Premier exo sur les intégrales

Salut!!!!
Après avoir compris la géométrie des complexes, voilà qu'on embraye déjà sur les intégrales et là, c'est le flou le plus total...
Enfin bref, j'ai ici un exercice qui ne semble pas franchement compliqué mais, qui me pose toutes les peines du monde... J'aurais donc besoin d'explications parce que quand on me parle de primitives et autres, je suis assez Out...

Voici l'énoncé :


Les courbes C_f et C_g données ci-dessous sont les courbes dans un reprère orthonormal (O ; i ; j) des fonctions f et g définies par :



On pose F(x) = x ln x -x, montrer que la fonction F est une primitive de la fonction ln sur ]0 ; + Infini[.
En déduire la valeur de I.

3. Démontrer avec une intégration par parties que J = e - 2I.
4. En déduire la valeur de J.
5. Donner la valeur de l'aire hachurée en cm².


Et voici pour mes résultats :

f(x) = ln(x)
g(x) = [ln(x)]²

1) ici, je cherche les points d'intersection. J'ai fait une figure : les deux courbes semblent se couper en x = 1 et en x = e mais, reste à le prouver :

Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(x) = ln(x) * ln(x)
e^ln(x) = e^ln(x) * e^ln(x)
x = x²

--> Pour x = 1, ça colle mais pour x = e, là, ça le fait déjà moins et je ne vois pas pourquoi...


2) Ici, F(x) = x ln x - x
Déjà, je ne sais pas si c'est x ou x - x qui est dans le ln... Mais bon, j'ai essayé pour les deux cas :

Pour prouver que F(x) est une primitive de la fonction ln(x), je vais la dériver et normalement, je devrais tomber sur ln(x) :

F(x) = x ln x - x
F'(x) = 1 * (1/x) - 1 ---> Je ne sais pas si mon x est ici constante...
F'(x) = (1/x) - x/x = (1 - x) / x

Et même en prenant x - x dans le logarithme népérien ce qui me semble étrange, je ne trouve pas ln(x)....

3) Je dois prouver que J = e - 2i
--> J = [ ln(x) ]² dx
J = S(1 ; e) ln(x) * S(1 ; e) ln(x)
C'est bizarre dans mon cours, on a toujours un + pour les intégrations par parties...

4)5) Là, je suis bloqué...


Voilà...
C'est pas brillant mais, j'ai beau bosser j'ai du mal avec les intégrales donc, j'aurais surtout besoin de méthodes svp!
Merci d'avance!

Bonsoir,

Je ne vais pas refaire toutes la théorie des intégrales car cela prend un sacré bout de temps et il faudrait pas mal de graphique et nous arrivons au limite de l'utilisation d'un forum . Par contre je vais reprendre les grandes lignes ce qui j'espère sera suffisant:

La notion d'intégrale, c'est lié à la notion d'aire sous une courbe. C'est à dire que si on considère une fonction positive (c'est à dire que la courbe de notre fonction est au-dessus de l'axe des abscisse) et bien l'aire qui est comprise entre la courbe et l'axe des abscisses c'est la valeur de notre intégrale en fait.

Alors comment on définit une intégrale?

Et bien, on va tenter d'approcher l'aire sous la courbe par des rectangles et en prenant un découpage de mon intervalle d'intégration de plus ne plus petit et bien je vais être de plus en plus proche de la valeur de l'aire sous la courbe et donc de mon intégrale.

A partir de là, il est plus aiser de parler de primitive pour effectuer les calculs concret d'intégrale mais qu'est-ce qu'une primitive?

Et bien, il y a un fort lien entre une primitive et la notion de dérivée. En effet, si F est la primitive de f sur un intervalle I donné, alors pour tout x dans I, F'(x)=f(x).

On constate donc rapidement que connaître ses dérivée n'est plus une chose banale mais une chose indispensable si on veut pouvoir calculer des intégrales vu que les deux notions sont liées.


Ceci étant dit revenons à ton exercice.

La première question est erronée car tu fait une erreur au niveau des propriété sur l'exponentielle en effet:

e^Ln(x)*e^Ln(x)=e^{(Ln(x)+Ln(x))} ce qui est différent de exp[ Ln(x)]² ].

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Nous verrons les questions suivantes par la suite, car la question 2 est erronées dû à une mauvaise dérivation (on dérive un produit pour le premier terme..) sinon c'est bian x*Ln(x) - x sinon ça n'aurait pas de sens vu que x-x=0.

Bon courage!

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)

C'est tout à fait juste pour le moment, ne t'étonne pas d'arriver à ce que tu avais trouvé avant car ici la méthode est juste alors que ce que tu écrivais avant c'était erronée dû au fait que tu prenais l'exponentielle de ton égalité ce qui n'aboutit pas comme je te l'ai montré dans mon dernier message.

On a donc pour tout réel X, Ln(e^X)=X

Donc?

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
x = x * x = x²

On est d'accord!

Donc on est maintenant amené à résoudre l'équation X=X²

Quels sont les solutions en X? Et ensuite en x=e^X ?

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
x = x * x = x²

Je vois pas...

Tu as écrit:

ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)

Donc X=X*X=X²

D'où X=X²

Nous sommes donc amené à résoudre l'équation X=X², quelles sont les solutions de cette équation?

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
x = x * x = x²

x = Racine(x)

Oulà exprimer x en fonction de x, on va pas pouvoir avancer là .

c'est une équation ce qu'il y a de plus claissque là, cherche pas compliqué:

x=x² <=> x-x²=0 <=> ?

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
x = x * x = x²
x² - x = 0

Delta = b² - 4ac = (-1)² - 4(1 * 0) = 1

x₁ = [-b - Racine(Delta)] / 2 = 1 - 1 / 2 = 0
x₂ = [-b + Racine(Delta)] / 2 = 1+1 / 2 = 2/2 = 1

Nickel!!

Y'avait plus simple:

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Maintenant, on a fait nu changement de variable x=e^X pour résoudre notre équation de départ, il faut donc maintenant donner les solutions x à partir des solutions en X qu'on vient de mettre en évidence et tu va retrouver tes conjectures normalement.

Bon courage!

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
x = x * x = x²
x² - x = 0

x=x² <=> x²-x=0 <=> x*(x-1)=0 <=> x=0 ou x-1=0 <=> x=0 ou x=1

je m'y perds avec les X et les x...

En fait, il faut être cohérent lorsqu'on écrit une équivalence, c'est plus simple à suivre:

Citation :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²

Doncp our passer de la première à la deuxième ligne, on a posé: x=e^X. Donc notre nouvelle équation sera en X et non en x.

Donc lorsqu'on résout celà, on écrit:

ln(x) = [ln(x)]²

On pose x=e^X (et le fait de l'écrire permet de savoir de quoi on parle)

Donc la nouvelle équation est: ln(e^X) = [ln(e^X)]²

Or pour tout réel X, on a: Ln(e^X)=X

Donc notre équation devient: X=X² et cette équation à pour solution X=0 ou X=1 (et il s'agit bien de X ici)

Or on avait posé x=e^X

Donc les solution de l'équation ln(x) = [ln(x)]² sont e⁰ ou e¹ c'est à dire 1 ou e

Est-ce que tu vois les enchaînement entre les lignes et le raisonnement à adopter? Il s'agit d'un changement de variable pour résoudre notre équation de départ mais pour savoir quel changement on a fait, il faut l'écrire explicitement et ainsi, on s'emmêle beaucoup moins les pinceaux entre les nouvelles et les anciennes variables.

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
X = X * X = X²
X² - X = 0

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Donc :

x = e⁰ = 0 ou x = e¹ = e


Prochaine fois, je prends une autre lettre que X pour plus me tromper ^^

Citation :

x = e⁰ = 0

T'es sur de ton coup là?

Sinon pour la question 2), F(x)=x*Ln(x) - x, je te laisse dériver cette fonction donc.

Bon courage!

Oups..


1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
X = X * X = X²
X² - X = 0

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Donc :

x = e⁰ = 1 ou x = e¹ = e



2) F(x)=x*Ln(x) - x --> x*Ln(x) de la forme uv --> u'v + uv'
F'(x) = 1*Ln(x) + x*(1/x) - 1
F'(x) = Ln(x) + x/x - 1
F(x) = Ln(x) + 1 - 1 = Ln(x)

Nickel!!

Qu'est-ce que cela signifie que F'(x)=Ln(x) ?

A partir de la réponse, tu va pouvoir calculer ton intégrale normalement.

F'(x) = ln(x) signifie que f est une primitive de I sur ]0 ; + Infini[

Alors un petit point de volcabulaire avant d'aller plus loin:

I c'est une intégrale
Ln c'est une fonction
F c'est une fonction

Le fait que F'(x)=Ln(x) pour tout x sur ]0;+Infini[ signifie que F est une primite de Ln sur ]0;+Infini[ ou on peut aussi dire que Ln est la dérivée de F sur ]0;+Infini[

Et c'est grâce à cette primitive que tu va pouvoir calculer I qui est l'intégrale de Ln sur un intervalle donné.

Est-ce que tu comprends les nuances?

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
X = X * X = X²
X² - X = 0

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Donc :

x = e⁰ = 1 ou x = e¹ = e



2) F(x)=x*Ln(x) - x --> x*Ln(x) de la forme uv --> u'v + uv'
F'(x) = 1*Ln(x) + x*(1/x) - 1
F'(x) = Ln(x) + x/x - 1
F(x) = Ln(x) + 1 - 1 = Ln(x)

Donc F(x) est bel et bien une primitive de I [Oui, je comprends la nuance].

Je peux maintenant calculer I = S(1 ; e) [ ln(x) ] dx
I = [ F(x) ](1 ; e)
I = [ x ln(x) - x ](1 ; e)
I = (e ln(e) - e) - (1 ln(1) - 1)
I = 0 - (-1) = 1 u.a.

Bonsoir,

Citation :

Donc F(x) est bel et bien une primitive de I [Oui, je comprends la nuance].

J'en suis pas sûr pour le coup . En effet, I est une intégrale sur un segment, il s'agit donc d'un nombre et non d'une fonction (sinon, on la notera I(x) d'ailleurs). Donc F n'est pas la primitive d'un nombre.

F est la primitive de la fonction logarithme népérien (Ln) ici car pour tout x dans ]0;+Infini[ F'(x)=Ln(x)

Ensuite ton calcul de I est tout à fait juste I=1.

Pour la question suivante, il faut faire une intégration par partie de J. Quelle fonction vas-tu intégrer et quelle fonction vas-tu dériver?

Oui, désolé pour la faute avec I.

Je dois faire une intégration par parties avec :


Développer serait ici inutile car, je devrais trouver dans tous els cas un primitive de ln(x) et là, c'est plutôt mal barré.

On a ici une fonction composée du type : [ u(x) ]ⁿ

Donc : u'(x) = n * u(x)^n-1 * u'(x)

Alors l'idée est plutôt judicieuse en effet.

Donc tu poserais u(x)=[Ln(x)]² ce qui donnera u'(x)=2*(1/x)*Ln(x)

Mais pour faire une intégration par partie, il faut aussi définir v'(x) alors quel est le bon candidat?

Indication: il faut lire ceci: J=∫₁^e 1*[Ln(x)]² dx

La question d'après peut se déduire sans avoir fait la question 3) d'ailleurs vu qu'on connaît la valeur de I. C'est une remarque qui en devoir peut t'apporter des points facilement gagné mais des points quand même .

Bon courage pour la suite!

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
X = X * X = X²
X² - X = 0

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Donc :

x = e⁰ = 1 ou x = e¹ = e



2) F(x)=x*Ln(x) - x --> x*Ln(x) de la forme uv --> u'v + uv'
F'(x) = 1*Ln(x) + x*(1/x) - 1
F'(x) = Ln(x) + x/x - 1
F(x) = Ln(x) + 1 - 1 = Ln(x)

Donc F(x) est bel et bien une primitive de I [Oui, je comprends la nuance].

Je peux maintenant calculer I = S(1 ; e) [ ln(x) ] dx
I = [ F(x) ](1 ; e)
I = [ x ln(x) - x ](1 ; e)
I = (e ln(e) - e) - (1 ln(1) - 1)
I = 0 - (-1) = 1 u.a.


3) Je dois faire une intégration par parties avec :


avec u(x) = 1 et v'(x) = 2*(1/x)*Ln(x)
ET : u'(x) = 0 et v(x) = [ ln(x) ]²

J = [ 2*(1/x)*Ln(x) ](1 ; e) + S(1 ; e) [0 * [ ln(x) ]² ]
J = [ 2*(1/x)*Ln(x) ](1 ; e)]
J = ( 2*(1/e)*Ln(e) ) - ( 2*(1)*Ln(1) )
J = 0.735 - 0 = 0.735 u.a.