DM Annale Polynésie juin 2008

Bonjour !

Après l'activité "introduisant" ce chapitre sur les intégrations, j'ai une petite annale en plus à faire en DM pendant ces vacances.

Il s'agit de l'exercice 4 de l'épreuve tombée en Polynésie en juin 2008 :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/PolynesieSjuin2008.pdf

La restitution de connaissances me pose quelques problèmes, nous n'avons pas encore vu la propriété à démontrer en cours (et c'est peut être pour ça que mon prof nous l'a donné à faire d'ailleurs..) et je n'arrive pas à voir en quoi les données connus de l'énoncé peuvent nous aider à démontrer la relation en question ?!

Ca me paraît logique comme théorème, sur le même intervalle si une fonction est plus petite qu'une autre, l'aire entre sa courbe et l'axe des abscisses sera forcément plus petit lui aussi.
Mais cela doit se démontrer mathématiquement je pense ?


Ensuite, pour la première question de la partie B, je trouve comme dérivée :
f'(x) = 1 + ( (-e^-x) / 1 + e^-x )

Mais j'ai quelques problèmes pour simplifier cette expression..
Je trouve toujours f'(x) = 1/e^x à la fin mais il me semble que c'est faux

Je vous fait vraiment pas mal de boulot pendant ces deux semaines de vacances, j'éspère que cela ne vous ennuie pas !
Je vous remercie pour votre aide,
Mirabelle

Bonjour,

Il est vrai que pour le coup, ton professeur a été très inspiré. En effet, il vous a fait démontrer la notion d'aire sous une courbe pour vous faire définir la notion d'intégration lorsqu'une fonction est positive. En effet, pour parler de la notion d'aire sous la courbe, il faut que notre fonction soit positive sur tous l'intervalle qu'on considère. sinon, cela n'a pas de sens en soi.

Et cet exercice de Bac n'utilise comme acquis (qu'il rappelle d'ailleurs) que la notion d'aire sous la courbe! En effet, il définition la notion d'intégrale (cette fois-ci avec la notation adapté et non plus la limite comme dans ton précédent exercice) pour une fonction positive sur un intervalle [a;b].

Le but de l'exercice et de re-démontrer la notion de conservation de l'ordre pour l'intégrale. Mais avant cela l'énoncer te rappelle donc deux propriété très forte de l'intégrale qui sont:

- La positivité de l'intégrale c'est à dire que si une fonction est positive sur un intervalle alors l'intégrale sur cette intervalle est aussi positive.

- La linéarité de l'intégrale c'est à dire que l'intégrale de l'addition de deux fonction c'est égale à l'addition des deux intégrales et que l'intégrale d'une fonction multiplié par un scalaire est égale à la multiplication du scalaire par l'intégrale de la fonction.

Maintenant à partir de là, les règle du jeu sont simples:

- On a le droit d'utiliser que ces deux propriétés dans la partie A.

Et on doit donc montrer la croissance de l'intégrale "en quelque sorte" (en fait c'est exactement cela mais vous n'avez pas le recule pour le voir en fait car l'intégrale est en fait une fonction en elle même qui prend pour ensemble de épart l'ensemble des fonction et qui arrive dans l'ensemble des réels et cette fonction intégrale est croissante car si deux fonction sont rangées dans un ordre et bien leur image par l'intégrale sont rangées dans le même ordre. Simple digression pour donner un peu de sens à ce qu'on regarde vu que tu connais la notion de croissance d'une fonction).

Maintenant pour démontrer cette implication (il n'y a pas d'équivalence à montrer!), on suppose donc que:

- Pour tout x dans [a;b], on a F(x)≤G(x)

Et nous ne connaissons sur les inégalités que la propriété de positivité de l'intégrale alors comme s'y ramener?

Est-ce que la démarche te semble plus claire?

Nous verrons la suite un peu plus tard.

Bon courage!

Bonjour !

Merci pour vos explications.
Je dirais.. que comme ces intégrales sont définies sur l'intervalle [a;b], elles sont toutes les deux positives.
Et d'après la propriété de linéarité des intégrales, comme a<b et f(x)<g(x) sur l'intervalle donné, l'intégrale de a à b de f(x) < à l'intégrale de a à b et g(x).

Mais j'ai la mauvaise impression que je n'ai fait que répéter les propriétés que vous avez énoncez, et donc que je n'ai finalement rien démontré..


Mirabelle

bonsoir,

Ta mauvaise intuition n'est autre que ton intuition propre qui te dit que tu as en effet rien démontrer. Mais en avoir conscience c'est déjà très intéressant en soi (ça montre qu'on n'est pas capable d'écrire quelque chose de faux sans en avoir conscience).

Le soucis dans ton analyse des hypothèses?

Citation :

comme ces intégrales sont définies sur l'intervalle [a;b], elles sont toutes les deux positives.

L'intégrale est positive si la fonction est positive d'après la propriété que nous avons, non? Or ici d'après les hypothèses nous ne savons rien sur le signe de G(x) et encore moins celui de F(x) pour x dans [a;b]. Donc nous ne pouvons pas appliquer la propriété de façon brute.

Une idée? Qu'avons-nous comme hypothèses?

Bon courage!

Bonsoir !

Oui effectivement nous ne savons absolument rien de leur signe..
Mais alors à quoi nous servent ces théorèmes donnés ?
Que les fonctions soient positives ou négatives, ce que nous cherchons à démontrer est bien applicable, non ?

Comme hypothèses, nous avons un intervalle [a;b] avec a<b, où deux fonctions continues f et g sont définies, avec f(x)<g(x).

D'après le premier théorème qu'on nous donne sur la positivité de l'intégrale lorsque la fonction positive, peut-on en déduire l'inverse ?
C'est à dire que lorsqu'une fonction est négative sur un intervalle, son intégrale est négative ?

Si oui, on pourrait supposer une fonction f(x) négative et une fonction g(x) positive sur un même intervalle [a;b], nous confirmons donc l'hypothèse f(x)<g(x) sur l'intervalle et nous pouvons en déduire que l'intégrale de la fonction négative est forcément inferieure à celle de la fonction positive, à cause de leurs signes.

Mais je doute que cela soit faisable, et même si cela l'était, il faudrait certainement encore le démontrer dans le cas de deux fonctions positives, ou de deux fonctions négatives..

Bonne soirée,
Mirabelle

L'idée est la disjonction de cas est intéressante en effet. Mais hélas cela ne nous donnera rien sur une inégalité entière c'est à dire avec deux membres vu que la seule propriété que nous ayons c'est simplement lorsqu'une fonction est comparée à 0.

Sinon, la propriété que tu évoques se démontre. Voici l'idée:

Soit u une fonction négative sur [a;b] (a<b), donc -u est positive sur [a;b], et par la propriété de positivité de la fonction:

∫_a^b -u(x)dx > 0

Et par propriété de linéarité, ∫_a^b -u(x)dx= -∫_a^b u(x)dx

Conséquence, -∫_a^b u(x)dx>0

Conclusion: si u<0 alors ∫_a^b u(x)dx <0


Voilà une démonstration de ton intuition. Peut-être que la démarche t'aidera à débloquer ce qu'on te demande.

Bon courage!

Oui je comprends la démarche.

On cherche à comparer deux fonctions, puis leurs intégrales.. en général dans ces cas là on cherche à faire une soustraction ?

On sait que f(x)<g(x)
Donc la fonction k(x) = g - f est une fonction continue et.. positive ?

Mais positive a condition que g(x) soit positive également..


Ca doit être quelque chose comme ça ?

Attention à la manipulation des objet:

Citation :

k(x) = g - f

k(x) est un nombre alors que g-f est une fontion.

Donc tu poses la fonxtion k=g-f tel que pour tout x dans [a;b], k(x)=g(x)-f(x).

Que savons-nous de cette fonction d'après l'hypothèse que nous avons?

Bon courage!

f(x)<g(x)
Par conséquent k(x) = g(x) - f(x) est continue et positive.

Bon niveau vocabulaire toujours attention tout de même.

k est continue et positive en tant que fonction mais k(x) est juste positif.

Sinon, c'est bon, k est donc continue et positive sur [a;b]. Maintenant déroule le tapis rouge, que savons-nous des fonctions continues et positives sur un intervalle donné d'après les hypothèses?

Bon courage!

Oh oui pardon, je vais faire attention.

Soit la fonction k:x--> g(x) - f(x) sur un intervalle [a;b] tel que a<b

Comme f(x)<g(x) sur [a;b], k(x) est donc positif sur ce même intervalle.

D'après le théorème (on peut appeler ça un théorème ?!) de la positivité des intégrales, comme k>0 sur [a;b] alors ∫_a^b k(x)dx > 0

Dans un second temps, comme

∫_a^b k(x)dx <=> ∫_a^b (g(x)-f(x))dx

Alors d'après le théorème de la linéarité des intégrales :

∫_a^b (g(x)-f(x))dx > 0
<=> ∫_a^b g(x)dx - ∫_a^b f(x)dx > 0
<=> ∫_a^b g(x)dx > ∫_a^b f(x)dx

J'éspère ne pas avoir fait de grosse erreur ?!

Excellent !!!!!!!

C'est en fait une propriété sur l'objet intégrale (qui est en fait une fonction d'ailleurs mais passons). Mais tu peux appeler cela un théorème, en Terminale, on ne fait pas de grande différence au niveau du vocabulaire: lemme/théorème/propriété mais on fait juste une différence entre axiome (posé comme vrai et non démontrable), théorème (repose sur des axiomes en gros) et les exemples/applications (utilisent les théorèmes).

Bon courage pour la suite!

Bonsoir !

Merci. ^^
Alors n'ayant pas eu le temps hier soir j'ai repris cette annale cette après midi, et cette fois il me semble que la dérivée qui me posait problème est passée sans aucun soucis
Je devais pas avoir les yeux en face des trous le jour où je l'avais commencé, mais du coup je pense que c'est ok maintenant

Pour la partie B :

Question 1)
f'(x) = 1 + ( (-e^-x) / (1+ e^-x) ) = 1 / (1+e^-x) > 0 pour tout x donc f(x) strictement croissante sur [0;+oo]
De plus f(0) = environ 0,69 donc la fonction f est strictement positive sur [0;+oo].

Question 2)a)
f(x)-x = ln (1+e^-x)

lim x->+oo (1+e^-x) = 1
lim x->1 (ln x) = 0

Donc lim x->+oo (f(x)-x) = 0
Donc D est bien asymptote à la courbe C au voisinage de +oo.

b) Pour étudier la position relative de C par rapport à D, on étudie le signe de la fonction qui à x associe f(x)-x
ln (1+e^-x) > 0
<=> e ^ln(1+e(-x)) > e⁰
<=> 1+e^-x > 1
<=> e^-x > 0

la fonction exponentielle étant positive pour tout x, la fonction qui à x associe f(x)-x est donc strictement positive pour tout x.
Donc la courbe C est au-dessus de D

Question 3)
a) Interprétation géométrique : I correspond à l'aire situé entre l'axe des abscisses et la courbe de la fonction qui à x associe f(x)-x sur l'intervalle [0;1]

b) g'(t) = 1 / (1+t) - 1 = (-t)/(1+t)

(-t)/(1+t) < 0
<=> -t < 0
<=> t>0

Donc g est strictement décroissante sur [0;+oo] et g(0) = 0, donc g est négative sur ce même intervalle.

c) En remplaçant t par e^-x on obtient la partie gauche de l'inégalité, et la question précédente permet d'obtenir la partie de droite.
Aucun calcul à faire ici ?

d) Cette question n'est pas à traiter pour le moment, mon prof nous a donné des résultats que l'on doit considérer comme admis pour le moment, comme nous n'avons pas encore suffisamment avancé dans le chapitre je suppose..
Je passe donc à la suivante. ^^

e) Hum, j'aurais une simple question.. un encadrement "d'amplitude 4", késako ?

J'éspère que jusque là tout est correct,
Merci beaucoup et bonne soirée !
Mirabelle

Bonsoir,

La dérivée est tout à fait juste. Par contre je ne comprend pas cette phrase:

Citation :

De plus f(0) = environ 0,69 donc la fonction f est strictement positive sur [0;+oo].

On a F(x)=x+Ln(1+e^-x) sauf erreur. Donc F(0) = ?

La question 1) est nickel dans sa globalité. Tu avais un raccourci pour la position relative, on remarquant directement que e^-x>0 donc ce qu'il y a dans le logarithme était strictement supérieur à 1 et le tour est joué. Mais la démonstration ici se tient tout à fait.

Pour l'interprétation géométrique tu manques de précision:

Citation :

I correspond à l'aire situé entre l'axe des abscisses et la courbe de la fonction qui à x associe f(x)-x sur l'intervalle [0;1]

Tu donnes explicitement les bornes inférieures et supérieurs de la courbes mais tu ne dis qu'implicitement les bornes latérales ce qui est dommage. Tu pourrais dire explicitement que c'est la portion du plan comprise entre la courbe représentant la fonction Ln(1+e^-x), l'axe des abscisses, la droite d'équation x=1 et l'axe des ordonnées.

Pour la question suivante, vu qu'il s'agit d'une indication, toujours rappeler la fonction explicitement (comme si c'était toi qui la mettait en place car il en s'agit pas d'une fonction de l'exercice). Et conclure surtout pour la question en cours car dire que G(t) est négatif pour tout t ne répond pas à la question posée. Attention donc au manque de rigueur.
D'ailleurs, d'une manière générale si l'indication n'est pas donnée, toujours penser à ramener une inégalité du type positive ou négative car ainsi nous passons en étude de fonction. La démarche est classique au bout d'un moment.


Pour la suite:

Citation :

c) En remplaçant t par e^-x on obtient la partie gauche de l'inégalité, et la question précédente permet d'obtenir la partie de droite.
Aucun calcul à faire ici ?

Ok pour l'idée maintenant la question de maths qui devrait sauter aux yeux:

Pourquoi as-tu le droit de remplacer t par e^-x pour tout x dans R ????? Sans l'argument, tu ne fais que réécrire la question et donc tu ne démontre rien et tu t'en es à moitié aperçue d'ailleurs .


Roooo ton prof a manqué d'ambition pour la question d). Mais bon il connaît mieux ta classe que moi pour savoir ce qu'il peut mettre ou pas. Mais bon, toi tu dois être capable de la faire cette question d).

En effet, tu as fait une partie A pour le fun? Bizarre comme exercice en deux partie où la première ne servirai aucunement à la deuxième, tu ne trouves pas? Et vu la tête de la dernière question, la partie A ne peux servir que pour la question d). Je te laisse donc conclure pour cette question.

Enfin, pour la e). Tu as déjà entendu parler d'amplitude, je pense. Et j'en suis même sûr... c'est en physique que ce mot apparaît lorsqu'on aborde les ondes normalement. Est-ce que tu vois le rapport avec un intervalle fini c'est à dire du type [a;b] avec a et b différents de l'infini?

Bon courage!

Bonjour !

Merci pour votre réponse.
Oh oui , je me suis permise dans certains calculs de ne pas mettre ici toutes les étapes, pour simplifier mon message. Mais dans ma copie bien sûr, je ferais en sorte de rédiger une réponse plus complète.
Pour la question 3)b) j'ai zappé la phrase de conclusion effectivement, j'aurais du l'écrire ici.

Comme la fonction g est décroissante, ln (1+t) - t < 0
<=> ln (1+t) < t
Donc pour tout réel t >(ou égal) 0, on a ln (1+t) <(ou égal) t.

Pour la question 1 :
On a F(x)=x+Ln(1+e-x) Donc F(0) = 0 + ln (1+e⁰) = ln 2 > 0
ln 2 est bien environ égal à 0,69, non ?

Ok pour l'interprétation géométrique, je veillerais à être plus précise.

Ensuite pour la question 3)c) c'est une étape que je zappe assez souvent en effet Merci de l'avoir souligné, il faut que j'y fasse plus attention..

Il faut donc préciser qu'on peut remplacer t par e^-x pour tout x dans R car e^-x > 0 pour tout x, cela ne changera donc pas le sens des inégalités.

Pour la question d) la première partie nous permet de conserver les inégalités, mais comment faire pour calculer ces intégrales et aboutir aux résultats ?
Il faut passer par le calcul des limites des suites adjacentes qu'on a vu au premier exercice du DM ?

Pour le problème de l'amplitude, il me semble que l'amplitude d'une onde correspond à la "trajectoire" de sa perturbation.. Une amplitude de 0,4 correspondrait donc à son ordonnée y=0,4 (en considérant que l'onde se propage sur une corde par exemple) au moment de la perturbation en un point.
Si on ramène ça aux maths, l'amplitude pourrait être un maxima atteint dans un intervalle réduit ?
Ca me paraît un peu bizarre tout de même.

Bonne journée !
Mirabelle

Bonjour,

La valeur exacte de Ln(2) suffit vu qu'on sait que Ln est croissante (stricte même) sur ]0;+Inf

Citation :

e Ln(1)=0. Donc tu as le droit de dire directement que Ln(2)>0.

Sinon, c'est G négative qui permet la conclusion . La décroissance permet de déduire justement qu'elle est négative mais tu avait compris les choses.

Ensuite,
[quote]cela ne changera donc pas le sens des inégalités

Ce n'est pas pour cela qu'il faut préciser. C'est surtout qu'il faut montrer que nous sommes bien dans les bonnes hypothèses pour appliquer ce qu'on vient de démontrer. Et on a démontrer l'inégalité pour t>0 donc ne pas dire que e^-x>0 pour tout réel x revient à ne pas montrer que nous sommes dans les conditions d'application de notre inégalité. Si l'inégalité avait été prouvée pour tout t<0, nous n'aurions pas pu l'appliquer pour notre élément et ceci même en changeant le sens de l'inégalité. Donc attention, ici, il s'agit de se mettre dans les conditions d'application d'un théorème ou d'une démonstration c'est à dire qu'on doit montrer explicitement que les hypothèses sont vérifiées.

Pour le calculs en effet cela pose problème mais tu as au moins l'encadrement de I de trouvé. Après pour le calcul c'est en effet actuellement par le découpage en rectangle que tu vas pouvoir le retrouver. Mais bon passons, je voulais juste mettre en évidence que la partie A était utile dans cette partie B et qu'on pouvait donc avoir l'encadrement de I même si on ne peut pas encore calculer à la main les deux intégrales.

Alors pour une onde, tu as écrit toute l'idée sauf l'hypothèse. Du coup, tu ne peux pas comprendre en effet. Alors quelle hypothèse manque-t-il? Il manque en fait l'hypothèse que la corde au repos est d'équation y=0 c'est à dire que l'amplitude est bel et bien le point maximum de la perturbation car le minimum est à 0 !!

En fait, si tu avais une onde qui se propage dans un fluide cette fois-ci tel que l'eau. On considère la surface de l'eau comme l'axe des abscisses et il est aisé de constater lors d'une expérience que la perturbation se propage aussi bien au-dessous du niveau de l'eau qu'au-dessus de celui-ci. L'amplitude du coup de cette onde, sera la différence entre le maximum et le minimum de la perturbation.

Tu comprends je pense du coup, l'équivalent en mathématique. L'amplitude de l'intervalle [a;b] avec a<b est b-a.

Est-ce que c'est plus clair?

Bon courage!

Bonsoir,

Juste une remarque en passant sur cette exercice. Le sujet de Pondichéry de 2010 offre pour premier exercice partie A exactement la même question de cours qui est présent dans le sujet de Polynésie proposé dans ce sujet. Comme quoi, il faut mieux connaître cette démarche .

Bonne continuation!

Bonjour !

Je fais bien de tomber sur cette question alors. ^^
Si je comprends bien, "un encadrement de I d'amplitude 0,4 par deux nombres décimaux" revient à encadrer I par deux nombres dont leur différence fait 0,4.

Avec l'encadrement qui est demandé aux questions précédents, on trouve :
environ 0,379 < I < 0,63

Il n'y a donc qu'un encadrement possible, puisqu'on sait que I est supérieur ou égal à 0,379, il sera donc supérieur à 0,3, par contre on sait qu'il est inférieur à 0,63 (environ) mais on ne peut pas en déduire qu'il est inferieur à 0,6.

0,3 < I < 0,7

Cet encadrement là : 0,2 < I < 0,6 ne serait donc pas bon à mon avis?

La dernière question de cette annale n'était pas à faire pour le DM, nous l'avons vu en classe et je pense l'avoir bien comprise. ^^
Je vous remercie,
Bon week end !
Mirabelle

Bonsoir,

La réponse est bien entre 0.3 et 0.7. Et non entre 0.2 et 0.6. Pourquoi?

Car la partie de droite est légèrement supérieur à 0.6 et donc rien n'empèche l'intégrale d'être de même supérieur à 0.6 tout simplement. Il faut donc prendre au plus large pour pouvoir conclure.

Bonne continuation!