Bonjour,
Je viens de découvrir ce sujet auquel je n'avais pas apporté de réponse. J'en suis vraiment désolé d'ailleurs et me relancer par MP ou re-poster à la suite du sujet pour le remonter aurait pu éviter cela aussi. C'est la première fois que ça m'arrive sauf erreur et j'avoue être assez déconcerté pour le coup d'un oubli pareil.
Je rattrape donc mon retard (vu que tu es toujours en révision pour le bac cela n'est pas trop tard encore
).
Comment retrouver, la limite de x|-->x*e
-x lorsque x tend vers +Inf?
Et bien cela repose sur la limite de X|-->e
X/X lorsque X tend vers +Inf.
Pour cela, il faut se souvenir que e
x≥ x²/2 pour x≥0. Comment le re-démontrer?
On définit la fonction F par F(x)=e
x- x²/2 qui est définie et dérivable sur
R+.
Ainsi, F'(x)=e
x- x
On constate donc que F'(x) est positive sur [0;+Inf[ (si on en est pas convaincu, il suffit de dériver encore une fois puis déduire le signe de F'' qui est positive et on a F'(0)=1>0 donc c'esst bon).
Ainsi, F est croissante F(0)=1. Donc pour tout x≥0, on a: F(x)≥F(0) par croissance de F. Et donc e
x- x²/2≥1 <=> e
x≥1+ x²/2>x²/2 (j'ajoute 1 donc c'est bien supérieur).
Et maintenant, on considère x>0, on a donc: e
x/x ≥ x/2
Puis en passant à la limite pour x tendant vers +Inf dans l'inégalité, on en déduit que e
x/x tend vers +Inf
Conclusion: x|-->x*e
-x=x/e
x=1/[
x/x] tend vers 0 lorsque x tend vers +Inf.
En espérant que cela soit plus clair ainsi.
Bonne continuation!
Sam 1 Mai - 11:25
