Annale complexe Amérique du Nord juin 2006

Bonsoir !

Me voici avec une nouvelle annale, qui me semblait interessante parce qu'assez complète à première vue, et comme ce chapitre n'est pas mon point fort.. je viens chercher un peu d'aide par ici.

Voici l'énoncé :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/AmeriqueNordSjuin2006.pdf

Il s'agit de l'exercice n°2.

Alors, pour la partie A tout d'abord..
La question 1a) pas de problème, on trouve 2e(i pie/3) pour le complexe B et 2e(-i pie/3) pour le complexe C.

J'aurais cependant une question à vous poser par rapport à un tel résultat.. Comme les modules de ces complexes sont les mêmes et que l'angle de leur argument est le même également, sauf que l'un est positif et l'autre négatif, cela induit logiquement qu'ils sont symétriques par rapport à l'axe Ox et que leurs deux longueurs respectives par rapport à 0 sont égales ?

Je crois que cette déduction est nécessaire pour la suite, mais ça ne me paraissait pas logique avant cet exercice alors.. je préfère le souligner pour que ça puisse devenir un peu plus clair.

Pour la question 2 ensuite, en faisant la figure il devient évident que le quadrilatère OBAC est un losange.
Mais petites "révisions" que je voudrais voir avec vous, pour prouver qu'un quadrilatère est un losange, il faut tout d'abord prouver que ce quadrilatère est un parallélogramme en prouvant que les vecteurs des côtés opposés sont égaux (même norme, même direction) et ensuite que soit les 4 côtés sont égaux, soit les deux côtés opposés deux à deux le sont. (la deuxième induit la première..)

Je suis bien juste ? Il ne manque rien ?

En calculant les vecteurs BA et OC on trouve qu'ils sont égaux.
Peut-on en déduire de ce fait que les vecteurs OB et CA le sont également ?!
Excusez moi si ce sont des questions très... élémentaires, mais je crois qu'en géométrie ce ne serait pas du luxe pour moi de reprendre certaines bases. J'éspère que vous comprendrez.

Ensuite.. viens jouer un rôle ma question précédente, en effet si grâce aux formes exponentielles on peut en déduire que les longueurs OB et OC sont égales, et qu'en plus on a prouvé que les vecteurs OB=CA et d'autre part les vecteurs BA=OC, on prouve de ce fait que les 4 longueurs sont égales.

Et que donc ce quadrilatère est un losange.

J'attends votre réponse pour clore cette question avant d'entamer la suite ?


Je vous remercie mille fois d'avance,
Mirabelle

Bonsoir,

Citation :

J'aurais cependant une question à vous poser par rapport à un tel résultat.. Comme les modules de ces complexes sont les mêmes et que l'angle de leur argument est le même également, sauf que l'un est positif et l'autre négatif, cela induit logiquement qu'ils sont symétriques par rapport à l'axe Ox et que leurs deux longueurs respectives par rapport à 0 sont égales ?

C'est excellent! Tu vois que ce n'est pas horrible les complexes lorsqu'on raisonne géométriquement . En fait, cela se voyait directement sur l'expression algébrique. En effet, les deux complexes sont conjugués donc symétriques par rapport à l'axe des réels! D'ailleurs dans la rédaction calculer les deux modules et les deux arguments serait vraiment une perte de temps. Tu annonces la couleur dès le départ en disant que z_C^(bar)=z_B et du coup tu calcules le module et l'argument d'un seul des deux cela permettra de conclure pour les deux directement. Mais le remarquer à posteriori c'est déjà suffisant pour la suite en fait.

Citation :

Mais petites "révisions" que je voudrais voir avec vous, pour prouver qu'un quadrilatère est un losange, il faut tout d'abord prouver que ce quadrilatère est un parallélogramme en prouvant que les vecteurs des côtés opposés sont égaux (même norme, même direction) et ensuite que soit les 4 côtés sont égaux, soit les deux côtés opposés deux à deux le sont. (la deuxième induit la première..)

Je dirai plutôt qu'après le parallélogramme, deux côtés consécutifs égaux suffisent vu que justement les côtés opposés on sait déjà qu'ils sont égaux (c'est un parallélogramme!)

Citation :

En calculant les vecteurs BA et OC on trouve qu'ils sont égaux.
Peut-on en déduire de ce fait que les vecteurs OB et CA le sont également ?!

La question ne se pose même pas en fait. Car ici tu utilises la caractérisation des parallélogrammes via l'égalité vectorielle tout simplement. Il y a l'équivalence suivante:

( AB=DC ou AD=BC )<=> ABCD est un parallélogramme

Il n'y a jamais de questions bêtes sache-le et il faut mieux passer pour un imbécile aux yeux d'une classe et poser une question soit disant débile plutôt que les autres restent des débiles sans connaître la réponse à ta question .

La considération sur les longueurs est totalement juste. Et la conclusion en découle en effet!

Mais attention à la feinte tout de même. Pourquoi t'arrêtes-tu au fait qu'il s'agit d'un losange? Ton dessin peut être faux, alors pourquoi ce n'est pas un carré? (seul figure possible à partir du losange).

Bon courage!

Merci beaucoup pour vos explications.

Mais je vais devoir revenir sur un point, vous parlez de deux côtés consécutifs égaux, cela induit qu'un losange possède forcément 4 côtés égaux ??!
Il existe bien des losanges avec 2 côtés opposés égaux, mais aux côtés consécutifs non égaux, je me trompe ?

Si c'est le cas je me plante sur les losanges depuis le collège et ça m'étonne de moins en moins si la géométrie n'a jamais été mon fort

On pourrait donc dire trèèès grossièrement qu'un losange est un carré sans ses angles droits ? Hum l'image doit être affreuse pour un prof de maths et je m'en excuse mais ça expliquerait peut être plus facilement mes théories.

Pour prouver qu'il ne s'agisse que d'un losange et non pas d'un carré il est nécessaire de calculer au moins un angle à l'interieur de ce losange (et qui ne serait pas égal à pie/2)

En prenant l'angle BOC, arg(B) = (vecteur u, OB) = pie/3
arg(C) = (vecteur u, OC) = -pie/3

L'angle BOC est donc égal à 2pie/3
Il ne s'agit donc pas d'un carré.

Il y a certainement un moyen de le trouver par le calcul ?
Par une relation de chasles entre les deux arguments ?

Je ne vois cependant par comment..

Merci,
Mirabelle

Pour revenir sur ce point:

Citation :

Mais je vais devoir revenir sur un point, vous parlez de deux côtés consécutifs égaux, cela induit qu'un losange possède forcément 4 côtés égaux ??!
Il existe bien des losanges avec 2 côtés opposés égaux, mais aux côtés consécutifs non égaux, je me trompe ?

En fait, ici on démontre d'abord qu'il s'agit d'un parallélogramme. Donc on sait déjà par définition du parallélogramme deux les côtés opposés sont de même longueur et parallèles deux à deux.

La caractérisation du losange à partir du parallélogramme, il y en a deux en fait:

- La plus simple c'est deux côtés consécutifs égaux. ainsi, nous avons un quadrilatère donc les 4 côtés sont égaux et dont côtés opposés sont parallèles deux à deux ce qui définit bien un losange. C'est une caractérisation d'un losange (c'est à dire qu'un losange c'est un quadrilatère qui a 4 côtés de même longueur)

- Les diagonale ce coupe perpendiculairement. En effet, dans un losange les diagonale se coupent en leur milieu (mais c'est aussi le cas de base pour les parallélogrammes) et se coupent perpendiculairement. Et cela caractérise un losange totalement (la réciproque est vrai si on a un losange alors les deux diagonales se coupent perpendiculairement en leur milieu).

Le fameux cerf-volant n'est pas un losange en fait et c'est peut-être ce qui t'as induit en erreur dans ta démarche. Un losange a forcément 4 côtés de même mesures.

La géométrie n'est pas le fort de quelqu'un à partir du moment où il a une représentation fausse des objet qu'il manipule c'est à dire qu'il a soit mal vu les définition soit qu'on lui a jamais donner les définitions de certains objets (trop compliqué ou trop anecdotique car peu utilisé en fait). Donc vulgairement, en effet, un losange c'est un carré dont les côté consécutif ne sont pas forcément perpendiculaire (j'ajoute le forcément car un carré c'est un losange petite maline ).

Ton argument sur l'angle géométrique BOC est largement suffisant part contre fait attention à bien el calcul car d'après les affixes on a accès qu'au angle par rapport à l'axe des réels ne l'oublie pas! Donc l'angle c'est par relation de Chasles sur les angles de vecteurs qu'on le fait si on souhaite être rigoureux (OB,OC)= .... + .... avec deux angles connus d'après les affixes des points B et C.

Sinon, je sais que je fais beaucoup de fautes d'orthographes (j'essaie de les corriger à chaque relecture mais il doit en rester tout de même) mais bon évite d'écrire sur une copie que le nombre Pi est un oiseau malicieux (la fameuse Pie cette bonne vieille 3.1415926535 d'oiseau chapardeur ).

Est-ce que c'est plus clair ainsi?

Bon courage!

Ok je comprends mieux, les losanges n'auront à présent plus aucun secret pour moi. Il serait temps d'ailleurs, à deux mois du bac !

Hum oui, merci de l'avoir souligné, j'éviterais de faire cette énorme faute ^^ en général sur les copies je l'écris avec son signe et donc pas de chance de faire une faute dans ce genre
Mais j'ai du vous faire bien mal aux yeux, excusez moi.

Alors, pour cette troisième question de la partie A :
|z|=|z-2| <=> |z-0|=|z-2| <=> OM=AM
L'ensemble D des points M du plan sont donc les points équidistants de A et de O. Il s'agit donc de la médiatrice du segment OA (x=1)

Ensuite pour la partie B apriori sans grosse difficulté dans les premières questions, j'ai trouvé que les points B et C étaient invariants.

Pour la question c ensuite, je sais que le centre de gravité d'un triangle est le point concourant de ses trois médianes, et qu'il se trouve aux 2/3 de chaque médiane à partir du sommet correspondant (ou aux 1/3 à partir du milieu du côté opposé au sommet du coup) mais je ne vois pas comment le trouver avec les complexes ?

Bonne journée,
Mirabelle

Re-bonjour,

Citation :

Il s'agit donc de la médiatrice du segment [OA]

En effet, c'est bien cela!

Par la suite la question a) donne la réponse à la deux vu qu'on calcule justement les points invariant lors de la résolution.

Pour le centre de gravité, il y a en effet la définition ainsi que la caractérisation que tu donnes. Mais il y a une autre définition qu'il ne faut pas oublié et que tu as du voir l'année dernière:

G est le centre de gravité de ABC <=> G=bar{(A,1),(B,1),(C,1)}

Et là par contre, tu as de quoi travailler sous forme barycentrique, non?

Bon courage!

Bonjour !

Oh oui pour les crochets, excusez moi, je suis sur MAC et les crochets ne sont pas sur le clavier.. je n'ai pas eu le reflexe d'aller les chercher sous word avant de publier mon message.

Aah ben oui, quand il est question d'un centre de gravité les barycentres sont souvent de la partie ^^
Mais nous n'avons pas encore vu ce chapitre, nous allons encore finir la deuxième partie sur les probabilités puis nous allons les attaquer je crois.. Il serait peut être temps !

On pourrait donc mettre cette question de côté pour le moment ? On pourrait y revenir lorsque ce chapitre sera bouclé, si vous le voulez bien.

Pour la suite des questions, ce sont des démonstrations de cours et avec les nombres complexes j'ai souvent du mal !

Pour démontrer que : |z1 x z2| = |z1| x |z2| je pense qu'on peut directement utiliser les propriétés qui nous sont données par l'énoncé, élevé au carré les deux égalités. On trouve la même chose : z1 x z2 x z1(bar) x z2(bar)
On peut donc en déduire que l'égalité est vraie.
Est-ce suffisant ?

Par contre pour le deuxième point je ne vois même pas par quoi commencer, ici on ne peut pas se servir des propriétés énoncées, j'en déduis donc qu'il faudra un moment donné utiliser ce qu'on vient de démontrer à la première question ?!
Mais je ne vois pas comment..

Bon week end !
Mirabelle

Bonsoir,

Nous reviendrons donc sur la notion de barycentre plus tard.

Pour la question suivante, utiliser l'énoncer est tout à fait judicieux en effet:

Citation :

Est-ce suffisant ?

Oui est non, il faut que tu écrives bien entendu l'égalité et donc que tu utilise le fait que a*b=b*a pour tout complexe a et b.

Pour le deuxième point, essaie de changer de point de vu . En effet, nous savons mieux multiplier les choses que les diviser. Donc essaie de démontrer que |z|*|1/z|=1 d'après ce qu'on vient de démontrer.

Bon courage!