Produit scalaire - Relations métriques.

Bonjour, j'ai un petit problème avec un exercice que je n'arrive pas du tout à résoudre.
J'aurais besoin de votre aide..
Voici l'énoncé..

ABC est un triangle isocèle en C.
1°) Déterminer et représenter l'ensemble D des points M tels que MA² - MB² = 0
2°) Déterminer et représenter l'ensemble D' des points N du plan tels que NC² - NB² = AC².
Vérifier que B est un point de D'

J'attend vos réponses avec impatience pour m'éclaircir sur cet exercice.
Merci d'avance.

Bonsoir,

Les exercices de géométrie où il faut trouver un ensemble de points peuvent se résoudre sur des dessin dans un premier temps. En effet, en dessinant un triangle ABC isocèle en C, peux-tu déjà affirmer si l'un des points du triangle appartient à l'ensemble MA²-MB²=0 ?

Cela peut déjà te mettre sur la voie pour comprendre les choses. Ensuite, le but va être de travailler directement sur l'ensemble rechercher pour mieux caractériser les points M tels que MA²-MB²=0.

En effet, par exemple ne pourions-nous écrire autrement cette égalité de distance de façon plus simple à visualiser? Par exemple, est-ce qu'il est possible de se ramener à une égalité entre deux longueurs au lieu d'avoir une différence? Car c'est beaucoup plus simple à gérer lorsqu'on a à gérer seulement l'égalité entre deux longueur car on connaît par exemple l'ensemble des point M tel que ME=MF (en tout cas si ce n'est pas le cas nous reverrons la méthode pour arriver au bon ensemble en partant de l'égalité).

Nous verrons l'ensemble (D') par la suite.

Bon courage!

D'accord, donc en faite ça donne :
Lorsque que je met entre ".", c'est pour indiquer que c'est une vecteur..

MA² - MB² = 0
Où I est le milieu de [AB]. On appelle H le projeté orthogonal de M sur la droite (AB).

MA² - MB² = 2"AB"."IH"

Comme "AB" et "IH" sont colinéaires et "AB" est différent de "0", le produit scalaire ne peut être nul que si "IH" = "0" soit H=I.

L'ensemble des points M est donc la droite perpendiculaire à (AB) passant par I.

Bonjour,

La démarche est en effet excellente! Et toutes les justifications sont présentes.

Je pense que tu as gardé le détail du calcul pour arriverà cette égalité là: MA² - MB² = 2*AB.IH car il y a tout de même quelques petites calculs à faire pour arriver à celà .

Sinon, juste pour information, as-tu reconnu la droite que tu viens de mettre en évidence? C'est à dire l'ensemble des point M tel que (MI) perpendiculaire à (AB) sachant que I est le milieu de [AB]?

As-tu des idées maintenant pour le deuxième ensemble de points? Il te donne déjà une indication en te demande de vérifier si le point B appartient à notre ensemble.

Bon courage!

En faite, pour MA² - MB² = 2*AB.IH , j'ai fais ça un peu au pif, en regardant les formules de mon cour et en changeant les lettres..

Oulà pas bien ça alors . En fait, si c'est pas mal comme intuition et comme lecture d'un dessin mais par contre, il faut savoir le démontrer et surtout le retrouver au besoin car écrire la formule de façon brute ne t'apportera pas grand chose lorsque tu auras une démarches plus compliquée que celle-ci à faire et que ce calcul ne sera qu'une partie de la démarche.

Alors comment le retrouver?

MA² c'est en fait simple a écrire sous forme d'un produit scalaire. En effet, MA²=MA*MA*1

Et attention le 1 à une énorme importance ici car 1=Cos(0) et 0 c'est bien l'angle de vecteur (MA,MA).

Ainsi, MA²=MA*MA*Cos(MA,MA)

Et par définition, on a: MA*MA*Cos(MA,MA)=MA.MA

Ainsi, MA²=MA.MA

Et là tu peux utiliser la relation de Chasles pour faire intervenir le point I milieu de [AB].

Je te laisse entamer les calculs.

Bon courage!

D'accord, j'ai compris..
Mais la 2°) me pose toujours problème..

Je vais proposer une réponse, que je n'ai pas terminé, je ne suis pas sûr du tout..

On apelle J le milieu de [CB]
NC² - NB² = AC²
d'où 2"CB"."JN" = AC²

Soit K le projeté othogonal de N sur (CB) :
2"CB"."JK" = AC²

Vu que AC² est positif, "CB" et "JK" sont colinéaires et de même sens.
2CB * JK = AC²
Et comme ABC est un triangle isocèle, on peut remplacer AC² par CB²
2CB * JK = CB²
d'où JK = 1/2 CB

Je reste bloquée là et je ne suis même pas sûr que ce soit bon..

Bonsoir,

Pareil pour la deuxième question, pour arriver au produit scalaire, il faut détailler les calculs.

Ton raisonnement est bon en tout cas. On arrive donc au bout du compte avec ses deux hypothèses là:

* CB et JK sont colinéaires
* CB=2*JK

i) Que peut-on concluer de la première hypothèse?
ii) En déduire la relation qui relit CB et JK
iii) Nous savons que B appartient à l'ensemble que nous cherchons, ne pourrions-nous pas chercher à exprimer BK à partir de la relation trouvée en ii)?

iv) Conclure

Bon courage!

Je vais proposer une autre réponse qui me parait moins compliquée..



NC² - NB² = ("NB"+"BC")² - NB² = "NB"² + 2"NB"."BC" + "BC"² - NB² = NB² + 2"NB"."BC" + BC² - NB² = 2"NB"."BC" + BC²

Etant donné que le triangle est isocèle, AC = BC donc la relation demandée équivaut à :
2"NB"."BC" + BC² = BC² soit 2"NB"."BC" = 0

Le produit scalaire de 2 vecteurs est nul seulement si les vecteurs sont orthogonaux.
L'ensemble des points N tels que les vecteurs soient orthogonaux est donc la droite passant par B perpendiculaire à la droite (BC).


??

Bonsoir,

C'est une excellente réponse!!

C'est ce qu'on retrouvait par ton autre méthode en fait. Car si 2*JK=CB et JK et CB sont colinéaires, on obtient donc que: 2*JK=CB
Or J est le milieu de [CB]
Donc K=B ce qui nous dit que le projeté de N sur la droite (BC) est en B.
Donc l'ensemble des point M vérifiant cela est bien la droite perpendiculaire à (BC) passant par B.

Bon courage pour la suite!