Annale Complexe asie 2005

Bonjour !

Je voudrais venir à bout d'un sujet de bac tombée en Asie en 2005, sur l'exercice concernant les nombres complexes.

L'annale est disponible ici :
http://www.apmep.asso.fr/IMG/pdf/AsieSjuin2005.pdf

Il s'agit de l'exercice 3 non spécialiste.
J'ai pu faire les premières questions sans trop de difficulté, notamment la partie A.
J'en suis à la question 3 de la partie B :

Citation :

Démontrer que les points B, A, S, C appartiennent à un même cercle C dont on déterminera le centre et le rayon. Tracer C.

(Sachant que l'abscisse du point S est 1+2i, réponse trouvée à la question précédente)

Alors pour cette question, je suppose qu'on peut raisonner en essayant de trouver un point qui se trouve à égale distance de ceux à qui on s'interesse, ici les points B, A, S et C. Ce point semble être le point oméga, mais raisonner comme ça ne me semble pas très "rigoureux"..

Y a-t-il une autre manière de faire ? Plus "générale" peut être ?

De cette manière je trouve donc que le cercle C possède un rayon de racine de 20, ou encore de 2racine de 5.
Ce résultat semble cohérent avec le reste de l'annale, ce nombre revient par la suite.

J'attends votre réponse pour pouvoir finir les dernières questions de cet exercice, je vous remercie d'avance.
Mirabelle

Re-bonsoir,

Ce sujet à l'air intéressant car il fait travailler aussi bien l'aspect analytique que l'aspect géométrique des nombres complexes.

En fait, il faut regarder la démarche de l'exercice ou plutôt de la partie II) ici. En effet à la première question, c'est un placement de point dans un repère pour mieux visualiser les choses et ainsi vous obliger à avoir un dessin fait et complété au fur et à mesure de l'exercice. On teste aussi par la même occasion votre capacité à savoir utiliser le plan complexe d'ailleurs.

La question suivante est encore un tracer pour la première partie où on nous demande de placer l'image d'un point par une rotation dont on donne le centre et l'angle. Il s'agit de l'image de point A (qu'on avait déjà) et on l'appelle S cette image. Le centre de la rotation s'appelle Ω. Puis on demande de calculer l'affixe du point image. Ici, on teste votre capacité à connaître la forme de l'écriture d'une rotation et encore on a moyen de biaisé l'écriture analytique en raisonnant directeur sur les invariant d'une rotation. En effet, la distance à Ω est conservée et l'angle est droite donc facilement calculable comme affixe à partir de Ω et il ne restera plus qu'à opérer une translation par exemple pour remettre Ω en O et l'affixe sera juste par exemple (bon c'est un raisonnement purement géométrique et pas très agréable mais si on a un trou pour la formule c'est faisable).

La question 3) vient directement après la question 2) qui propose S comme image de A par une rotation de centre Ω. Donc on sait déjà que ΩA=ΩS. Il est donc très très probable que le centre du cercle soit bel et bien Ω, il ne reste plus qu'à calculer les distance ΩB et ΩC tout simplement. Mais l'intuition ici est fortement amené par l'énoncer lui-même. On allait pas te demander de considérer un point Ω' qu'on cherche et de calculer toutes les distances avec des inconnues un peu partout (il ne faut pas déconner tout de même, c'est le bac et non le bagne ). Donc l'intuitif ici prévot dès qu'on a la question 2) vu qu'on c'est déjà que A et S sont sur un cercle de centre Ω et de rayon ΩA par exemple (les deux abscisses sont donné par l'énoncer autant utiliser ces deux points là).

Est-ce que tu comprends qu'en fait, il ne pouvait pas y avoir d'autre centre possible d'après la structure même de l'énoncer?

Bon courage!

Merci beaucoup pour votre réponse, oui je trouve l'énoncé cette fois assez intuitif effectivement.
Je pensais peut être qu'il y avait plusieurs manières de faire, par exemple de vérifier que des points sont sur un cercle d'après l'équation de ce cercle ? Mais comparer les longueurs est certainement plus rapide à faire ici..

Pouvez vous me dire si mes réponses seraient convenables ?

Citation :

S étant l'image de A par la rotation de centre Ω, ΩA=ΩS
Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses, l'axe Ox est donc la médiatrice des points A et B. Ω se trouvant sur cet axe, ΩA=ΩB

De la même façon C et B sont symétriques par rapport à la droite d'équation x=2 qui est donc la médiatrice de ces points, or Ω se trouvant sur cette droite, ΩC=ΩB

Donc ΩA=ΩS=ΩC=ΩB, donc les points B, A, S et C appartiennent à un même cercle C de centre Ω(2).

⎢ΩA⎢= ⎢4+i - 2⎢=⎢2+i⎢= racine de (2²) + (1²) = racine de 5

Donc C est le cercle de centre Ω(2) et de rayon racine de 5.

J'ai un doute pour la partie en italique, prouver cette médiatrice comme je l'ai fait suffit-il ou bien est-ce que cela demande un calcul ?

Pour la question 4b) ensuite, dans le même genre, j'ai trouvé
A'(4-i)
B'(4+3i)
C'(-4+3i)

Pour démontrer leur appartenance au même cercle de centre P(i) j'ai calculé les longueurs PA', PB', PC' et comme elles sont toutes égales à racine de 20, ou encore à 2racine de 5 j'en déduis que ces points sont sur le même cercle de rayon égal à ces longueurs calculées.

Ces démarches m'étonnent quand même dans un exercice sur les complexes, d'habitude les choses me semblent beaucoup plus tordues ?! alors que là il ne faut pas chercher très loin, ou bien c'est certainement moi qui me complique la vie..

Pour le reste de l'exercice, ensuite.. (j'enchaîne en esperant que ce qui précède soit correct)

Pour la question 4d), Je trouve ⎢z' - i⎢ = 10 / ⎢z-2⎢
En remplaçant z' par la formule donnée à la question 4.

Pour la question suivante par contre, qui découle de celle là je suppose, je bloque..
Si M(z) appartient au cercle C <=> ΩM = racine de 5

Mais je ne vois pas par quoi remplacer le complexe z, on sait uniquement qu'il appartient au cercle C mais ça ne suffit pas pour pouvoir en faire quelque chose ?!

Je sens que la réponse n'est pas loin et qu'elle me paraîtra évidente quand je l'aurais mais là... Je sèche !

Bonne journée,
Mirabelle

Le fait que la droite de symétrie soit la médiatrice de deux points symétriques par rapport à cette droite est en fait une propriété découlant de la définition d'une symétrie axiale. Tu peux donc l'utiliser directement sans trop de soucis pour ma part. Après tout dépend d'où arrive la question mais là il s'agit de la partie II) donc t'es déjà bien dans l'exercice. Je pense donc qu'on peut considérer cela comme un acquis, il faut par contre l'écrire explicitement pour montrer que tu sais ce que tu utilises.

La question est ainsi très bien rédigée à mon sens.

L'aspect géométrique des complexes est en fait extrêmement simple à partir du moment où on connaît bien le passage entre l'analytique (les coordonnées) et les considération géométrique (longueur, angle). Lorsqu'on parle de cercle la toute première définition qu'on t'a donnée esst celle-ci:

C est un cercle si l'ensemble des point de C sont à égale distance d'un unique point appelé centre.

A partir de là, tu as le droit et même le devoir d'utiliser cette définition lorsque cela est possible après tout. Pourquoi repasser par la caractérisation analytique de cette ensemble alors que la considération géométrique suffit? Aucun intérêt ni mathématiques ni gain de temps d'ailleurs mis à part la beauté des calcul bien entendu.

Tu n'as pas fini la question 4)d) par contre. En effet, on te demande de calculer explicitement la longueur |z'-i| sachant que z est sur le cercle C. Il faut donc terminer ton calcul pour retrouver le résultat demandé (qui est tout de même le but de la question ). Je pense que ton soucis vient d'un manque de pratique géométrique via les complexes. Ton calcul est juste pourquoi, on a bien: |z'-i|=10/|z-2|

Et tu fais la remarque que M appartient à C c'est équivalent à ΩM=Racine(5)

Mais ta caractérisation est trop géométrique pour le coup. En effet, comment rendre utilisable ΩM=Racine(5) sachant qu'on connaît les affixes de M et de Ω?

Bon courage!

Bonjour !

Ooh oui je vois !
Il faut donc utiliser l'égalité |z-2| et la traduire géométriquement ?
Il s'agit de la longueur ΩM, qui est égale à 2racine de 5.

Mais où se termine la question d) alors ?
Car du coup on empiète sur la question suivante, et en passant à l'interprétation géométrique nous n'avons plus d'égalité "en fonction de z" comme il est demandé dans la question.

10/ racine de 5 = 2racine de 5, nous avons donc la réponse à la question suivante.

Et pour la question e), |z'-i| = PM'
M' est l'ensemble des points associés à M appartenant au cercle C, ils se trouvent tous à égale distance du point P donc ils forment un cercle de centre P et de rayon 2racine de 5.
Les points A' B' et C' calculés lors de questions précédents font parti de ce cercle également.


Mirabelle

Petit quiproquo sur l'indexation des questions.

La c) demande d'exprimer en fonctino de z ce que tu as fait donc . Et la d) demande d'expliciter le terme de droite 10/|z-2|.

Et on abouti bien à la réponse en remarquant en effet que |z-2|=ΩM et que lorsque M appartient au cercle C cette distance en connu d'après les questions précédente en effet.

La conclusion est nickel!! En effet, nous avons une caractérisation géométrique qui point M' vu qu'ils sont tous à égale distance d'un même point qu'on appellera donc centre et c'est bien nu cercle dont il nous reste à calculer le rayon pour conclure (mais en fait on l'a à la question d'avant ce qui conclut totalement).

C'est un exercice très linéaire et la seule difficulté je dirai c'est d'avoir compris ce que représentait le module d'un complexe et de connaître la caractérisation basique d'un cercle en fait. Le reste n'étant que du calcul en quelque sorte.

Bon courage!