Inéquation

Bonsoir

J'aimerai avoir une aide pour résoudre une inéquation par factorisation et étude de signe...

L'équation est : (x-3)(2x+7)≤x²-9

Je commence par faire :


(x-3)(2x+7)≤x²-3²

(x-3)(2x+7)≤(x-3)(x+3)

ensuite on divise par x-3

2x+7≤x+3

après on fait une étude de signe n'est-ce pas ?

Ou Bien on continue l'inéquation de cette sorte :

2x+7≤x+3
x+7≤3
x≤-4

Voila j'hésite entre ces deux manières de répondre...

Merci a celui qui m'aidera.

Bonsoir,

Cela commençait très bien mais ça s'est arrêté net dans la démarche à partir de cette phrase:

Citation :

ensuite on divise par x-3

En effet, tu n'es pas sans savoir qu'on n'a pas le droit de diviser par 0. Il faut donc préciser pour quelles valeurs, tu as eu le droit de faire la simplification. De plus, tu sais aussi que lorsqu'on divise ou multiplie une inégalité par un facteur non nul, le sens de l'inégalité dépend du signe du facteur en question. Il faudrait donc faire deux cas séparés pour réellement diviser par ce que tu écris en plus d'enlever la valeur d'annulation du terme x-3.

Donc, on ne procède pas ainsi. En effet, que faisons-nous systématiquement? Et bien on se ramène à ce qu'on sait faire et que savons-nous faire exactement? Nous savons juste trouver le signe d'un produit (vulgairement: "-*-=+", "+*-=-" et "+*+=+"). En conséquence, dans tous les cas, il faut se ramener à une recherche de signe d'un produit.

Et donc, il faut se ramener à une comparaison à 0. Car il est en effet plus simple via un tableau de signe de trouver le signe d'un produit de facteur et trouver le signe cela revient à faire une comparaison seulement par rapport à 0.

Il faut donc commencer par mettre tous les termes d'un seul côté et factoriser au maximum. Ne jamais diviser par un facteur contenant la variable car on ne sait pas son signe le plus souvent. Il faut donc factoriser au maximum pour se ramenerà l'étude du signe tout simplement pas un tableau de signe.

Est-ce que la démarche te semble plus claire ainsi?

Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions surtout!

Désolé mais je n'ai pas compris...Devrait-je faire deux cas pour lorsque x-3 est positif et ou x-3 est négatif ?

Ou bien devrait-je mettre tous les termes d'un coté, comme cela :

(x-3)(2x+7)≤(x-3)(x+3)

(x-3)(2x+7)/(x-3)(x+3)≤0


Voila pourrait-tu m'expliquer ?

Merci

Alors, il y a la possibilité de faire de cas en effet. Mais en fait, c'est ce compliquer la vie alors qu'il y a plus simple.

Je sais pour le coup, j'impose ma réflexion ce qui n'est pas bien du tout (mauvais prof le blagu'cuicui! méchant ) mais je vais te montrer (ou je l'espère en tout cas) que tes deux cas vont être continue dans la démarche globale (et donc tu pourras réutiliser la démarche dans d'autre cas).

Ton idée de la division n'est pas logique vu que del a même manière, on ne connaît pas le signe de ta multiplication. De plus, lorsque tu effectues une divisions, le terme de droite est 1 et non 0.

En effet, a=b avec b non nul <=> a/b=1 (et non a/b=0).

En revanche, il faut se ramener à une comparaison à 0 c'est à dire qu'il faut passer tous les termes à gauche par exemple. Le fait d'additionner ou de soustraire des deux côtés d'une inégalité ne change pas le signe de cette inégalité. Donc cela nous pose moins de soucis que la division.

Ensuite, la démarche sera de factoriser un maximum le terme de gauche pour l'écrire sous la forme d'un produit de facteur: A(x)*B(x)≤0 par exemple.

Est-ce que cela est plus explicite ainsi?

Bon courage!

Ahhhh donc si j'ai compris je devrait faire comme cela :

(x-3)(2x+7)≤(x-3)(x+3)

et on fais -x+3 Pour ce retrouver a :

(2x+7)≤(x+3)

(2x+7)(x+3)≤0

Alors qu'en dis-tu ?

J'en dis que tu ne fais pas ce que tu écris:

Citation :

(x-3)(2x+7)≤(x-3)(x+3)

et on fais -x+3

Allons-y, ça donne (x-3)(2x+7)-x+3≤(x-3)(x+3)-x+3 ce qui nous avance pas du tout ce que tu constates.

Le problème n'étais pas un problème de vocabulaire (le "diviser par" qui devient "on fait ça") mais bien un problème de fond.

Essayons autre chose à ce moment là.

Ne factoriser pas le membre de droite c'est à dire qu'on repart du début avec l'inégalité: (x-3)(2x+7)≤ (x²-9)

Et je pose A(x)=x²-9, notre inégalité devient donc: (x-3)(2x+7)≤ A(x)

Comment faire pour se ramener à une comparaison avec 0? C'est à dire une égalité du type B(x)≤ 0 avec B(x) à déterminer. Je pense qu'ainsi, tu ne seras pas obnubilé par le facteur commun.

Bon courage!

Donc si je t'ai bien compris je devrais repartir depuis le début et agir ainsi :


(x-3)(2x+7)≤ (x²-9)

(x-3)(2x+7)-(x²-9)≤0

???

Excellent!

Maintenant, je te laisse reprendre ta factorisation et tu vas pouvoir te ramener à un produit de facteur dont tu chercheras le signe. Et pour cela, rien de mieux qu'un tableau de signe.

Est-ce que c'est plus clair ainsi?

Bon courage!

Ahhhhhhh D'accord je vois...^^

j'ai compris maintenant...

Encore merci pour ton aide.

Excellent si c'est le cas.

N'hésite pas à nous écrire la solution cela pourra servir à d'autre aussi après tout.

Bon courage!

d'accord donc je vais te montrer ce que j'ai fais :

(x-3)(2x+7)-(x²-9)≤0


(x-3)(2x+7)-x²+9≤0

(x-3)(2x+7)-x²+3²≤0

(x-3)(2x+7)+3²-x²≤0

(x-3)(2x+7)(3+x)(3-x)≤0

Ensuite on fais une étude de signe mais d'abord déterminons le signe de chaque facteurs:

x-3≥0
x≥3

2x+7≥0
2x≥-7
x≥-7/2

3+x≥0
x≥-3

3-x≥0
-x≥-3
x≤3

ensuite a l'aide du tableau de signe on trouve :


(x-3)(2x+7)(3+x)(3-x)

négatif si x≤-7/2

positif si -7/2≤x≤-3

et négatif si x≥-3

Voila ce que j'ai trouvé ! Je pense que sa doit être bon mais on ne sait jamais...^^

Bonsoir,

Et non attention à ne pas vouloir aller trop vite dans les calculs:

Citation :

(x-3)(2x+7)+3²-x²≤0

(x-3)(2x+7)(3+x)(3-x)≤0

Comment arrives-tu à passer de la première ligne à la deuxième??

Je te conseille d'ailleurs de factoriser à partir de la forme initiale c'est à dire celle-ci: (x-3)(2x+7)-(x²-9)≤0 <=> (x-3)(2x+7)-(x²-3²)≤0

Je te laisse reprendre tes calculs. La méthode est toujours aussi juste mais tu as été trop vite je pense.

Nooon moi qui croyais avoir trouvé...

Bon je reprend alors on a :

(x-3)(2x+7)-(x²-3²)≤0

(x-3)(2x+7)-(x-3)(x+3)≤0

ensuite je pense que cela donne ceci :

(x-3) [(2x+7)-(x+3)]≤0

(x-3) [2x+7-x-3]≤0

(x-3) (x+4)≤0

ensuite on fais un tableau de signe...

Alors qu'en dis-tu ?

C'est tout de suite mieux, non? .

Il n'y a plus qu'à faire le tableau de signe en effet. Sinon, comment voir qu'il y avait une erreur avant? La multiplication de quatre terme contenant un x se développe en faisant apparaître du x⁴ alors qu'au départ, au maximum la puissance de x c'est 2.

Bon courage pour la conclusion!

Quel surprise moi qui croyais avoir faux...^^

Mais pourrait-tu m'expliquer ce que tu veux dire qu'en tu dis cela :

Citation :

La multiplication de quatre terme contenant un x se développe en faisant apparaître du x4 alors qu'au départ, au maximum la puissance de x c'est 2.

Je n'ai pas très bien compris.

En fait, en l'écrivant, je me suis dit que c'était peut-être pas la peine d'en parler mais bon. Regarde:

(x-3)(2x+7)(3+x)(3-x) est un produit de 4 facteurs. Chacun des facteurs contient la variable x, tu es d'accord?

Du coup, lorsque je vais développer cette multiplication, il va y avoir le terme suivant qui va sortir: x*(2x)*x*(-x)=-2*x⁴ qui est un terme en x⁴ donc.


Alors que dans l'énoncé, nous avons le terme développé x²-9 qui contient donc un terme en x². ET il y a aussi le produit suivant: (x-3)(2x+7) qui va faire apparaître si je le développe le terme x*(2x)=2x² qui est aussi un terme en x².

Ainsi, intuitivement et au premier coup d'œil, tu pouvais conclure qu'il y avait une erreur dans ton calcul car initialement, la puissance la plus grande pour la variable x c'est 2 (nous avons des termes en x² mais pas de terme avec une puissance plus grande). Et donc, il n'y a pas de termes en x⁴ avec la forme initiale de notre problème. C'est ce qui permet de voir une erreur de calcul par exemple.

Mais bon, si tu en retiens pas le principe ce n'est pas grave mais c'est un moyen de vérifier s'il y a au moins une cohérence dans ton calcul c'est à dire qu'il n'y a pas de grosse faute de calcul.

En espérant que cela soit plus clair mais c'est indépendant de l'exercice c'était surtout une remarque en rapport avec ton erreur et du "comment déceler ce genre d'erreur de calcul".

Bon courage pour le tableau de signe!

Ok je vois.

Encore Merci pour ton Aide.