Exercices produits scalaires

Salut à tous.
Aujourd'hui, j'ai une double demande à vous faire!
Tout d'abord, j'ai fait un exercice et, j'aimerais que vous le corigiez et, j'ai les mesures en degrés mais, pas en radians donc, j'aimerais des explications là-dessus.
La seconde demande est, à propos d'un exercice que je posterais à la fin de ce post.

Enoncé de l'exercice 1 :




ABCD est un carré de côté 2, I est le milieu du segment [AB] et J celui du segment [BC]. On note Têta l'angle (AJ;IG).

1(a) Calculer AJ.ID en écrivant :
AJ = AB + BJ et ID = IA + AD

(b)Que peut-on en déduire pour les droites (AJ) et (ID)?

2(a)Calculer AJ.IC en écrivant IC=IB+BC.
(b)Exprimer, en utilisant le théorème du cosinus, AJ.IC en foncton de Têta.
(c) En déduire la valeur exacte de cos Têta et, une valeur approchée au dixième près.

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Voici donc mes réponses :

1(a) AJ = (AB + BJ) . (IA + AD)
= AB.IA + AB.AD + BJ.IA + BJ.AD
= AB.IA + 0 + 0 + BJ.AD
= [ ||AB||.||IA||.cos180] + [ ||BJ||.||AD|| . cos0]
= [2.1.(-1)] + [1+1.1] = -2 + 2 = 0

(b) Leur produit scalaire est nul donc : (AJ) et (ID) sont perpendiculaires.

2)a) Je note Alpha = Angle JAB et Bêta = Angle AJC

AJ.IC = AJ .(ID + BC) = AJ.IB + AJ.BC
= [ ||AJ||||IB||cos(Alpha)] + [||AJ||||BC||cos(Bêta)]
= [ ||AJ|| .1 .cos (Alpha)] + [||AJ|| .2 .cos (Bêta)]

--> Je dois calculer AJ : Théorème de Pythagore :

Dans ABJ : AB² + JB² = AJ²
2² + 1² = AJ²
4 + 1 = AJ² --> AJ = Racine carrée de 5

--> AJ.IC = [Racine5 . cos Alpha] + [Racine5 .2.cos Bêta]

cos Alpha = AB / AJ = 2/Racine(5)

AJ.IC = [Racine5 . (2/Racine5)] + [Racine(5) .2 . cos Bêta]
= 2 + [Racine(5) .2 .cosBêta]

Bêta = Angle AJC = Anglz BJC + Angle AJB = 180 + Angle AJB

cos AJB = AB/JB = 2

--> AJ.IC = 2 + 2 = 4

(b) AJ.IC = ||AJ||||IC||.cos(Têta) = RacineCarrée(5) . ||IC||.cosTêta

--> Je vais calculer IC grâce au théorème de Pythagore :
Dans IBC : IC² = IB² + BC² = 1² + 2² = 5
IC = Racine carrée(5) = AJ

*AJ.IC = RacineCarrée(5) . RacineCarrée(5). cos Têta
= 5 .cosTêta

-->Je dois trouver Têta : Je connais Angle AJB = 63.43 Degrés
Angle AJC = 180 - 63.43 = 116.57 Degrés

Ensuite, je calcule AngleBCI : tanBCI = IB/CB = 1/2

--> Angle BCI = 26.56 Degrés

Donc : Têta = 180 - (116.57 + 26.56) = 180 - 143.13 = 36.87Degrés

--> AJ.IC = 5 .cos(36.87) = 4

(c)cos Têta = 36.87 = 0.8

(Ici, je n'arrive pas à trouver la valeur exacte... Un détail m' peut-être échappé...)

Pouvez-vous m'aider svp?

Bonsoir MrTheYo,

Tout d'abord c'est un joli travail que tu nous proposes là .

Tout est bon sauf la fin qui m'a l'air un peu chaotique mais nous y reviendrons après.

Maintenant que tu as tout trouvé, je vais te donner quelques conseils pour gagner du temps dans les calculs .

Pour le 1)a) ma méthode de calcul ne sera pas plus rapide et la tienne étant la définition du produit scalaire autant utiliser celle-là.

Pour le 1)b) rien à dire.

Pour le 2)a) par contre je vais te faire gagner un temps fou. Tout tes calculs sont absolument justes et tu t'en est très bien sorti mais plus il y a de calcul et plus le risque d'erreur augmente alors je vais te proposer cette méthode là:

AJ.IC = (AB + BJ).(IB + BC) (et oui le 1)a) te propose une décomposition pour le vecteur AJ autant voir si elle ne serai pas utile aussi ici)

Ceci donne donc AJ.IC = AB.IB + AB.BC + BJ.IB + BJ.BC

Or AB.BC=0 et BJ.IB=0
De plus, AB= 2*IB et BC=2*BJ

Donc AJ.IC = 2*IB.IB + 2*BJ.BJ
D'où AJ.IC = 2*( IB² + BJ²)
Or IB=BJ=(1/2)*2=1

Donc AJ.IC=4

La méthode est simple, je cherche à garder le plus longtemps le produit scalaire avant de l'exprimer. Les avantages dans cette exemple:

- La décomposition du vecteur AJ était sous-entendu par le 1)a), il fallait donc s'en servir

- Pas de définition d'angle alpha et bêta donc pas besoin de calculer leur cosinus.

- Pas de calculs de longueur donc pas d'utilisation du théorème de Pythagore.

Ta méthode à un avantage dans le raisonnement mathématique en lui-même. Car il est souvent bon de définir de nouvelles données comme tu l'as fait avec les angle alpha et bêta ce qui est une très très bonne initiative vu quel e but est d'arriver au résultat.

Pour la 2)b), là, il faut en effet calculer les longueur AJ et IC, on n'y échappe pas. Mais tu vois qu'avec ma méthode je n'avais toujours pas calculer AJ et je ne le calcul donc que maintenant.
D'ailleurs, du point de vu de la rédaction, tu peux bien rédigé le calcul de AJ et tu dis après: "De même vu que I est le milieu de [AB], nous sommes dans les même condition que pour le calcul de AJ, donc AJ=IC".


Et enfin pour le calcul de θ c'est à dire la question 2)c) n'oublie pas tout ce que tu as fait au-dessus.

Qu'est-ce qu'on sait?

D'après 2)a), on sait que AJ.IC=4
Mais d'après 2)b), on a aussi AJ.IC=5*Cos(θ)

Donc 5*Cos(θ)=4

Du coup tu en déduis la valeur exact de Cos(θ)=4/5 puis une valeur approché au dixième dont je te laisse le calcul.

Donc ne JAMAIS oublier qu'un exercice à souvent une logique dans l'approche du problème. Car l'unique question aurait pu être: "Calculer Cos(θ)".

Sinon, joli travail de recherche!!

Content de voir que mon travail te fais plaisir .
A force de demander des explications tu vois, je finis par y a arriver seul .
Sinon, j'ai saisi tes méthodes de raisonnement

C'est le principale que tu puisses y arriver seul et celà fait plaisir en effet .

Bon courage pour la suite et @bientôt au sein du forum!