Intégrales et physique

Bonjour !

J'ai quelques problèmes de compréhension quant à l'utilisation d'intégrales en physique.

Par exemple, lorsqu'on a une équation différentielle on a l'habitude de faire la méthode de "séparation des variables". Mais après une fois qu'on intègre on n'utilise pas les mêmes bornes d'intégration des deux côtés de l'égalité car pas les mêmes variables.

Exemple :
dt = √(l/2g)*dθ/(√(cosθ - cosθm)). En intégrant à gauche de 0 à T/4 avec T la période du pendule, on intègre à droite de θm à 0 : ok c'est parce que à t=0, l'angle fait θm et à T/4, l'angle fait 0 (il y a donc correspondance entre les bornes d'intégration) mais je pensais qu'il fallait quand même, en toute rigueur, intégrer avec les mêmes bornes des deux côtés.
Pareil en cinétique chimique, on utilise tout le temps la méthode de séparation des variables et après on intègre.

Aussi parfois on intègre très bizarrement. Par exemple pour le travail d'une force les bornes d'intégration sont au départ des points M1 et M2 (!!!) qu'on remplace après par des temps t1 et t2.

J'ai donc un problème avec les intégrales symboliques et les bornes d'intégration.

Dernière chose : quand je dit que a = dv/dt, alors comment exprimer v sous forme d'intégrale ? Dois-je écrire v = ∫_{[0 à t]}a(t)dt + v(0) comme j'aurais pu écrire : v = ∫_{[k à t]}a(t)dt + v(k) ??

J'ai un exemple : Une voiture roule à vitesse constante V0 en ligne droite. A t=0, le conducteur aperçoit un obstacle, mais il ne commence à freiner avec une décélération constante a' qu'au bout d'un temps ε.
Donc en considérant un axe (Ox) orienté dans le sens du mvt avec O la position de la voiture à t=0, si on veut l'expression de la vitesse pour t≥ε, on va écrire : pour t≥ε, a_x=-a' et donc si j'intègre j'écris que v_x=-a't + cte et à t=ε v_x=V0 donc v_x=-a'(t-ε)+V0
Mais si j'avais voulu expliciter l'intégration en l'écrivant j'obtiens (ici c'est faux) : v_x = ∫_{[ε à t]}-a'dt soit v_x =-a'(t-ε). En fait j'aurais du rajouter le membre v(ε) quand j'intègre non ? Donc j'aurais dû écrire : ∫_{[ε à t]}a_x = ∫_{[ε à t]}-a'dt et comme a_x=dv_x/dt alors quand j'intègre à gauche je peux écrire qu'une primitive de a_x est v_x donc j'obtiens le résultat souhaité ??

En fait je sais la réponse mais je ne suis pas sûr de moi c'est assez bizarre :-s

Pourrait-tu m'éclairer ?
Merci d'avance.

Bonjour,

Éternel soucis entre les notations physiques et les notation mathématiques. Cela ne m'étonne pas que tu te poses la questions vu que l'année dernière, tu te posais beaucoup de questions liées à la théorie. Alors essayons de comprendre les choses car malgré l'aspect un peu obscur des intégrations dit "à la physicienne", il y a bel et bien une théorie qu'on applique sans la dire et c'est là tout le problème pour les personnes plus théorique que pratique.

En effet, lorsqu'on considère l'égalité suivante: F(t)dt=G(θ)*dθ, il y a en fait deux choses qui sont des non dits ici ou plutôt des approximations pour rester correct.

En effet, dt et dθ ne doivent par avoir beaucoup de sens dans un premier temps. Pourquoi, il n'y a pas de problème de compréhension? Tout simplement, parce qu'il s'agit de notation vue en terminale lors de la mise en place de l'intégration. Le soucis étant pourtant réel car dt et dθ ont un sens précis en mathématiques et c'est ce qu'on appelle des différentielles. Mais nous n'avons pas définie cette notion, on s'en sert tout simplement et disant vaguement qu'il s'agit d'une limite ou d'un infiniment petit en temps pour l'un et en angle pour l'autre. En physique, pour être rigoureux, il faudrait écrire Δt et Δθ dans un premier temps et je pense que ça a dû être fait ainsi pour bien assimiler le fait qu'il s'agissait d'une variation de temps pour l'un et une variation d'angle pour l'autre.

Maintenant, venons-en à ta question. Pourquoi avons-nous le droit d'intégrer en temps à gauche et en angle à droite?

Et bien, on a pas le droit tout simplement et ce n'est pas ce qui est fait c'est là qu'est tout le problème de compréhension !!!!

En fait, on intègre en temps des deux côtés !!!!!

Pourquoi?

Car la position θ de l'objet dépend du temps tout simplement. Donc θ est une fonction du temps. On devrait donc écrire en tout rigueur θ(t) et non θ. Et là où ça achève de perdre les élèves c'est qu'en fait on effectue un changement de variable implicite et qu'on appelle la nouvelle variable θ pour éviter d'alourdir les notation !!!

Ainsi, si je détaille les étapes, on a:

F(t)*dt=G(θ(t))*d(θ(t))

Or d(θ(t))=θ'(t)*dt (la différentielle agit comme une dérivée sur les fonctions à une seule variable come c'est le cas ici)

On a donc: F(t)*dt = G(θ(t))*θ'(t)*dt

On intègre entre 0 et T, l'égalité (si deux fonctions sont égales alors leurs intégrales sont égales), ce qui nous donne:

∫_{0 à T} F(t) dt = ∫_{0 à T} G(θ(t))*θ'(t) dt

On effectue le changement de variable suivant: θ=θ(t) à droite et on a bien, dθ=θ'(t)*dt avec θ qui varie de θ_min à θ_max (le min et le max étant le minimum et le maximum de l'angle sur l'intervalle [0;T] comme un changement de variable classique, rien ne change là). En conséquence de quoi, nous avons:

∫_{0 à T} F(t) dt = ∫_θ[sub]min à θ_max[/sub] G(θ) dθ

Et on retrouve bien, la conclusion faite en physique. Donc ne t'inquiète pas, les physiciens sont bien rigoureux sauf que pour eux, le résultat est plus important que la théorie dans certains domaines. En conséquence, de quoi, dès que la théorie est validée par les mathématiques, ils utilisent directement celle-ci de manière à ne pas alourdir leur écriture car toutes la théorie sous jasent ici, ne remet pas en cause le résultat finale et donc il n'est plus utile pour eux de la mettre en avant lors de leur recherche surtout dans c'est cas là qui ne pose pas de problème théorique justement.

Pour ta dernière question, les deux égalités donne une réponse juste. En effet, tu sais que toutes primitives est définie à une constante près en conséquence de quoi, la constante est déterminée par l'énoncer ou sinon, il y a une infinité de fonctions qui permet de valider les hypothèses tout simplement.

En espérant que cela soit plus clair en tout cas mais pour ma part, j'ai mis longtemps à comprendre le lien entre intégration à la physicienne et intégration théorique mathématiques pour conclure qu'il s'agit en fait de la même chose comme quoi dès fois tout pourrait être plus simple.

Bonne continuation!

Merci pour les explications !