Premier exo sur les intégrales

Bonsoir,

Il y a une erreur au niveau de l'intégration par partie. En effet,

Tu dois intégrer 1*[Ln(x)]²

Tu poses donc u(x)=[Ln(x)]² et par conséquent, il ne reste plus qu'une seule possibilité c'est v'(x)=1

Et on a donc u'(x)=2*(1/x)*Ln(x) et v(x)=x

Est-ce que tu comprends le soucis que tu avais? Tu dérivait tes deux fonctions 1 et [Ln(x)]² ce qui n'était pas cohérent.

Je te laisse reprendre tes calculs.

Bon courage!

1)

Citation :

Pour résoudre ton équation je te conseille de faire le changement de variable x=e^X pour tout X dans R.

Ici, je cherche les points d'intersection.
Au point d'intersection, f(x) = g(x) donc :

ln(x) = [ln(x)]²
ln(e^X) = [ln(e^X)]²
ln(e^X) = ln(e^X) * ln(e^X)
X = X * X = X²
X² - X = 0

X=X² <=> X²-X=0 <=> X*(X-1)=0 <=> X=0 ou X-1=0 <=> X=0 ou X=1

Donc :

x = e⁰ = 1 ou x = e¹ = e



2) F(x)=x*Ln(x) - x --> x*Ln(x) de la forme uv --> u'v + uv'
F'(x) = 1*Ln(x) + x*(1/x) - 1
F'(x) = Ln(x) + x/x - 1
F(x) = Ln(x) + 1 - 1 = Ln(x)

Donc F(x) est bel et bien une primitive de I [Oui, je comprends la nuance].

Je peux maintenant calculer I = S(1 ; e) [ ln(x) ] dx
I = [ F(x) ](1 ; e)
I = [ x ln(x) - x ](1 ; e)
I = (e ln(e) - e) - (1 ln(1) - 1)
I = 0 - (-1) = 1 u.a.


3) Je dois faire une intégration par parties avec :


u(x)=[Ln(x)]² et v'(x) = 1
v(x) = x et u'(x) = 2*(1/x)*Ln(x)

J = [ 1 * [ Ln(x) ]² ]( 1 ; e) - [ x * 2*(1/x)*Ln(x)]

??

Bonsoir,

Citation :

J = [ 1 * [ Ln(x) ]² ]( 1 ; e) - [ x * 2*(1/x)*Ln(x)]

Alors comment marche l'intégration par partie?

On sait que la dérivée d'un produit c'est:

(u*v)' = (u')*v + u*(v')

Et c'est en intégrant cette égalité qu'on obtient l'intégration par partie:

∫_a^b(u*v)' dx = ∫_a^b[ (u')*v + u*(v') ] dx

On utilise la linéarité de l'intégrale c'est à dire que l'intégrale d'une addition c'est l'addition d'une intégrale. On a donc:

∫_a^b(u*v)' dx = ∫_a^b (u')*v dx + ∫_a^b u*(v') dx


De plus, ∫_a^b(u*v)' dx = [(u*v)']_a^b

Conclusion,

[(u*v)']_a^b =∫_a^b (u')*v dx + ∫_a^b u*(v') dx


Donc, ce qui manquait à ton égalité c'est l'intégrale dans ton deuxième membre vu qu'on utilise l'égalité du dessus sous la forme suivante dans notre exercice:

∫_a^b u*(v') dx = [(u*v)']_a^b - ∫_a^b (u')*v dx


Je te laisse reprendre ton calcul.

Bon courage!

Citation :

∫ab u*(v') dx = [(u*v)']ab - ∫ab (u')*v dx

Je prends quel u et quel v?

Bonsoir,

Alors comme tu le disais un peu plus haut, il est assez difficile d'intégrer Ln(x)² sachant que rien que Ln ne s'intègre pas de façon évidente.

Par conséquent, en remarquant que la fonction qu'on intègre peut s'écrire 1*[Ln(x)]² et avec la remarque du dessus, on peut poser:

u'(x)=1 et v(x)=[Ln(x)]²

Ainsi, on a: u(x)=x et v'(x)=2*(1/x)*Ln(x)

Il ne reste plus qu'à écrire la formule d'intégration par partie correctement pour s'en sortir normalement.

Mais le plus compliquer, le plus souvent, est de trouver les bons u(x) et v(x). Et pour t'aider, il n'y a pas de méthode mis à part de faire des teste et de voir ce que tu sais intégrer ou pas vu qu'il va falloir écrire la primitive d'une des deux fonctions.

Est-ce que tu comprends le principe?

Bon courage!

Donc :

u(x) = x
v'(x) = 2/x * ln(x)

u'(x) = [ ln(x) ]²
v(x) = 1


J = [ u(x)v(x) ](1 ; e) - [ u(x)v'(x) ](1 ; e)
J = [ x [ln(x)]² ](1 ; e) - [ 2 * ln(x) ](1 ; e)
J = e[ln(e)]² - 1[ln(1)]² - 2 [ln(x)](1 ; e)
J = e - 2I

non?

Bonsoir,

Désolé du retard entre les réponses, t'es pas habitué je pense mais bon j'ai pris quelque vacances ce qui explique que cette semaine était plutôt très creuse.

Alors en fait, il s'agit d'un soucis d'écriture je pense car tu écris:

Citation :

J = [ u(x)v(x) ](1 ; e) - [ u(x)v'(x) ](1 ; e)
J = [ x [ln(x)]² ](1 ; e) - [ 2 * ln(x) ](1 ; e)
J = e[ln(e)]² - 1[ln(1)]² - 2 [ln(x)](1 ; e)
J = e - 2I

Alors que j'écrirai plus:

J = [ u(x)*v(x) ](1 ; e) - ∫₁^e u(x)*v'(x) dx
J = [ x*[ln(x)]² ](1 ; e) - ∫₁^e 2*ln(x) dx
J = e[ln(e)]² - 1[ln(1)]² - 2*∫₁^e ln(x) dx

Donc J = e - 2I car Ln(e)=1 et Ln(1)=0

Pour la question suivante, il faut donc utiliser les deux questions précédentes vu qu'on a calculé I en 2) et qu'on a exprimé J en fonction de I en 3).

Bon courage!

Pas de problèmes pour le retard je dois avouer que moi aussi j'étais plus trop dedans...

Reprenons :


Je sais que :

J = e - 2I
avec : I = S(1 ; e) (ln x) dx

Donc :

J = e - S(1 ; e) (ln x) dx
J = e - [ ln(x) ](1 ; e)
J = e - [ln(e) - ln(1)]
J = e - (1 - 0)
J = e - 1

Bonjour,

Attetion de ne pas refaire ce qui a été fait dans les questions précédentes car cela est une pertes de temps et ne donnera pas plus de point à la fin.

En effet, on a déjà calculer I dans la question précédente .

Sinon, le résultat est juste en effet.

Bon courage pour la suite!

On a fini il me semble non?

Il reste l'aire hachurée mais vu que je ne peux pas visualiser l'aire en question, nous avons en effet fini cette exercice.

Mais, je pense que l'aire en question à un rapport avec l'intégrale J vu comment est construit l'exercice.

Bon courage!

Ok .
En tout cas, merci pour ton aide et les explications comme d'habitude!