Concours générale 2010 de mathématiques

Bonjour @toutes et tous,

Certains connaissent déjà et d'autres découvriront ce qu'est le concours générale de mathématiques. En fait, il s'agit d'un examen de mathématiques qui s'appuie sur le programme de terminale mais dont la compréhension et les démarches sont assez brutes. En effet, il n'y a pas beaucoup de questions intermédiaires et c'est donc à l'élève de construire ses raisonnements pour arriver au résultat.

La différence avec les Olympiades de mathématiques c'est qu'ici, il y a tout de même un guide et qu'on cherche vraiment à évaluer votre capacité à mobiliser vos connaissances et vos démarches pour résoudre un problème mais le but reste de le résoudre. Alors que dans les Olympiades si on souhaite vraiment chipoter sur une différence c'est que d'une part elles sont accessibles aux premières et non aux terminales et d'autre part, le but est d'évaluer la capacité à proposer des raisonnements ou des idées même si celles-ci n'aboutissent pas forcément (on appréciera bien entendu qu'elles aboutissent c'est évident mais le but c'est vraiment axé sur la réflexion et l'écriture de celle-ci). Enfin, l'autre différence majeur c'est que les Olympiades ne sont pas des examens d'aptitude mais des concours/jeux mathématiques alors que le concours générale malgré son titre reste un examen reconnu comme une aptitude à mobiliser des connaissances, des réflexions et un savoir globale aussi. Il y a des concours généraux à peu près dans toutes les matières (à quelque chose près) alors que les Olympiades sont un peu plus restrictives dans leur proposition aussi.

En tout cas, les épreuves sont rarement simples, il faut le savoir. Il s'agit d'une épreuve de longue haleine, il faut mieux avoir regardé quelques sujets avant de vouloir se porter volontaire pour passer cette épreuve (ce sont les professeurs qui choisissent de présenter ou non les élèves le plus souvent) car c'est vraiment tous le programme de terminale qui est mis en jeu et non seulement le programme que vous avez vu en cours. C'est à dire par exemple que si vous n'avez pas encore vu les similitudes, il faut mieux les avoir regardé avant au moins les définitions, de même pour les probabilités et autre intégration. Il faut savoir aussi qu'en mathématiques, la tendance des 5 dernières années (ça se ressent au niveau des concours d'enseignement et des changements de programme d'ailleurs) c'est une montée de la géométrie pure (ce qu'on appelle algèbre) ou analytique mais aussi des probabilités (qui ont fait leur apparition dans le programme de troisième il y a deux ans presque et dans le programme de seconde de cette année aussi).

Tout faire est rarement possible aussi (c'est un concours le but est donc de classer les gens, si le sujet était faisable pas tout le monde cela ne serait pas gérable au niveau du partage des notes par exemple). Donc il ne faut pas s'étonner de ne pas répondre à toutes les questions loin de là. Enfin, il faut se dire qu'on évaluera surtout votre démarche, votre réflexion et votre méthodologie pour aborder un problème.

La règle est que tous les coups sont permis dans ce genre d'épreuve. Qu'est-ce que cela signifie? Et bien, que vous avez le droit de tout faire pour arriver au bout d'un exercice. Je prend un exemple, vous avez que des lettres dans un exercice et vous comprenez rien, vous avez le droit d'annoncer que vous considèrez dans un premier temps que a=2, b=3, ... pour déjà voir dans un cas simple ce qui se passe. Un autre exemple, vous êtes dans un exercice de géométrie pure et cela ne vous plaît absolument pas et bien vous avez tout à fait le droit de définir (rigoureusement!!) un repère orthonormé pour travailler dedans si c'est possible et ici ça sera sans perdre en généralité par exemple. De même, un cercle a un rayon de mesure R, rien ne vous empêche de regarder le cas R=1 pour voir si vous pouvez faire des déductions.

Le but est vraiment de se donner un maximum de moyens pour pouvoir avancer à défaut de conclure.

Je vous propose donc le sujet de 2010 en mathématiques qui a eu lieu le 18 Mars dernier. N'hésitez pas à proposer vos idées, vos recherches voire même vos solutions en spoil ou pas d'ailleurs c'est à vous de voir après:

page 1
page 2

Comme vous le constatez le sujet est plutôt cours en apparence car simplement 2 pages d'exercices (si on ne compte pas la page d'en-tête) et seulement 3 exercices. Mais les exercices ne sont pas pour autant plus facile bien au contraire je dirai car plus un exercice est cours et moins il y aura de question intermédiaire pour être guidé vers le résultat.

Je le répète, le sujet est abordable qu'à partir du niveau terminale, il ne sert à rien de vous faire peur car le sujet n'a rien à voir avec un sujet de Bac par exemple qui sera beaucoup plus détaillé que cela et beaucoup beaucoup plus abordable d'ailleurs.

Bon courage @toutes et tous qui tenteront de faire ce sujet.

Peut-on essayer de faire les questions sur les homothéties de l'exercice 1, et tout l'exercice 2 ensemble stp ?

Bonsoir,

L'exercice 1 et 2 sont très géométrique mais aussi très analytique si on le souhaite car il est possible d'observer les choses sous différents angles. Il est intéressant de comprendre quelque notion d'homothétie en tout cas et pour l'exercice 2) le plus compliquer est de trouverl es configuration qui permettent d'avancer dans la réflexion vu qu'on prend les points de façon aléatoire et qu'on cherche un maximum c'est à dire une configuration particulière qui nous donne ce maximum de liaison justement.

Je te laisse entamer le première exercice si tu le souhaites. Pour ma part, je l'ai vu de façon mi-analytique et mi-géométrique mais bon il y a diverse façon de voir les choses après.

Bon courage!

Pour la question 1 de l'exo 1, et bien je t'ai déjà dit comment j'avais fait. Après pour les questions 2 et 3, j'ai déjà cherché (puisque j'ai participé au CG) mais je ne pense pas avoir fait qqchose de concluant et je ne me souviens plus comment j'avais fait.

Pourrais-tu me traduire la question 2 par exemple et me donner une piste ? Car je ne vois pas comment prouver qu'il y a bien une homothétie.

Bonsoir,

La question 2) de l'exercice 1) est la suivante:

Citation :

Montrer qu'il existe une homothétie de centre C qui transforme γ en Γ et une homothétie de centre F qui transforme Gamme en γ'

Je rappelle que:

- Γ est le centre de diamètre [AC]
- γ est le cercle de diamètre [BC] avec B point quelconque de [AC]
- (Δ) est la tangente à γ en B
- γ' est le cercle tangent à γ (extérieurement), Γ (intérieurement) et (Δ) (à gauche de γ' si A est à gauche de C ce qu'on peut supposer sans perdre en généralité).

Pour plus de clarté, on va expliciter les points D, E et F:

- D=γ'∩γ (tangence extérieure)
- E=γ'∩(Δ) (tangence à gauche)
- F=γ'∩Γ (tangence intérieure)

Donc la question 2) est en deux partie qu'on va noter a) et b) comme suit:

2)a) Montrer l'existence d'une homothétie de centre C transformant γ en Γ.
2)b) Montrer l'existence d'une homothétie de centre F transformant Γ en γ'.

Maintenant que tout est posé essayons de savoir ce qu'on nous demande.

Première question: Qu'est-ce qu'une homothétie?

Une homothétie est une transformation du plan affine (elle agit sur les points) sur lui même (à un point je fait correspondre un autre point) ayant un point fixe appelé centre de l'homothétie. Elle est caractérisée par son centre et son rapport k.

Citation :

Si j'appelle h l'homothétie, le rapport k est défini ainsi:
Soit O le centre de l'homothétie et M un point quelconque du plan. On a: Oh(M)=|k|*OM

Maintenant, si j'appelle M'=h(M) l'image de M par l'homothétie, on peut redéfinir l'homothétie comme une transformation vectorielle:

OM'=k*OM

A partir de là, nous pouvons en déduire quelques propriété dont:

Citation :

Si M' et N' sont les images respectives de M et N par l'homothétie de centre O et de rapport k alors: M'N'=k*MN.

On en déduit donc que l'image d'une droite est une droite par exemple mais aussi que l'image d'un segment est un segment. Ainsi, on en déduit que l'image d'un cercle est encore un cercle. En effet si on considère le cercle de centre O et de rayon r. Alors tous les point M du cercle sont tels que: OM=r.
Maintenant si je considère O' l'image de O et M' l'image de M par une homothétie, alors on aura O'M'=k*OM ce qui nous amène à la considération suivante: O'M'=|k|*r. Il suffira de savoir si tous les point M' sont atteints pour conclure qu'il s'agit bien d'un cercle ou tout simplement de construire l'homothétie permettant de dire que tout point du nouveau cercle à pour image par cette nouvelle homothétie un point du cercle de départ. On conclut en remarquant que la composée des deux homothétie est l'identité ce qui implique bien la bijection entre les deux ensembles considérés.


De plus, il y a conservation du parallélisme (vu qu'on travaille avec des vecteurs c'est assez simple de voir qu'il y a des vecteurs colinéaire à chaque fois qu'on applique notre homothétie h et on conclut en disant que deux droites perpendiculaire à une même troisième sont parallèles entre-elles.). Et enfin, il y a aussi conservation de l'orthogonalité (cela se voit aussi car deux droites perpendiculaires à une même troisièmes sont parallèles et réciproquement, il ne reste plus qu'à conclure).

Donc les questions 2)a) et 2)b) se résume sensiblement à bien démontrer que l'image d'un cercle est un cercle par une homothétie et ensuite de trouver le bon rapport. Mais bon si on considère comme acquis quel 'image d'un cercle est un cercle, on peut donc juste mettre en évidence le rapport de l'homothétie en expliquant bien les choses à ce moment là. Mais il faudra dire à un moment ou à un autre que l'image d'un cercle est un cercle soit en le démontrant soit en l'écrivant comme si cela était une évidence (tout dépend de ce que vous serez capable de faire dans la suite de l'épreuve pour accréditer le fait que vous sachiez faire la démonstration).

Est-ce que cela te semble plus abordable? N'hésite pas si quelque chose n'est pas claire à poser tes questions!

Bon courage!