Annale Amérique du Nord juin 2009

Bonjour !

Une nouvelle annale pour la route, voici l'énoncé du sujet tombé en juin 2009 en Amérique du Nord :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/AmeriqueduNordSjuin2009-1.pdf

Je me penche tout d'abord sur l'exercice 2 sur les fonctions et intégrales, je ferais l'exercice 3 ensuite. ^^

Pour la partie A c'est une restitution organisée de connaissance que nous avons déjà fait ensemble, elle a au moins le mérite d'être claire maintenant
Je passe donc à la suite.

Pour la partie B ensuite, la question 1)a :
f(x) étant strictement décroissante sur l'intervalle étudié, on trouve f(0) > f(x) > f(1) et donc la réponse à la question.

Pour la b) par contre j'ai un petit soucis que je voudrais relever, pour répondre à la question j'applique donc l'intégrale aux trois inégalités grace à la propriété de la linéarité de l'intégrale (c'est une propriété qu'il est important de citer lorsqu'on l'utilise je pense ?)

Je trouve donc :
∫₀¹ 1/e dx < ∫₀¹ f(x)dx < ∫₀¹ 1 dx

Ce qui me donne :

[-e^-1]₀¹ < u₀ < [x]₀¹

Mais pour le calcul de cette première primitive aucun x n'entre en jeu, et je n'ai encore jamais rencontré ce cas
Le calcul de l'inégalité de droite nous fait bien retomber sur nos pieds puisqu'elle nous donne comme réponse 1, mais cette inégalité de gauche me pose vraiment problème.
En plus s'il s'agissait de laisser la primitive telle qu'elle puisqu'on ne peut pas remplacer une inconnue, le résultat sera faux puisque le "moins" devant l'exponentielle nous gêne !

Pourriez-vous m'éclairer ?
Merci beaucoup,
Mirabelle

Bonjour,

En effet, la question de cours est assez récurrente à vrai dire mais jamais tombée en France car sans doute trop classique (on le fait au moins une fois avec les élèves cette question de cours là et le plus souvent en DM pour qu'ils la cherchent réellement) malgré que bon il y a toujours des exercice type mais rarement de question de cours type en France en tout cas.

Pour la question 1)a), il faut tout de même montrer qu'elle est décroissante cette fonction même si c'est assez simple (il y a deux manières de le montrer en fait) mais autant le faire proprement car il s'agit de la première question pour cette nouvelle partie donc la bâcler ne serait pas bien vue.

Remarque: Il faut rarement bâcler les premières questions ou le premier exercice qu'on va rédiger car c'est sur celui-ci que le correcteur se fera une opinion de toi, donc autant ne pas faire les exercices dans l'ordre mais commencer par un exercice qui en mette plein la vue au correcteur pour qu'il soit dans de meilleur condition pour corriger la suite. Toujours se souvenir que le correcteur reste humain et donc partiale quoi qu'en en dise (l'aléatoire n'est pas terrible mais ça peu varier d'un point voire un point et demi sans problème pour deux copie identique mais présenter de façon différente par exemple).

Sinon, la démarche est excellent bien entendu.

Alors tu avais une chance sur deux et manque de chance c'est pas la bonne que tu cites ou plutôt tu ne cites pas la totalité:

Citation :

grace à la propriété de la linéarité de l'intégrale (c'est une propriété qu'il est important de citer lorsqu'on l'utilise je pense ?)

La linéarité ne suffit pas et d'ailleurs tu l'as démontré à la question de cours. En effet, il faut la positivité pour conclure car la linéarité seul ne te donne aucune information des inégalités.
En fait, la propriété qui est utilisée ici est la croissance de l'intégrale (tout comme une fonction est croissante mais je n'entre pas plus dans les détails que la dernière fois ).
Ou sinon, le plus simple c'est de dire tout simplement: "D'après la partie A, on a: ....".

Sinon, pour ton problème, en fait tu sais très bien le résoudre mais tu n'as pas lu ce que tu as écrit. En effet, 1/e est ...... une constant . Et quelle est la primitive d'une constante?

Bon courage pour la suite!

Bonjour !

Merci beaucoup pour votre réponse si rapide.
Oui bien sûr, lorsque j'affirme que la fonction est décroissante c'est que le calcul de la dérivée et des interprétations qui s'en suivent ont été fait. Mais comme il s'agit d'une étape qui doit se faire régulièrement et à chaque annale je n'en ai mis que les conclusions sans détailler les calculs. Je ne pense pas avoir bâclé la question, je voulais juste éviter de trop alourdir le post pour en venir rapidement aux points plus délicats ?
Je pensais bien faire, mais si cela vous gêne je veillerais à ne plus le faire. Veuillez m'en excuser !

La primitive d'une constante "c" est la fonction "cx"
Mmh, c'est donc le calcul de ma primitive qui est fausse ?

La primitive de 1/e serait 1/e * x selon la formule, ce qui donnerai x/e
Et [x/e]₀¹ = 1/e
Ce qui nous donne bien le résultat attendu.

La dérivée de mon ancienne primitive -e^-1 donnerait 0, je ne m'en étais même pas rendue compte

Est-ce la bonne réponse ?
Merci beaucoup !

Oulà, ne t'inquiète pas, je précisais juste qu'il ne fallait pas négliger l'étape car si on s'habitue à ne plus l'écrire (au brouillon au moins car sur le forum à la rigueur pour ma part ça ne me gêne nullement sachant faire les exercices le plus souvent, je ne vais pas être perdu ), on risque le jour J de ne plus les écrire ces petites étapes qui rapportent des points.
Cela m'a permis par la même occasion de parler d'un point intéressant au niveau de la gestion d'une copie dans l'optique d'une correction par un jury ce qui est non négligeable après tout.


C'est tout à fait exacte pour le reste. Il faut avoir fait l'erreur au moins une fois pour s'en souvenir qu'une simple constante ne fait sortir que la longueur de l'intervalle d'intégration en fait (au cas où tu ne l'aurais pas remarqué c'est bien (b-a)*c qui sort comme résultat pour l'intégrale d'une constante sur l'intervalle [a;b] et (b-a) c'est bien la longueur de l'intervalle tout simplement).

Bon courage pour la suite!

ps: à tire d'information, la fonction que tu étudies ici est une fonction très utile en probabilité (c'est pas exactement celle-là mais bon presque) et c'est qu'on qu'on appelle une Gaussienne.

Bonsoir !

Ok, merci beaucoup. ^^

La prochaine question qui me pose problème est la 3)b, lorsqu'il est demandé d'étudier le sens de variation de la suite u_n.

Pour étudier un sens de variation d'une suite on fait généralement la différence u_n+1 - u_n, je pense que cette façon de faire est applicable ici aussi ?

u_n+1 - u_n = ∫₀¹( xⁿ⁺¹ e^{-(x+1)^2} )dx - ∫₀¹ (xⁿ e^{-x^2}) dx

Mais une fois arrivée à cette étape je vois mal comment continuer, la linéarité de l'intégrale permet de "regrouper" les deux intégrales ensemble mais finalement ça ne m'amène pas à grand chose puisque les deux membres sont élevés à des puissances différentes.
Le calcul de ces primitives ne m'amène à rien non plus, bien que je ne vois pas d'autres solutions

Le calcul de la primitive du terme xⁿ⁺¹ par exemple me donne (1/n+2) xⁿ⁺²
Mais les fonctions de ces intégrales sont composées d'une multiplication de deux termes, et je ne reconnais aucune formule dont je pourrais me servir pour les calculer ?

Bonne soirée,
Mirabelle

Bonsoir,

La méthode est excellente, je répondrais bien simplement de persévérer mais bon ça ne serait pas raisonnable alors essayons de répondre la même chose mais de manière plus subtile.

Lorsque tu regroupes tout dans une seule intégrale, ne peux-tu pas faire une factorisation à l'intérieur de celle-ci?

Une question me taraude, d'ailleurs, à quel ensemble appartient x dans notre intégrale? .

Bon courage!