DM produits scalaires

Bonjour, j'aurais besoin d'aide svp :
C est un cercle de centre O et de rayon r. M est un point du plan et d une droite passant par M qui coupe C en A et B.
On s'intéresse au produit scalaire MA.MB lorsque la droite d pivote autour de M
1)a. Créer une figure avec un logiciel de géométrie de telle sorte que M soit un point libre du plan et A un point libre de C. Créer le réel p= MA.MB et afficher la valeur de p ave'c 3 décimales.
b. Déplacer le point A sur C et modifier ainsi la position de la droite d. Qu'observe-t-on ?
c. Reprends b avec d'autres points M.

2)a. On note A' le point diamétralement opposé à A/C. Démontrer que MA*MB=AM.MA'
b. En déduire que MA.MB=OM²-r²
c. La conjecture émise à la question a. Est-elle vérifiée ?

Voilà la figure obtenue pour le 1 , j'espère que c'est ça

après je n'ai pas du tout compris

Bonsoir,

Pour lever toutes ambigüités, les vecteurs sont mis en gras pour les différencier des longueurs. Et le produit scalaire euclidien (le seul qu'on utilise au lycée d'ailleurs) est noté à l'aide d'un point . et non du signe multiplié car on ne multiplie pas des vecteurs car cela n'a pas de sens tout simplement.

Il y a un soucis avec ta figure car d'après ce que j'observe, ton point A n'appartient pas au cercle (C) et par conséquent, tu ne respectes pas cette consigne là. De plus, le point B est à l'intérieur du cercle aussi alors qu'il devrait appartenir au cercle lui aussi.

A première vue, tu utilises Geogebra pour faire ton dessin. Le cercle est juste, il faut lui donner le nom de C à l'aide du clic-droit puis "renommer" par exemple. Ensuite, le point M placer sur le plan ne pose par de problème. Enfin, le point A doit appartenir au cercle (C), comment peut-on définir un point appartenant à un objet à l'aide du logiciel?

Et pour terminer ta figure, il faudra tracer la droite (d) passant par A et M donc. Mais d n'est pas un point de cette droite, c'est bien le nom de la droite. Pur déplacer des objets,

Le but de l'exercice est en fait de définir ce qu'on appelle la puissance d'un point du plan par rapport à un cercle. En effet, il s'agit d'une propriété assez remarquable car tu constates que si tu considères les deux points d'intersection sur le cercle alors le produit scalaire ne dépend que de la position de M et de la définition du cercle c'est à dire le centre et le rayon de celui-ci. Cela n'est pas évident à concevoir au premiers abords car, il serait normal que le résultat dépend de la position de A et B sur le cercle alors que cela n'est pas le cas.

Lorsque tu auras une bonne figure, tu constateras peut-être une meilleur vision de la conjecture qu'on peut faire lorsqu'on bouge le point A.

Bon courage!

Bonsoir, j'ai retenté de faire ma figure mais les points A et B me bloqu. EN EFFET JE N4Arrive pas à les placer mais voià ce que j'ai ressayé

Alors c'est déjà plus logique et plus grand au niveau du desin. Il ne faut pas hésiter à faire des dessin assez grand pour visualiser quelque chose.

Je te conseille d'ailleurs de tracer un cercle à l'aide de "centre et rayon" car là, je constate que ton rayon ne tombe pas juste. C'est un exemple qu'on te demande de mettre en place pour qu'on puisse en déduire des choses, il faut donc essayer d'être le plus clair et le plus simple possible. Donc faire un cercle dont tu connais le rayon est tout de suite plus simple pour visualiser des calculs par exemple ce qui est le cas ici.

Ensuite, ici, les points A et B sont bien sur le cercle donc c'est une bonne chose. Essaie d'enlever le point d car il ne sert à rien en fait. En effet pour tracer la droite, on va utiliser "droite passant par deux points" ainsi, ta droite sera précise et lorsque tu bougera l'un des deux points, ta droite suivra directement. Et ensuite, il nous restera plus qu'à faire bouger le point A et de vérifier que le produit scalaire ne change pas en fonction de la place du point A sur le cercle C.

En espérant que cela t'aidera à mieux visualiser les choses. L'informatique est utile mais hélas, le plus difficile est de pouvoir s'en servir de façon assez fiable pour qu'on puisse ne déduire des choses. Alors un conseil assez bête serait de te familiariser un maximum avec ton logiciel en effectuant des tracés simples pour bien savoir où se situe tel ou tel option dans tel ou tel icône proposé par Geogebra.

Bon courage!

Merci pour vos indications, j'espère que ma figure est cette fois-ci bonne car elle me permettrais de continuer mon dm :

La figure à l'air correcte maintenant mis à par le petit r qui me paraît bizarre mais passons.

Qu'as-tu constaté sur la valeur de p lorsque tu fais varier le point A sur le cercle? Est-ce constant? Si ça varie est-ce croissant? décroissant? C'est par exemple cela qu'on souhaite dans un premier temps essayer de connaître sur la quantité qu'on observe.

Ensuite, en laissant A fixe, si on fait varier seulement M, qu'en est-il de la quantité p?

Bon courage!

Merci, quand on bouge A, p ne varie pas mais quand c'est M qu'on déplace ça change les coordonnées de B, de d et donc modifie aussi la valeur de p

Bonsoir,

On constate donc que lorsque M est fixe, la valeur de p ne dépend pas de la position de A sur le cercle. ET on constate dans un deuxième temps que lorsque A est fixé, p varie en fonction de la position de p. En conclusion, on peut donc dire que p ne dépend pas de la position de A mais dépend de la position de M par contre.

On aurait pu faire encore deux tests pour mieux comprendre les choses. EN effet,o n aurait pu fixer A et M et faire varier le rayon du cercle et l'autre variation serait de bouger la position du centre sans changer le rayon par exemple.

En tout cas, on observe pour l'instant que p dépend de la position de M normalement et je dis normalement car rien ne se démontre sur un dessin, il va donc falloir le démontrer maintenant.

Maintenant, qu'on a fait des hypothèses sur le dessin, nous allons essayer de démontrer les choses. As-tu des idées pour les questions suivantes?

Bon courage!

Je pense que pour la 2a le triangle ABA' est rectangle en B donc on fait le vecteur MB est le projeté orthogonal du vecteur MA' sur (MA)
2b peut être la relation de Chasles VecMA=VecMO+VecOA , VecMA'=VecMO+VecOA'
et Merci

Bonjour,

Pour la é)a), l'idée et bonne, il ne reste plus qu'à la rédiger proprement. Je te conseille d'utiliser la relation de Chasles sur les vecteurs puis la distributivité du produit scalaire sur l'addition pour conclure.

Pour la 2)b) c'est aussi l'idée de la résolution que tu donnes. Attention au sens des vecteurs lorsque tu vas utiliser la relation de Chasles pour ne pas faire d'erreur de signe ça serait dommage.

Bon courage pour la suite!

Bonjour
Merci pour votre réponse
2.a VecAB.VecAC=VecAB.VecAC'
2.b ((MO+OA).(MO+OA')=MO²+MO.OA'+OA.MO+OA.OA'=MO²+MO.(OA+OA')+OA.OA'=MO²+MO.(OA+OA')+OA.OA'=Mo au cube+(OA+OA') au carré

Je ne suis pas plus sûre que ça car je patauge pas mal en maths.

Pour la 2)a) tu ne répond pas à la question posée ce qui est gênant.

Pour la 2)b), il y a une erreur assez bizarre. En effet que vaut OA+OA'? Que savons-nous de O, de A' par rapport à A ?

Je te laisse reprendre ton calcul, il n'y a rien de compliquer, il faut bien poser les calculs de produit scalaire une fois que tout est développer en regardant la figure pour ne pas se tromper de sens et donc ne pas se tromper de signe dans les calculs.

Bon courage!

Pour la 2.b c'est ca ((MO+OA).(MO+OA')=MO²+MO.OA'+OA.MO+OA.OA'=MO²+MO.AA'+OA.OA'=MO²+MO.AA'+OA.OA'=Mo au cube+AA' au carré
c'est ça ?
pour la 2.a , je sais pas je suis bloquée mais je vais réessayer quand même

Bonsoir,

Il y a une erreur dans la relation de Chasles que tu utilises. EN effet, tu as écrit que OA + OA' était égal à AA' ce qui n'est pas le cas. En effet, les vecteurs ne se suivent pas, il faut donc les mettre bout à bout pour utiliser la relation de Chasles. Il n'y a pas de magie en mathématiques c'est peut-être d'ailleurs l'un des soucis mais lorsqu'on souhaite utiliser quelque chose, il faut l'utiliser de façon rigoureuse sans chercher à essayer d'obtenir ce qu'on souhaite mais simplement chercher à utiliser la propriété qu'on a le droit d'utiliser.

Vois-tu une relation entre les vecteurs OA et OA'?

Si ce n'est pas le cas, pourrais-tu me donner le lien entre A et A' d'après l'énoncé et ce que cela implique comme lien entre A, O et A'?

Bon courage!

Bonsoir, OA'=2OA
En tout cas A' est un point diamétralement opposé à A
Merci

Ok pour A' diamétralement opposé à A. Mais concrètement cela signifie quoi en utilisant le point O?

(je continue les questions car ta réponse n'est pas juste dû à une erreur d'inattention je pense).

Bon courage!

Dac, je crois avoir trouvé pour la 2b
MO²+MO.0-OA.A'O=OM²-r².

Bonsoir,

Je préfère en effet, le point O est le milieu de [AA'] ce qui implique donc que les vecteurs sont opposés et donc que leur somme est bien nulle.

Nous en avons donc conclut pour cette question. As-tu réussi à bien écrire la première question? Et si c'est le cas qu'en est-il de la suivante?

Bon courage!

Bonjour alors voilà ce que j'ai trouvé :
2.a théorème de Chasle MB=MA'+A'B(vecteurs)
Or MA et A'B sont perpendiculaires et MA*A'B=0
Donc MA*MB=MA*(MA+A'B)=MA*MA' vect

2.c ) Oui,le produit scalaire est indépendant de la sécante au cercle passant par M

Bonjour,

Citation :

2.a théorème de Chasle MB=MA'+A'B
Or (MA) et (A'B) sont perpendiculaires et MA.A'B=0

Donc on parle de droite perpendiculaire et de vecteur orthogonal. Il faut essayer d'être un peu rigoureux dans les termes utilisés.

Sinon, c'est tout à fait exact mais il faudrait justifier la perpendicularité (triangle inscrit dans un demi-cercle implique qu'il est rectangle ....).

Ok pour la question 2)c).

Bonne continuation!