Distance d’un point à une droite.

C'est énorme qu'une simple erreur de coordonnées puisse engendrer de grosse aberration au bout du compte mais c'est en effet la seule erreur que j'ai pu constater dans les calculs.

Pour te donner un exemple dans le même ordre d'idée (c'est à dire erreur minime au départ et "catastrophique à l'arriver"). Imagine le lancement d'une fusée. La trajectoire est étudiée à l'avance avec la prise ne considération de la rotation des astres et de leur déplacement. Imagine qu'il y a une erreur de trajectoire au départ de 1° ce qui est une broutille tu en conviendras. Le soucis? C'est qu'une erreur de 1° au départ fera une déviation d'un arc qui mesurera 10 000kms lorsque la fusée aura parcouru 10 000kms. Imagine les conséquences catastrophiques pour un seul petit degré de décalage au décollage.

Donc en effet, la rigueur est de mise dans les calculs pour éviter des aberrations ou des incohérences comme nous venons d'en rencontrer. Le principale c'est que tu ais été critique envers ton résultat pour dire que celui-ci te semblait aberrant. Le jour d'un devoir, tu as le droit (en physique-chimie aussi) d'écrire si tu as sur d'avoir un résultat incohérent: "le résultat trouvé n'est pas cohérent avec les hypothèses" cela montrera que tu as un recule par rapport à l'exercice et ainsi montrera une certaine maturité à ne pas faire des calculs pour des calculs.

Je te laisse donc reprendre les calculs qui ont suivi à partir de cette rectification de produit scalaire.

Bon courage!

Donc "EF"."n" = -13

d'où d = (|"EF"."n"|)/||"n"| = |-13| / 5 = 13/5.

Ainsi, pour l'aire on a : [(13/5)*5]/2 = 13/2 ?

C'est tout à fait exact!

Une aire d'un peu plus de 6 unités au carré cela semble raisonnable bien plus en tout cas que notre autre résultat.

Bon courage pour la suite!

Merci énormément.

Pour la suite...

Emel-ii-nee a écrit:

B.Expression analytique
On conserve les notations ci-dessus, en supposant, de plus, que ax + by + c = 0 est une équation de D, dans le repère orthogonal (O, i, j).
On choisit pour vecteur normal à D, le vecteur « n »(a-b)
a) Calculer || « n »|| en fonction de a et b.
b) On pose A(xa ;ya) et B(xb ;yb) sachant que B est un point de D.
Démontrer que l’on a | « BA ». « n »| = | a(xa) + b(ya) + c| .
c) En déduire la relation d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²)

Voici ce que j'ai fais:

a) Vu l'équation de D, "n" a pour coordonnées (a;b) soit ||"n"|| = √(a²+b²)
Ca parait bizarre, mais je ne vois pas comment répondre à la question d'une autre manière..

b) |"BA"."n"| = |(xA-xB)*a + (yA-yB)*b|
Ainsi on a |"BA"."n"| = |a*xA + b*yA - a*xB - b*yB|
Et vu que B appartient à D : a*xB + b*yB + c = 0 d'où -a*xB - b*yB = c
Donc |"BA"."n"| = |a*xA + b*yA + c|

Pour la c) par contre, je ne vois pas du tout.. :/

La dernière question est une démonstration totalement analytique et générale.

Le but est de montrer qu'en fait, il suffit d'injecter dans l'équation de la droite les coordonnée du point hors de celle-ci (le point A pour l'exercice) et de diviser par la norme du vecteur normal pour avoir la distance du point à la droite.

donc même si c'est troublant tous les résultat reste totalement analytique ici. Donc la norme de n est tout à fait exacte et la deuxième question est excellente (rédaction comprise)!

Comment conclure? Aller réfléchi encore un peu car c'est loin d'être la première question de l'exercice. Nous avons donc fait un panel de questions avant.

Une idée pour conclure du coup?

Bon courage!

Euuh non..
En faite, je ne vois pas du tout comment je pourrais procéder.. :/

Alors, qu'avons-nous démontrer dans la partie théorique précédente?

Quel lien y a-t-il avec notre question?

Bon courage!

Aaaahh !! Je viens de faire le lien!! .

Donc..

Grâce à la question A. b), nous savons que d = (|"BA"."n"|/||"n"|)
Or, nous avons démontré qu'à la question a), ||"n"|| = √(a²+b²)
Ainsi qu'à la question b), |"BA"."n"| = |a*xA + b*yA + c|

D'où la relation d = |a*xA + b*yA + c | / √(a² + b²)

Tout simplement ?

Qui a dit que les mathématiques étaient compliquées? .

Le plus difficile comme je te l'ai dit plus haut ce n'est pas d'arriver au bout d'un exercice mais de le comprendre et de comprendre sa structure même car dès que cette étape là est fait tout dévient en effet plus ou moins.

C'est donc excellent en effet!

Bon courage pour la suite et n'hésite pas s'il te reste des incompréhensions à poser tes questions

A présent, l'application numérique me pose problème, car je ne vois pas tout à fais le rapport qu'il y a avec l'expression analytique que nous avons traitez juste avant..

Pourriez vous me guider ?

Merci d'avance!

Bonjour,

Alors en effet, le rapport n'est pas des plus évident. Mais avant de commencer essayons de nous simplifier les choses au maximum. C'est-ce dire:

- Quelle est la particularité du triangle considéré? (Pas nécessaire mais ça peut toujours servir)
- Quelle est la définition du centre inscrit à un triangle?

Bon courage!

Par définition.. Il existe un et un seul cercle intérieur au triangle et tangent à la fois à ses trois côtés. Ce cercle de centre O est appelé « cercle inscrit » dans le triangle.

Le cercle inscrit à un triangle est le plus grand cercle que peut contenir ce triangle. Son centre est le barycentre des points (A,a) (B,b) (C,c). Son rayon est égal à r = 2S / a+b+c où S désigne la surface du triangle. Son centre est le point d'intersection des bissectrices.

Je pense que pour cette question, il faut chercher une équation de chaque côté du triangle OXY & avec la dernière formule démontrée , on calcules la distance de A à chaque côté du triangle (ces 3 distances doivent être égales vu qu'elles représent le rayon du cercle inscrit dans le triangle.

Equation de la droite XO. Mais comment pouvons nous connaitre O ?

Equation de la droite YO. Même question ? :S

Equation de la droite XY. On a X(2+√2 ; 0) et Y(0 ; 2√2)
On sait que y(XY) = ax + b, soit :
{ 2+√2 + b = 0
{ 0a + b = 2+√2

{ 2+√2a + b = 0
{ b = 2+√2

{ 2+√2a * 2+√2 = 0
{ b = 2+√2

{ a = 2+√2 / 2+√2 = 1
{ b = 2+√2

d'où y(XY) = x + 2+√2 ?


Mais je ne vois pas comment on pourrais faire pour le reste vu qu'il nous manque O ... :/

Merci d'avance

Bonsoir,

La définition qui nous sert ici c'est en effet la caractérisation du cercle comme étant le cercle tangent aux trois côtés. Donc ta démarche est excellente.

Le soucis? Tu es trop fixé sur la question. Nous sommes dans quel repère ici?

Je pense donc que tu as trouvé les coordonnées manquante .

Bon courage pour conclure!

Bonsoir,
Donc pour l'équation de XY, j'ai fais une petite erreur..

Equation de la droite XY. On a X(2+√2 ; 0) et Y(0 ; 2√2)
On sait que y(XY) = ax + b, soit :
{ 2+√2 + b = 0
{ 0a + b = 2+√2

{ 2+√2a + b = 0
{ b = 2+√2

{ 2+√2a + 2+√2 = 0
{ b = 2+√2

{ a = -(2+√2) / 2+√2 = -1
{ b = 2+√2

d'où y(XY) = -x + 2+√2 ?

Ensuite, O est l'origine du repère donc le point de coordonnées (0,0) ?
Et comme A a pour coordonnées (1,1), on sait que la distance de A aux droites (OX) et (OY) sera égale à 1.

Il reste à montrer que la distance de A à la droite (XY) est égale à 1.
Soit d'après la formule (mais justement, laquelle des formules doit-on utiliser ici ?? :S

Nickel!!

Donc, on a déjà calculer deux distances sur trois et toutes deux égale à 1. On s'attend donc que la distance de A à y(XY) (comme tu l'appelles) soit aussi égale à 1 et on pourra conclure.

Maintenant, remets-toi dans le contexte de l'exercice. Dans quelle partie sommes-nous et qu'elle est le sous-titre en rapport avec notre question?

Bon courage, nous sommes presque au bout!

Nous avons démontré la relation d = |a*xA + b*yA + c | / √(a² + b²)

Mais en application, je ne vois pas du tout comment remplacé tout ça par des nombres réels..

Nous avons démontrer une égalité entre deux quantités en effet.

Comment avons-nous démontré celle-ci?
A quoi correspondent ces quantités?
Quelles étaient les hypothèses lors de la démonstration? A quoi correspond a, b, c, xA, yA ?

Cela n'a pas de sens en maths de démontrer des choses juste dans le but de les démontrer. C'est un gros problème de l'approche scolaire, je le conçoit et en suis tout à fait conscient. Mais essaie de considérer au moins le C) comme un tout c'està dire qu'il y a une certaine cohérence dans la partie C de cet exercice. Cette cohérence provient du fait qu'on doit démontrer quelque chose de concret c'est à dire ici démontrer que A est le centre du cercle inscrit au triangle. On s'apercevrait si on testait que les deux méthodes présentes dans la partie A) et B) ne sont pas forcément adapté pour cette forme de questions. Il nous faut donc quelque chose de plus adéquat de plus réfléchit en quelque sorte. Et nous arrivons donc à énoncer une autre façon de calculer sur la distance d'un point à une droite. Et c'est l'objet de la première question de la partie C) car il nous faut avoir la théorie de démontrée avant de pouvoir l'appliquer sur du concret. Mais cette théorie n'est pas dénuée de sens, ni d'objectif. Il y a donc des hypothèses de faites et à partir de ces hypothèses, on démontrer l'égalité souhaitée.

Mais en conséquence, si on se pose deux minutes, on constate qu'on ne peut utiliser cette égalité que si les hypothèses sont vérifiées c'est à dire qu'on connaît a, b, c, xA, yA d'après la formule. Il nous faut donc savoir d'où viennent ses constante et on revient donc aux hypothèses de démonstration tout simplement c'est à dire l'explicitation de l'équation de la droite ainsi que de deux points A et B. Et il s'avère que le point B n'est qu'une hypothèses intermédiaire pour conclure mais dans la conclusion ce point n'apparaît plus.

Est-ce que la démarche du C) est plus claire ainsi?

As-tu du coup, un moyen de conclure l'application numérique?

Bon courage!

Je ne suis pas sûr d'avoir tout compris..

Dans les formules que nous avons vu précédement, il y a le vecteur normal "n" qui intervient, soit également la norme.
Alors qu'ici, on ne dispose que des coordonnées de quatres points et d'une équation de (XY)..

Ok, je vais essayer de prendre les choses autrement alors:

Voici la partie dans laquelle nous sommes actuellement:

Citation :

B.Expression analytique
On conserve les notations ci-dessus, en supposant, de plus, que ax + by + c = 0 est une équation de D, dans le repère orthogonal (O, i, j).
On choisit pour vecteur normal à D, le vecteur « n »(a-b)
a) Calculer || « n »|| en fonction de a et b.
b) On pose A(xa ;ya) et B(xb ;yb) sachant que B est un point de D.
Démontrer que l’on a | « BA ». « n »| = | a(xa) + b(ya) + c| .
c) En déduire la relation d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²)

- Application numérique : Démontrer que le point A(1 ;1) est le centre du cercle inscrit dans le triangle XOY, où X(2+racine de2 ;0) et Y(0 ;2+racine de2).

Nous avons répondu au question a), b) et c). Et nous sommes donc à l'application numérique.

Nous avons vu que pour démontrer l'application numérique, il fallait démontrer que A(1;1) était à égale distance des droite (OX), (OY) et (XY).
De plus, on a calculé la distance de A(1;1) aux droite (OX) et (OY) qui ne sont que l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées respectivement. On a trouvé que la distance était égale à 1.

On doit donc démontrer que la distance de A(1;1) à la droite (XY) est égale à 1.

Tu as aussi montrer que l'équation de la droite (XY) était la suite y=-x + 2+√2

En conclusion, nous sommes maintenant au point où nous devons démontrer ceci:

Montrons que la distance du point A(1;1) à la droite (XY) d'équation y=-x + 2+√2 est égale à 1.

Voilà le raisonnement dans sa totalité et dans son état actuel. Es-tu d'accord avec tout ceci?

Maintenant, nous avons démontré d'après tes dires qui sont tout à fait juste ceci juste avant: d = [ |a(xa) + b(ya) + c | ] / (racine de a² + b²) avec d=la distance du point A à la droite (D).

Est-ce que tout ceci est clair? As-tu maintenant que tout est regroupé au même endroit, une idée pour conclure?

Bon courage!

J'ai repris tout la partie B. J'ai tout bien compris..

Je reprend donc maintenant la dernière question :

.?

Attention à une légère erreur d'objet. En effet A n'est pas normal à (XY). Un point normal à une droite, ça n'a pas de sens .

Donc, il faut réellement passer par un intermédiaire qui est un vecteur normal qu'on appelle souvent n. Et ici, les coordonnées de n sont bien égaux (1;1) mais il s'agit de coordonnée d'un vecteur et non d'un point.

J'espère que c'est plus clair. Je sais que c'est troublant mais A(1;1) n'est pas du tout le même objet que n(1;1). L'un est un point et l'autre un vecteur.

Par contre on a bien en effet, xA=1 et yA=1, la conclusion est donc bonne mais j'espère que tu as compris la nuance entre les coordonnées d'un point et celles d'un vecteur. C'est important car l'erreur ici serait vraiment mauvaise pour un correcteur qui considérera qu'il s'agit d'une faute de sens/de compréhension ce qui ampute beaucoup de points car la compréhension est la base de ce qui est demandée.

Donc si tu as des questions n'hésite pas surtout. Mon propre bilan, je dirai que tu manques de méthodologie face à un exercice, ce n'est pas que tu n'as pas d'idée mais tu t'éparpille de trop et du coup tu t'enlèves sans le vouloir les démarches pouvant aboutir voire même la possibilité d'avoir des idées à certains moment (relis le sujet c'est flagrant à certains endroit). Cela se travail et c'est vraiment payant au bout du compte, je te le garanti.

Bon courage pour la suite!

Emel-ii-nee a écrit:

Donc le vecteur A est normal à (XY).

?

En tout cas, merci pour le temps et l'aide que vous m'avez apporté lors de cet exercice.
Je retiens tout vos conseils, et j'essai de les appliquer.

Vous vous rendrez peut être compte du changement, lors d'un nouvel exercice.

Je vous remercie encore!

Alors c'est faisable mais la lettre A est déjà utilisée pour le point A de coordonnées (1;1).

Il faut vraiment lui donner un autre nom si on veut éviter tout ambiguïté dans l'exercice et rien de mieux que le nom lui étant attribué dans la partie théorique c'est à dire n.

Tout s'append avec le temps, ta motivation et ta détermination à apprendre/comprendre feront le reste, je ne m'inquiète pas. tout vient à point à qui sait attendre comme dit l'adage .

Bonne continuation en tout cas!