]. Décroissante sur le premier croissante sur l'autre.... Il reste donc une étude sur [3; 9/2] pour trouver le minimum de cette fonction...

N'hésite surtout pas à poser des questions si il y a des passages qui ne sont pas clair.

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!

Je t'ai envoyé un message sur ta boite email, car "le corp du message" ne s'affichait pas , et là je viens de m'appercevoir qu' il vient à l'instant de s'afficher...

Une autre idée :

je fais un patron plat des faces SAB et SBC.
Le plus court chemin entre A et J est [AJ].
T est le point d'intersection de [AJ] avec [SB]

Ensuite je prends des points
A(0. 0)
B(6. 0)
S(3. 3 racine de 3)
J(6. 3 racine de 3)

L'équation de droite AJ et SB
J'en déduis les coordonnées du point d'intersection T, puis je calcul ST
Ainsi la position de T sera bien définit sur SB.

Le prob c'est que j'ai pas fait de lecon ou un récapitulatif de ce que l'on a fait au collège et qu'on a fait à "la va vite" de la lecon sur les repère et tout le tralalala donc j'ai pas les thérème et définition pour pouvoir calculer le tout...

Mail de Darka a écrit:

Tout d'abord merci infiniment pour cette réponse très construite, que je ne peux négliger.
Je pense qu'en fait, que le problème se présenter d'une manière plus simple. En effet, je ne pense pas que l'on ait besoin, en tout cas, on ne me demande pas de le faire par calcul, plutôt par démonstration...
On m'a dit qu'il fallait utiliser Thales pour obtenir la position de T et déplier cette pyramide selon l'axe SB et comme les traingles sotn équilatéraux, j'obtiens AB parallèles à SC.Puis on utilise encore thalès : en partant de J je fais une parallèle à AB, au point k j'obtiens donc encore Thalès et après on dit que KJ = BS puis après on conclut encore avec thalès en donnant la longueur de BT en fonction de KJ sachant que KJ=6 cm. Tout ca n'est pas vraiment clair dans ma tête. J'aimerai que sa le soit plus, grâce à ton aide, si possible...

Alors comme je t'ai répondu il doit y avoir un problème dans ton explication du dessus. Cependant, je me suis donc adapté et je suis parti sur l'idée de "déplier" la pyramide selon l'axe (BS).

A partir de là, je ne considère plus que les faces (ASB) et (SCB) mise dans le même plan lorsqu'on déplie selon l'arête commune [BS].

A partir de là, nous avons l'angle ASC qui est égale à 120° (2*60°) vu que les triangles sont équilatéraux. Donc l'angle formé par le prolongement de (AS) et (SC) est de 180-120=60°. Ce qui est égale à l'angle SAB.

Conclusion les droite SC et AB sont parallèles, en effet!

Vu que nous somme maintenant dans un plan, nous pouvons tracer le segment [AJ] et il coupe donc [SB] en T. La position de T est donc la position minimale que nous recherchons.

Maintenant, on a J milieu de [SC] et (SC) parallèle à (AB). Donc (SJ) parallèle à (AB) et SJ/AB = 1/2

Tu peux donc appliquer Thalès (avec une meilleurs mise en forme que la mienne, car il manque les hypothèses d'alignement des points...) dans les triangle TJS et TBA.

En suite, tu exprimes BS en fonction de TS par exemple. Et tu en déduit donc la position de T recherché.

Après, il te reste à calculer la longueur AJ connaissant la position de T.....

Bon courage pour la suite!

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Par rapport à ton dernier post, un rappel de cours essentiel c'est que tu peux calculer les distances entre A(x1;y1) et B(x2,y2) sous la forme

AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]

si et seulement si le repère est orthonormé!!!! Or là, ton repère n'est pas orthonormé sauf erreur.

*Exercice sur le calcul dans un repère orthonormé en cours de création*

Je comprends pas trop la fin (côté application)

Alors tu as compris je pense que nous avions (SJ) parallèle à (AB). De plus, on a: (AJ) et (BS) qui sont sécantes en T.

Tu peux donc appliquer le théorème de Thalès dans les triangles TSJ et TAB. Tu as donc l'égalité des rapports SJ/AB= .....

Sachant que tu as SJ=3 et AB=6 donc le rapport de Thalès ici est SJ/AB = 1/2 (le petit triangle sur le grand)

Tu en déduis donc une relation entre TS et TB. Sachant que BS= BT + TB et BS=6.

Tu en déduis ainsi la distance BT que tu recherchais.

Après il te demande de calculer la distance AJ.

Nous pouvions même la calculer avant d'avoir la position de T.

Pour celà, il faut remarquer ce qu'est la droite BJ dans le SBC sachant que J est le milieu de [SC]. Après, ne pas oublier que le triangle SBC est équilatéral donc, tu peux en déduire l'angle SBJ.

Ainsi tu en déduis l'angle ABJ.

Ensuite je te laisse poster la finalisation du calcul de AJ grâce au théorème que tu va pouvoir utiliser dans le triangle AJB....

Normalement, ton prochain post contiendra la longueur BT ainsi que la longueur AJ . Je l'espère en tout cas sinon n'hésite pas à poser des questions!

Bon courage pour la finalisation de ton DM et au plaisir d'en lire la réponse bientôt .

je comprends pas :s
C'est quoi la relation entre TS et TB ? :s

Quand tu appliques la théorème de Thalès dans les triangles TSJ et TAB, celà te donne quoi comme relation?

TB/TS=TA/TJ=AB/SJ
et donc en ayant ca j'aurai le truc bidule shnok ?

Darka a écrit:

TB/TS=TA/TJ=AB/SJ

Alors en effet, c'est bien la relation de Thalès.

Alors maintenant comme, je te l'ai dit plus haut, on a AB=6 et SJ=3 (car J milieu de [SC].

Donc AB/SJ = 6/3 = 2

Conclusion: tu déduis la fameuse relation entre TB et TS vu que ton rapport égale à 2 ....

Ensuite, BS= BT + ST. En utilisant la relation que tu viens de trouver, tu peux remplacer ST en fonction de TB et ainsi déduire TB vu que BS=6.

Ensuite pour le calcul de AJ, je te ramène à mon post plus haut .

J'espère que tu vas bientôt pouvoir poster la solution ici bas, ça va te faire plaisir de le boucler celui-la .

Bon courage en attendant et n'hésite pas s'il y a autre chose qui n'est pas clair.

Bon je vais repprendre ca au propre, si jai un probleme je re...
Merci beaucoup.

Pas de problème.

Bon courage pour la rédaction qui est souvent le plus difficile à faire .

Je te laisse poster le résultat de ton DM avant de le passer dans la partie des exercices terminés (Le perchoir aux exercices).

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!

j'ai pas compris la phrase : "a parti de là je ne considère plus les faces ASB ET SCB mise dans le meme plan lorsqu'on déplie selon l'arête commune".
Puis j'ai de gros problemes de compréhension lors des calculs, la relation je la connais mais les longueurs de chaques segmtens je les distingue pas vraiment... :s

Si tu as un patron (le dépliage) du dessin de la pyramide sa m'aiderai bien, puis sa serait pas trop mal comme shémas d'explications en plus...
Merci d'avance.

Ce qui serait bien franchement, c'est que tu me récapitules ce qui s'est dit, et ce qui est en conclusion bon à prendre et à appliquer.
Car mes questions et dont la sépration de tes réponses avec la méthodes à prendre, me shamboule un peu la vision...
Et j'y comprends plus trop.
Si tu pouvais être plus précis.
(c'est une question à part) que tu pourrai ancrer directement dans la récapitulation: BS=6 , SJ=3 , AB =6 , TB=? , TS=?. Le prob c'est que je ne peux plus, à affiner la relation... Je suis complètement perdu alors que j'ai vraiment les bases. :s

Voilà un résumé en image .

Bon courage!

Très sympa de ta part, je photocopie le tout, et je me remets au travail, je te fais signe en cas de petit prob
Merci.

Rolalalalalalala, je panique trop, je m'y retrouve pas du tout avec ce que tu as marqué avant et ce que tu as marqué maintenant avec le shéma :s

Je vais manger, et je laisse mon ordi à mon frère, j'espere que tu sauras être plus précis et plus compréhensible, car je dois remettre en forme le tout et au propre pour demain matin alors que j'ai en plus de ca un controle en math, donc faut vraiment que j'ai le temps de tout recopier et de reviser, j'espere ne pas dormir très tard quand meme
Sa me stresse cette histoire :'(

Suis seulement mon schéma, il reprend toute la démarche que tu dois faire dans les moindres détails.

Les égalités de Thalès te donne la relation entre TB et TS car TS/TB= ?

Et ensuite, tu as J milieu de [SC], donc (BJ) est la médiane du triangle SCB issue de B. Mais c'est aussi une autre droite remarquable car le triangle est équilatéral ce qui te permet de calculer la distance BJ.

Mais cette droite possède encore un autre nom de par le fait que SBC est équilatérale ce qui te permettra de déduire l'angle SBJ.

A partir de là tu peux en déduire [angle ABJ] = [angle ABS] + [angle SBJ]

Tu peux donc calculer la longueur AJ par un théorème classique sachant que AB=6 et BJ= ?.

Ne panique pas, tu as toute les données en main, maintenant à toi de les lire sur la figure. Tu regarde les droites parallèles, comme tu les obtiens. Puis appliquer le théorème de Thalès tranquillement en regarde seulement l'égalité qui t'intéresse pour en déduire la relation demandée. Puis déduire BT.

Après, il faut que tu regarde "dans un triangle équilatérale une médiane est à la fois ......". Puis déduire la distance BJ par un calcul dans le triangle SJB et l'angle SBJ. Puis enfin voir que l'angle SBJ est un angle particulier qui te permet encore d'appliquer un théorème dont tu déduira la distance AJ.

Bon courage à toi et ne stress pas, tout vient à point à qui sait attendre. Prend les étapes une part une et applique-les tranquillement et rigoureusement . Tu vas voir que ça val e faire .

je perds les rennes là :s j'y comprends plus rien, tout est mélangé dans ma tête. Alors qu'en plus j'ai un autre exercice que je viens de voir et qui est aussi dur que celui là !