DM Maths (exercice 2)

Voici le deuxième exercice, le principal exercice de ce DM :



J'avoue ne pas avoir commencé cet exercice, je vais commencer dans 5minutes et indiquer ce que je trouve après (si je trouve..).

Voilà, en vous remerciant encore d'avance.

J'ai essayé de faire quelque chose, mais je ne trouve pas...

Déjà pour la question 1), à l'aide d'un logiciel géométrique ? Pas possible de savoir la réponse sans ?

Pour la 2)a), je vois pas trop aussi.
J'ai essayé de faire M(x;y) = Mx . My mais ce n'est pas ça...

Re-bonsoir,

Tes deux exercices sont en fait intiment liés. En effet, l'autre exercice te permet de calculer explicitement le minimum des distances AM vu que d'après la remarque finale de ton exercice, le projeté de A sur la droite D est appelé distance de A à la droite D et ainsi AH réalise le minimum des distances AM avec M sur la droite.

Ainsi grâce à la remarque tu connais déjà la conjecture en quelque sorte et tu sais que le point qui va réaliser le minimum est exactement le projeté orthogonale. Le soucis qu'il nous reste ce qu'on doit le démontrer justement.

Alors l'exercice te propose une idée de preuve pour démontrer celà de façon assez intuitive. En effet, tout d'abord, il faut que tu utilises géoplan par exemple pour conjecturer la solution. Même si nous la connaissons déjà, il faut tout de même faire la manipulation. Pourquoi? Car de plus en plus, nous allons vers l'utilisation du numérique en mathématiques (hélas je dirai mais bon, on nous demande pas forcément notre avis pour changer les programmes comme qui dirait). Et par conséquent, il faut savoir manipuler ces outils d'assistance numérique pour se familiariser un maximum avec leur mode de fonctionnement et ainsi éviter de perdre trop de temps si vous faites des tp et autres initiations via le numérique.

Ensuite dès qu'on a la conjecture comment la démontrer? Et bien, intuitivement, vu que M appartient à la droite, les coordonnées de M(x,y) vont vérifier l'équation de la droite (par définition de l'appartenance à une droite tout simplement). Ainsi, connaissant les coordonnées de A, on peut déduire la distance AM en fonction de x par exemple (vu que y va s'exprimer en fonction de x).
Ainsi calculé, nous allons être devant une quantité en x tout simplement qu'on peut appeler g(x) par exemple.
Et le but de la fin de l'exercice ça va être de chercher le minimum de cette fonction.

Bon, le soucis c'est que de façon aussi brute, nous sommes un peu perdu. Il va donc falloir améliorer la tête de la fonction pour qu'on puisse conclure. En conséquence, on nous propose de ne plus avoir de racine carrée si on arrive à montrer que le minimum de AM (notre fonction g) est atteint pour la même valeur (donc pour le même x c'est à dire la même position de M) que la fonction donnant la distance AM² qu'on appelle F dans notre exercice.
Ainsi définie, notre fonction F n'est plus qu'une fonction polynôme du second degré et celà risque d'être beaucoup plus sympathique à manipuler pour en déduire son minimum et donc la valeur de x pour laquelle il est atteint. Et nous aurons conclu cet exercice.

Est-ce que la démarche de l'exercice te semble plus claire déjà? A partir de là, est-ce que nous ne pourrions pas faire la première question?

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

Merci pour cette réponse (et celle sur l'autre sujet!) bien détaillées. Je vais travailler et essayer de trouver un début de solution sur brouillon au cours de cette soirée, puis ensuite proposer mes réponses.

Encore une fois merci

1) En conjecturant, je trouve M(-1 ;4)

2)a) On a d: x+y-3=0
d'ou y=-x+3
et d'apres l'énonce, M(x_m;y_m) A(-2;3)
Ainsi, on a : AM = √(x_m+2)² +(y_m-3)²
= √(x_m+2)²+(-x_m+3-3)²
= √2x_m² +4x_m +4

b) Etudions la fonction f:x-> AM²
AM² = (√2x²+4x+4)²
AM² = 2x²+4x+4

F(x) est une fonction polynome donc 2x²+4x+4 est définie sur R avec a = 2, b = 4 et c = 4
Delta = b² - 4ac
delta = 4² - 4x2x4
delta = - 16

Je trouve -16, or c'est pas possible, sinon il n'y a pas de solution et je suis bloqué ...

La conjecture semble correct, nous verrons si elle s'avère exacte ou non par la démonstration de tout façon .

Pour la question suivante c'est nickel! Sauf pour la rédaction . En effet, tu as oublier de souligner l'hypothèse que tu utilisais et qui est majeur ici c'està dire que M appartient à la droite et donc qu'il est normal d'avoir y_m=-x_m+3 (passage de la première à la deuxième ligne de ton calcul qui n'était pas justifié).

Pour la b) c'esst toujours bon (suffisait en effet de considérer le carré et la racine carré s'en va d'elle même.

Mais là, tu fais une erreur monumentale de raisonnement! En effet que cherche-t-on? Nous cherchons l'abscisse x tel que la fonction soit minimal c'est à dire qu'on cherche l'abscisse qui réalise le minimum de la fonction.

Or toi qu'est-ce que tu cherches? Tu cherches les racines du polynôme.

donc en effet, s'il y avait des racines, le minimum serait logiquement 0 (une distance étant toujours positive ou nulle) atteinte pour les racines du polynômes. Mais si la distance minmale était nulle celà signifierai quoi pour la position de A par rapport à D? (c'est le premier calcul que tu aurais du faire pour vérifier justement que nous étions pas en train d'étudier un cas évident ici).

Bon courage!

En corrigeant, je propose ça, mais pas sûr :

on sait que (x+1)²>= 0
donc x² +2x+1>=0
donc x² +2x+2>=1 (+1)
donc 2x²+4x+4>=2 (x2)
D'où f(x) >= 2

On a donc :
y=2
y=-x+3

donc 2=-x+3
d'où x = -1

Donc pour x = -1, la fonction f admet un minimum

c) On peut conclure que M est le point de croisement des perpendiculaires (de AM et de la courbe)

C'est ça ?

Alors c'est super alambiqué pour la question 2)b) mais je te tire mon chapeau pour avoir trouvé une voie transversale qui aboutie aussi magistralement au résultat .

La justification que le minorant 2 est atteinte est donné en explicitant l'abscisse x l'atteignant. Donc c'est nickel!

En fait, pour faire simple, tu ne connaîtrais pas par un hasard total, les coordonnées du sommet d'une parabole qui est la courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré? Et qui serait un manimum lorsque le coefficient dominant (c'està dire a dans a*x²+bx+c) est positif?

Pour rappel: le sommet S de la parabole a pour coordonnées ( -b/(2a);-Delta/(4a) ). Et on retrouve bien -b/(2a)=-4/(2*2)=-1 et -Delta/(4a)=-(-16)/(4*2)=2
donc S(-1,2) qui est bien le point minimum de notre parabole.

donc ta méthode est peut orthodoxe car le raisonnement ne peut pas être repris à tous les coup mais tu as le mérite d'avoir trouvé un moyen de conclure ce qui est très intéressant en soi (esprit d'initiative et intuition dans le clacul). Je te conseille donc de rédiger comme tu l'as trouvé mais te retravailler les résultats remarquable sur les polynôme du second degre (minimum, maximum en fonction de a, signe du polynôme en fonction des racines et de a, ....).

Pour la question c) la conclusion est bien que M de coordonnées (-1,2) réalise le minimum de la distance AM. Maintenant, comment démontrais-tu justement que M=H c'est à dire qu'il s'agit bien u projeté orthogonale?

Sachant qu'à ce stade là, nous savons que M(-1,2) réalise le minimum de la fonction, nous avons donc accès au vecteur AM et nous cherchonsà montrer que M est bien le projeté orthogonale de A sur la droite. Des idées pour conclure (d'après ton autre exercice, tu devrais avoir une démarche toute prète en tête normalement)?

Bon courage pour la finalisation de cet exerccie et n'hésite pas à poser des questions si quelque chose ne te semble pas clair!

c) On sait que M(-1;2) réalise le minimum de la distance AM.
Or, on sait que la distance minimum pour AM est la perpendiculaire de la droite AM à (d). Donc (AM) perpendiculaire à d donc M est le projeté orthogonal de A sur d, car tout point A extérieur à une droite d réalisant une droite perpendiculaire avec un point M de d, alors M est le projeté orthogonal du point A sur (d).

Je peux pas expliquer comme ça ?

J'espere recevoir une réponse à mes exercices ce soir, c'est pour demain =s.

Merci d'avance

Bonjour,

Désolé pour le "ce soir" mais hélas mon planning s'avère dès fois chargé dira-t-on. Mais le principale est de comprendre les choses et non la note que cela va produire à l'instant t (ta future note remontera sans doute ta moyenne mais c'est au prochain devoir voire même ceux d'après qu'il faudra voir si tu as compris les choses de façon sures ou de façon superficielle dû au timing "note" ou "dm").

Par conséquent, continuons voire finissons cette exercice.

Quel était le but de celui-ci?

Démontrer la conjecture de la question 1) qui était laquelle?

AM sera minimal lorsque M aura pour coordonnées (-1,4) et ce point sera en fait le projeté orthogonale de A sur la droite (d).

En conséquence, nous avons montrer pour l'instant que bnotre point M avait bien les coordonnées qu'on avait conjecturées. Il nous reste donc à démontrer que M est le projeté de A sur la droite (d).
Or cela commence mal lorsque tu le rédige car tu considères connu le fait que la distance minimale est réalisée lorsque nous considérons le projeté de A sur la droite (d).
Mais c'est exactement ce qu'il nous reste à démontrer.

En fait, il ne nous reste plus grand chose à démontrer vu que nous savons déjà que notre point M(-1,4) appartient à la droite (d).
Donc pour montrer que M(-1,4) est bien le projeté de A sur la droite (d), il nous suffira de montrer que (AM) est perpendiculaire à (d).

Et pour se faire, qu'avons-nous comme moyen? Le produit scalaire bien sûr!

Je te laisse finir le raisonnement mais jusque là est-ce que tu comprends ton erreur logique dans la conclusion que tu écrivais? Car c'est vraiment important de bien comprnedre les choses entre:
- ce qu'on conjectuer
- ce qu'on possède
- ce qu'on sait mais qu'on n'a pas le droit d'utiliser car considéré non connu dans l'exercice
- ce qu'on doit démontrer

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!