Distance d’un point à une droite.

Bonjour, j'ai un gros exercice à faire, mais je n'y arrive pas..
J'aurais besoin de votre aide pour me guider !
Voici l'énoncé.. (Je met entre « », les vecteurs)


Dans un plan muni d’un repère orthonormal (O, i, j), on considère la droite D d’équation 3x – 2y + 1 = 0 et le point A (2 ; 1).
a) Tracer la droite D et placer le point A.
b) Déterminer une équation de la droite D’ passant par A et perpendiculaire à D.
c) Calculer les coordonnés du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D.
d) En déduire la longueur AH, appelée distance du point A à la droite D.

A. Cas général
D est la droite passant par le point B et admettant n pour vecteur normal.
Soit A un point quelconque du plan.
On cherche à déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Justifier l’égalité « BA ». « n » = « HA ». « n »
b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||

- Applications numériques
Le plan est muni d’un repère orthonormal.
a) Déterminer la distance du point A(5 ;6) à la droite d’équation 3x + y + 1 = 0.
b) Dans le triangle EFG, avec E(2 ;0), F(-1 ;1) et G(3 ;4), déterminer la longueur de la hauteur issue de E, puis l’aire de ce triangle.

B.Expression analytique
On conserve les notations ci-dessus, en supposant, de plus, que ax + by + c = 0 est une équation de D, dans le repère orthogonal (O, i, j).
On choisit pour vecteur normal à D, le vecteur « n »(a-b)
a) Calculer || « n »|| en fonction de a et b.
b) On pose A(xa ;ya) et B(xb ;yb) sachant que B est un point de D.
Démontrer que l’on a | « BA ». « n »| = | a(xa) + b(ya) + c| .
c) En déduire la relation d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²)

- Application numérique : Démontrer que le point A(1 ;1) est le centre du cercle inscrit dans le triangle XOY, où X(2+racine de2 ;0) et Y(0 ;2+racine de2).


Merci d’avance !!

L'activité que tu propose est assez typique pour introduire la notion de distance d'un point à une droite comme le dit le titre de ton sujet d'ailleurs.

Intuitivement, nous savons que la plus courte distance d'un point à une droite c'est la perpendiculaire à la droite passant par ce point. Mais maintenant, comment réussir à remettre en place cette démarche là dans un repère. C'est à dire comment caractériser la distance d'un point à une droite à l'aide de l'équation d'une droite et des coordonnées du point considérer.

Dans un premier temps, nous allons faire les choses de façon simple c'est à dire que l'exercice te propose tout simplement de traiter un exemple où il y a explicitement l'équation de la droite et les coordonnées du point. Ainsi, il nous reste donc à calculer la distance du point à son projeté orthogonale sur la droite. Quelle est l'idée de la première partie?

Et bien, pour calculer une distance, il faut connaître les coordonnées des deux points. En conséquence, il faut calculer les coordonnées du projeté orthogonale du point sur la droite. ET qu'est-ce qui caractérise ce projeté? Il est tout simplement l'intersection de deux droites. En effet, le projeté appartient à la droite qu'on considère (plutôt logique pour chercher la distance à une droite ) mais ce projeté appartient aussi à la droite perpendiculaire à la droite de départ passant par le point. Ainsi, si on reconstruit le raisonnement, il nous faut l'équation de la droite perpendiculaire à (D) passant par A et résoudre un système pour trouver les coordonnées du point d'intersection entre cette droite et (D). La conclusion tombant d'elle-même lorsqu'on aura plus qu'à calculer la distance connaissant les coordonnées des deux points.

La deuxième partie est quant à elle plus complexe. En effet, cette fois-ci, nous n'avons pas accès à l'équation de la droite. Par contre, on va nous donner un point de la droite qu'on appellera B ainsi que le vecteur normal à cette droite. On sait qu'on définit bien une droite lorsqu'on a un point et un vecteur directeur ou un vecteur normal à la droite. Donc pas de soucis la droite (D) est bien définie. Maintenant, comment s'en sortir? Et bien, on connaît le vecteur normal à (D), il est donc aisé d'avoir accès à la droite perpendiculaire à (D) vu que sont vecteur directeur sera justement le vecteur normal à (D). Donc les deux droites sont totalement caractérisée (vecteur normal et point pour l'une et vecteur directeur et point pour l'autre). La démarche est donc la même en fait qu'ici, l'exercice nous propose une caractérisation de la distance d'un point à une droite via le produit scalaire. En fait, c'est exactement la même chose. Car si on cherche H le projeté de A sur (D), on sait tout simplement que n et AH sont colinéaires et que n et BH sont orthogonaux (vu que B et H appartiennent à la droite (D) ).

Et ensuite, on nous propose deux applications numériques. La première est un classique calcul et la deuxième est une utilisation en géométrie (longueur d'une hauteur) où il va donc falloir faire apparaître les caractéristique permettant le calcul.


La dernière partie n'est autre qu'un cas générale de la toute première car on nous donne l'équation de la droite (D) mais on va utiliser ce qu'on a fait dans la deuxième partie en explicitant un vecteur normal à cette droite (D). Il ne nous reste qu'à regarder comment les choses vont s'adapter dans ce cas là avec le même état d'esprit c'est à dire qu'on cherche à déterminer la distance entre A et son projeté orthogonale sur (D).

En espérant que tu comprendra mieux la démarche de cette exercice et les enchaînement de celui-ci en tout cas.

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si quelque chose n'est pas claire!

Voici où je bloque exactement :

a) En faite, je n'ai jamais sû tracer une droite en utilisant son équation. Pourviez vous m'expliquer votre méthode ?

Après avoir résolu ce petit problème, et avoir compris comment faire, je pense que de déterminer l'équation de la droite D' passant par A et perpendiculaire à D ne sera pas trop compliqué.

J'aimerais aussi que vous m'expliquiez ce qu'est un projeté, car c'est encore assez flou dans ma tête, et je pense être incapble de tracer ou de déterminer ou pourrais se trouver un projeté..

Merci d'avance...

A en effet, il faut mieux combler ce trou tout de suite car il s'avère assez gênant sur la durée celui-là.

Et en fait, ton problème peut se résumer vulgairement à cette seule question:

Qu'est-ce qu'une équation de droite?

C'est assez réducteur comme question mais pouvoir y répondre permet en fait de comprendre la totalité du cours sur les fonction en quelque sorte. En effet, la notion de fonction est constamment mis en relation avec la notion de représentation de courbe dans un repère et par conséquent, il faut savoir faire le va-et-viens entre les deux notions qui sont les fonction d'un côté et la représentation graphique de l'autre.

Alors par où commencer? Et bien on va commencer par le commencement c'est à dire la notion de fonction.

En effet, la question qui s'avère être avant la notion de rpésentation graphique c'est celle-ci:

Qu'est-ce qu'une fonction F?

Le but ici n'est pas de refaire un cours (je n'aurai pas assez de la page pour cela je pense) mais simplement d'aller à l'essentiel. Alors une fonction c'est tout simplement un objet mathématique d'une part. C'est très important comme remarque car cela donne une consistance tout bête à F. F est un objet mathématique qui s'appelle une fonction. bon jusque là pas trop compliqué et pourtant on a presque tout dit!!
En effet, maintenant qu'est-ce qu'une fonction? ou plutôt quelle définition donne-t-on a cette objet mathématique? Et bine une fonction n'est autre qu'un lien entre deux objets mathématiques qu'on appelle des ensembles de nombres.

Alors je suis sûr que tu as déjà vu cette écriture là:

F:R-->R

Mais t'es-tu déjà posé la question de savoir à quoi correspondait cette écriture. D'où elle pouvait bien venir? Et bien voici une réponse (non historique, je ne vais pas parler de l'introduction de cette notation, aucun intérêt ):

F (est une fonction) qui (relie) l'ensemble R à l'ensemble R


Après, la notation introduit la notion de sens. En effet, la flèche va dans un sens et cela doit être respecté. Et donc on dire que F est une fonction qui à un élément de R fait correspondre un autre élément de R.

Et voilà que nous avons totalement répondu au deux question en même temps !!!!!!!!!! Tu n'as pas vu les réponses?

Je reprend plus lentement.

Je considère une fonction F qui va d'un ensemble dans un autre. Et maintenant, je vais expliciter ce qui est marqué au-dessus:

Citation :

F est une fonction qui à un élément de R fait correspondre un autre élément de R.

J'appelle x le première élément qu'on prend dans R dont le nom sera abscisse.

Et maintenant, jécris la phrase mise en évidence:

à x j'associe un nouvelle élément dans l'ensemble d'arrivée que j'appelle F(x) pour montrer que ce nouvel élément dépend de la fonction F que j'applique ici.

Et cette nouvelle phrase n'est autre que ceci: x|--> F(x) !!!!!

Maintenant, j'appelle y l'élément image par la fonction F de notre élément x. Ce qui me donne y=F(x). Et cette élément y je vais lui donner un nom: ordonnée


En conclusion:

F n'est autre qu'une relation entre des élément x du premier ensemble (dit ensemble de départ) et les éléments y du deuxième ensemble (dit ensemble arrivée). C'est un lien qui relie x et y tout simplement.

Ce qui répond à la deuxième question même s'il faudrait dire qu'il n'y a qu'une unique image pour chaque point de l'ensemble de départ pour réellement parler de fonction mais peu importe pour l'instant.

Et maintenant la réponse à la deuxième question, tombe toute seule. Pourquoi?

La courbe d'équation y=F(x) n'est autre que les points dont les abscisses sont reliées aux ordonnées par le lien F. C'est à dire qu'un point M(x,y) dans le repère appartient à la courbe si et seulement si y=F(x) (ce qui veut bien dire que y est l'image de x par la fonction F).

C'est pour cela qu'on t'a fait faire des tableau de valeur mettant x en première ligne et y=F(x) en deuxième ligne. Puis reporter sur le graphique les points correspondant dans le but de tracer la courbe d'équation y=F(x).

Maintenant, l'avantage pour une droite c'est qu'on sait que par deux points passent une et une seule droite. Il ne nous suffit donc que de deux points sur la courbe pour tracer notre droite tout simplement.

En espérant que cela soit plus claire ainsi sinon n'hésite pas à poser tes questions!

Bon courage!

Voilà, j'ai représenter la question a), b) et c) sur mon repère orthonormal. Je peux vous mettre l'image ici si vous voulez.
Le seul souci, c'est que pour la b), oui j'ai représenté la droite D' sur mon repère, mais ils demandent de "déterminer" une équation. Comment fait-on ceci ? :S

Et puis, pour la c), pouvez vous me rappelez comment on calcul les coordonnées d'un point s'il vous plait ?

Merci d'avance.

La seule question de tracer est en effet la question a). Ensuite, nous allons compléter la figure au fur et à mesure (toujours compléter les figure même si ce n'est pas demandé au moins pour soi car cela permet de mieux suivre les démarches).

Donc pour la question b), il s'agit de déterminer l'équation de la droite (D') qui est la droite passant par A et perpendiculaire à (D).

i) Quel est la forme d'une équation de droite disons une droite affine ici dans un repère quelconque?
ii) Si je connais la forme des équations de deux droites. Comment caractériser la perpendicularité entre ces deux droites en utilisant les éléments des équations?

Autre moyen de faire:

i) Connais-tu un vecteur normal à (D)? On appelle n ce vecteur.
ii) Sachant que n est un vecteur normal à (D) quel lien le relie à (D')?
iii) Connaissant un vecteur directeur et un point d'une droite, comment trouver son équation?

Mais avant tout ceci, sais-tu déjà déjà déterminer l'équation d'une droite si je te donne deux points de celle-ci? Par exemple, soit P(1,2) et Q(4,6). Serais-tu déterminer l'équation de la droite (PQ)? Car c'est la base cela, donc s'il y a un soucis à ce niveau là, je pense qu'il faut mieux regarder cette question avant même de regarder les questions de ton exercice. En fait, il y a trois moyen de déterminer l'équation d'une droite:

- Deux points de la droite dont on connait les coordonnées déterminent l'équation de la droite passant par ses deux points
- Un point et un vecteur directeur dont on connaît les coordonnées détermine l'équation de la droite dirigée par le vecteur directeur et passant par le point
- Un point et un vecteur normal à une droite permet de déterminer l'équation de la droite passant par le point et orthogonale au vecteur.

Donc allons-y par étapes si nécessaire.

Bon courage!

Voici ce que j'ai répondu :

b) Vu son équation, (D) a pour vecteur normal : n(3;-2)
Ce vecteur est vecteur directeur de (D') .
Une équation de (D') est donc : -2x - 3y + C = 0
Vu que A appartient à (D') : -2*2 - 3*1 + C = 0 ; -4 - 3 + C = 0 ; -7 + C = 0 soit C = 7.
Donc l'équation de (D') est : -2x - 3y + 7 = 0

c) AH = √[(xH - xA)² + (yH - yA)²]
Soit AH = √(1-2)² + (2-1)²
AH = √1 + 1
AH = √2

??

Excellent pour la question b) !!

Il doit manquer une question, non?

Citation :

c) Calculer les coordonnés du point H, projeté orthogonal du point A sur la droite D.

Car tu calcules la longueur AH alors qu'on cherche les coordonnées de H à la question c). H est un point d'intersection, par conséquent, ses coordonnées vérifient plusieurs équations ce qui va permettre de conclure.

Bon courage!

Oui effectivement, ce n'est pas à la question c) que j'ai répondu, mais à la d) donc :

d) AH = √[(xH - xA)² + (yH - yA)²]
Soit AH = √(1-2)² + (2-1)²
AH = √1 + 1
AH = √2
(J'ai ici utilisé la lecture graphique pour avoir les coordonnées de H)

Donc, pour la c), comment fait on du coup pour calculer les coordonnées de H, quel formule ?

D'après la structure de l'exercice, tu te doutes bien que la lecture graphique c'est pas autorisée pour répondreà la d) .

Alors que savons-nous de H? C'est le point d'intersection entre quoi et quoi?

Qu'est-ce que cela veut dire que H(x,y) appartient à une droite dont on connaît l'équation?

Bon courage!

Nous savons que H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
C'est le point d'intersection entre la droite D et la droite D'
De point d'intersection H appartient à la fois à D et à D', ce qui signifie que ses coordonnées vérifient à la fois l'équation de D et celle de D'.

Soit avec D : 3x - 2y + 1 = 0
et D' = -2x - 3y + 7 = 0
On aura :

(Mais je ne connais pas la formule pour résoudre ceci..)

Nous avons donc deux inconnues (x et y) qui vérifient deux équations (celle de (D) et celle de (D') ).

Nous avons donc sous les yeux un système de deux équations à deux inconnues tout simplement.

Comment résout-on un système de deux équations à deux inconnues?

Bon courage!

{ 3x - 2y + 1 = 0 (multiplié par -2)
{ -2x - 3y + 7 = 0 (multiplié par 3)

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ -6x - 9y + 21 = 0

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ 23y - 23 = 0

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ 23y = 23

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ y = 23/23 = 1

{ -6x + 4*1 - 2 = 0
{ y = 1

{ -6x + 4 - 2 = 0
{ y = 1

{ -6x = -2
{ y = 1

{ x = -2/-6
{ y = 1

Soit { 3*(-2/-6) - 2*1 + 1 = 0
{ -2(-2/-6) - 3*1 + 7 = 0

??

Excusez moi, je n'avais pas remarqué une petite faute..

{ 3x - 2y + 1 = 0 (multiplié par -2)
{ -2x - 3y + 7 = 0 (multiplié par 3)

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ -6x - 9y + 21 = 0

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ 23y - 23 = 0

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ 13y = 23

{ -6x + 4y - 2 = 0
{ y = 23/13

{ -6x + 4*23/13 - 2 = 0
{ y = 23/13

{ -6x + 92/13 - 2 = 0
{ y = 23/13

{ -6x + 66/13 = 0
{ y = 23/13

{ -6x = -66/13
{ y = 23/13

{ x = (-66/13) / 6 = (-66*1) / (13*6) = (-11*6)/(13*6) = -11/13
{ y = 23/13

Soit { 3*(-11/13) - 2*23/13 + 1 = 0
{ -2(-11/13) - 3*23/13 + 7 = 0

Il doit encore y avoir une erreur quelque part, mais je ne l'a trouve pas cette fois-ci..

J'ai rayé la ligne qui était encore fausse car 9+4=13 et pas 23 en effet, faute de frappe ça arrive .

Sinon, il reste en effet une erreur de concentration. En effet, en toute fin de calcul lorsque tu isoles totalement x le coefficient qui était devant c'était -6 et non 6 . Du coup, ça va juste changer le signe du x mais bon ça va permettre à la vérification d'être juste.

En conclusion, quelles sont les coordonnées de H alors? Et quelle est la distance AH pour le coup?

Bon courage!

Mon erreur serait donc à partir de là ...

Emel-ii-nee a écrit:

{ -6x = -66/13
{ y = 23/13

{ x = (-66/13) / 6 = (-66*1) / (13*6) = (-11*6)/(13*6) = -11/13
{ y = 23/13

Soit { 3*(-11/13) - 2*23/13 + 1 = 0
{ -2(-11/13) - 3*23/13 + 7 = 0

Correction..
{ -6x = -66/13
{ y = 23/13

{ x = (-66/13) / -6 = (-66*1) / (13*-6) = (11*-6)/(13*-6) = 11/13
{ y = 23/13

Soit { 3*(11/13) - 2*23/13 + 1 = 0
{ -2(11/13) - 3*23/13 + 7 = 0

Nickel!!

Il ne reste plus qu'à conclure maintenant.

Bon courage!

Ainsi les coordonnées de H sont (11/13 ; 23/13)



Maintenant, la d) ...

AH = √[(xH - xA)² + (yH - yA)²]
Soit AH = √(11/13-2)² + (23/13-1)²
AH = √(225/169) + (100/169)
AH = √325/169 = √25/13

??

Alors c'est presque juste mais je ne comprend pas ta dernière simplification.

Pourrais-tu la détailler pour te convaincre de la légèr erreur?

Bon courage!

Effectivement, petite erreur ...

d) ...

AH = √[(xH - xA)² + (yH - yA)²]
Soit AH = √(11/13-2)² + (23/13-1)²
AH = √(225/169) + (100/169)
AH = 15/13 + 10/13 = 25/13

??

AH = √[(xH - xA)² + (yH - yA)²]
Soit AH = √(11/13-2)² + (23/13-1)²
AH = √(225/13²) + (100/13²)
AH = √325/(13²)
AH = √(5²*13)/13²
AH = 5(√13)/13

??

Re-bonjour,

C'est excellent en effet!

Bon courage pour la suite!

J'aurais également besoin de votre aide pour cette partie..

Emel-ii-nee a écrit:

A. Cas général
D est la droite passant par le point B et admettant n pour vecteur normal.
Soit A un point quelconque du plan.
On cherche à déterminer la distance du point A à la droite D, c’est-à-dire la longueur AH, où H est le projeté orthogonal de A sur la droite D.
a) Justifier l’égalité « BA ». « n » = « HA ». « n »
b) Montrer alors que la distance cherchée est donnée par l’égalité d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||

Pourriez vous m'aider et me guider s'il vous plait ?
Merci d'avance..

Que savons-nous des objets mis en jeu dans le produit scalaire?

Où se situe B? A? que représente n? Qu'est-ce que cela implique? Que savons-nous de H?

En fait, lorsqu'on bloque sur un exercice, le but est de se poser toujours les questions simples dès le départ pour poser le problème:

"Qu'avons-nous sous les yeux qui intervient dans la question?"

Ensuite, il vient les questions de cours qu'on peut se poser ou de déduction directe:

"Qu'est-ce qui dans mon cours est en lien avec ce que j'ai comme objets ou hypothèses sous les yeux?
Que pouvons-nous déduire avant même de regarder la question des hypothèses ou des objets que j'ai sous les yeux? "

Et ensuite seulement, on commence à prendrel e problème à bras le corps c'est à dire:

"Comment à partir de tout ce que j'ai déduit de l'énoncer et de mes connaissances, résoudre le problème que j'ai sous les yeux?"

Cela paraît évident comme démarche mais c'est en fait une démarche de réflexion qui est souvent mal acquise et du coup c'est souvent cette démarche de base qui pose problème pour démarrer simplement un exercice (je ne parle pas de le finir mais au moins pouvoir faire la première question par exemple).

Bon courage!

Est-ce correct ?

a) "BA"."n" = ("BA"+"HA")."n" = "BH"."n" + "HA"."n"

"n" est normal à la droite D et B et H sont des points de la droite D donc "n" est orthogonal à "BH", leur produit scalaire est donc nul.

b) D'après la réponse à la question précédente, on en déduis que |"BA"."n"| = |"HA"."n"| = HA * ||"n"||

D'où d = (| « BA ». « n »|) / || « n »||