Equation différentielle

Bonjour!
J'aurais encore besoin de votre aide pour un petit exercice =)

Alors il faut que je détermine les fonctions numériques deux fois dérivables sur R telles que :
qqsoit x appartenant à R, f''(x)+f(-x)=x+exp(x)

Notre prof nous a conseillé d'introduire la partie paire et impaire de f mais je ne voit pas comment faire =S

Merci pour votre aide!

Bonsoir,

Alors en effet, on peut toujours écrire une fonction F comme étant la somme d'une fonction impaire et d'une fonction paire.

En effet, pour tout réel x, on a: F(x)= [F(x)+F(-x)] /2 + [F(x)-F(-x)] /2

Et je te laisse vérifier que la première fonction dans la somme est paire et que la deuxième fonction est impaire.

C'est une astuce de calcul assez fréquente en fait. Je te l'ai donné car elle est difficile à deviner tout seul en fait et à faire deviner je ne voyais pas comment faire je te l'avoue.

Je te laisse donc entamer la réflexion à partir de cela maintenant.

Bon courage!

Je connaissais la décomposition d'une fonction en sa partie paire et impaire et j'ai déjà essayé de l'utiliser pour cette equation différentielle mais je n'arrive à rien qui pourrait m'aider =S

Enfaite ce qui nous gène dans l'equation de départ c'est bien le f(-x) non? Mais comment pourrait-on ne plus l'avoir? =/

Merci pour votre aide!!

Bonjour,

En fait, ce qui est gênant c'est que tu souhaites absolument voir quelque chose qui te rassure dans les calculs. Mais il serait plus judicieux d'essayer simplement de suivre ce que propose l'exercice en lui-même c'est à dire qu'on a une égalité qu'on va supposer vraie pour déterminer toutes les fonctions qui la vérifie. En conséquence de quoi, on peut justement remplacer dans notre décomposition F(-x) par sa valeur et ainsi se ramener à une équation différentielle du second ordre qu'on sait résoudre pour le coup.

Bon courage!

Non vraiment je ne vois pas comment faire... Je tourne en rond dans mes calculs... Si je dis que F(-x)=-F''(x)+x+expx et que je remplace F(-x) dans la décomposition de F(x) je retombe sur F(x)...
Il y a vraiment quelque chose qui m'echappe je crois =SS

Ok je comprend ton soucis!

On va éviter de tourner en rond en changeant les noms des choses. Je définis la fonction G pour tout réel x par G(x)=[F(x)+F(-x)] / 2 et cette fonction G est bien paire. De même, je définis la fonction H pour tout réel x par H(x)=[F(x)-F(-x)] / 2 et cette fonction H est bien impaire.

On a bien, F(x)=G(x)+H(x) (décomposition de F en somme de fonctions paire et impaire).

On cherche un fonction F deux fois dérivable cela implique donc que G et H sont deux fois dérivable par construction même de G et H.

1) Ainsi, pourrais-tu exprimer pour tout réel x, G''(x) ainsi que H''(x) en fonction de F?
2)a) En supposant l'égalité proposée par l'énoncé vraie pour tout réel x, exprime celle-ci en -x.
b) En utilisant cette nouvelle équation différentielle ainsi que l'ancienne équation différentielle, faire apparaître H, G, H" et G" via deux combinaisons. On cherchera doncà faire apparaître deux nouvelles équations différentielles faisant apparaître H et G ainsi que leur dérivée seconde.

3) Résoudre les deux équations différentielles linéaires du second ordre mise en évidence en 2)b).
4) Conclure!

Bon courage!

Oh merci beaucoup!

Je crois que j'ai trouvé les deux équations mais quand j'additionne les deux solutions je ne trouve pas que l'addition des deux est solutions de l'équation différentielle de départ =//

Il doit y avoir un problème dans la résolution de mes deux équations =/

J'ai donc trouvé : p''(x)+p(x)=chx (p est la partie paire de f(x)) et i''(x)-i(x)=x+shx

J'espère que je ne me suis pas trompée =/

Pour les solutions j'ai : Sp= Acosx + Bsinx + 1/2 * chx et Si= Cexp(x) + D exp(-x) - x + x/2 * chx

Je ne vois pas où est ma faute =S

Merci pour votre aide!

Enfaite je crois que j'ai trouvé =O

Les fonctions solutions sont de la formes Acosx + 1/2 * chx + x/2 * chx -x ?

J'espère que c'est juste parce que j'ai vérifié et ca marche bien avec l'equation différentielle de départ.

Bonsoir,

après avoir mené tous les calculs au bout, tu n'as pas la solution générale dans ce que tu présentes.

En effet, je suis d'accord pour p(x)=A*Cos(x) + B*Sin(x) + ch(x)/2 et pour i(x)=C*e^x + D*e^-x + (x/2)*ch(x) - x

Mais je ne suis pas d'accord sur ta conclusion. En effet, la fonction F que tu proposes est une solution de l'équation différentielle mais il y en a d'autre. Tu as posé trop vite C=D=0 à mon avis. En tout cas B=0, je suis d'accord sur ce point là.

Je te laisse reprendre tes calculs.

Bon courage!

Oui d'accord je m'en doutais un peu. Mais je n'arrive pas à trouver ce que peuvent valoir C et D =/ parce que quand on vérifie que Cexp(x) + D exp(-x) - x + x/2 * chx est bien solution de i''(x)-i(x)= x + shx, C et D s'annulent...
Je ne peux donc pas trouver de conditions sur ces deux constantes =O

Hmmm,

C'est assez logique que ta solution vérifie l'équation différentielle que tu viens de résoudre vu qu'on a à peu près fait tout pour .

En revanche, comment as-tu trouvé la condition B=0?

N'oublie pas qu'on cherche à résoudre une équation particulière nous qui ne fait pas intervenir i et p mais notre fonction initiale F et c'est cette équation là qui doit être vérifiée à la fin!

Bon courage!

Alors il faut que je cherche quand le somme des deux solutions vérifie f''(x)+f(-x)=x+exp(x) c'est ca?

J'ai trouvé que B=0 car il s'annule quand on cherche quand Sp vérifie de p''(x)+p(x)=chx c'est pour ca que j'ai aussi conclue que C=D=0 mais visiblement mon raisonnement n'est pas forcement juste.

Enfaite j'ai refait mes calculs!

Je trouve B=0 en écrivant que p(x)=A*Cos(x) + B*Sin(x) + ch(x)/2 = A*cos(x-alpha) + chx/2 et en vérifiant dans l'equa diff de p on trouve alpha=0 donc les solutions de l'équation p''(x)+p(x)=chx sont A*cos(x)+ chx/2

Et pour C et D c'est possible que je trouve C=-D? Je pense que c'est juste parce que je ne crois pas mettre trompé dans les calculs.

Merci pour votre aide! J'ai bien avancé dans le problème je trouve =))

Bonjour,

Il est illogique que tu trouves une condition sur B en injectant dans l'équation que tu viens de résoudre vu que par définition la solution que tu trouves EST solution de l'équation différentielle. Il n'y a pas de restriction lorsqu'on considère les deux équations différentielles de façon isolée sinon, cela serait illogique.

En revanche, là où on peut déduire en effet que B=0 c'est lorsqu'on passe à la vérification globale car rien ne nous dit que F(x)=P(x)+I(x) soit bien solution de l'équation différentielle de départ pour toutes les valeurs de A, B, C et D.

En effet, à la fin en trouve bien C=-D mais il faut le démontrer convenablement en vérifiant les choses sur l'équation différentielle de départ. En fait dans le raisonnement,o n a supposé que l'équation différentielle était vérifiée puis on a travaillé dessus pour en déduire les deux autres équations différentielles. C'est un travail qu'on appelle par implication, on part d'un point pour arriver à un autre. Mais il ne reste à vérifier qu'on puisse faire le chemin inverse et donc il faut vérifier que ce qu'on trouve est toujours valable au départ.

C'est un raisonnement par Analyse/Synthèse tout simplement. On analyse en ne se souciant pas de la véracité de ce qu'on suppose mais lorsqu'on arrive au bout de notre travail, il faut vérifier maintenant si tout ce qu'on a supposé est bien vérifié.

Bon courage!

Quelles est la bonne manière pour montrer que B=0?

Pour montrer l'implication inverse je cherche quand la somme des deux solutions est bien vérifiée dans l'équation de départ c'est ca? Et c'est grace à ca qu'on trouve C=-D
Et puis je peux aussi vérifier que mon ensemble de solution finale vérifie l'équation de départ?

Dites moi si je me trompe.

En fait, tu as d'accord qu'au début de notre raisonnement, on ne l'a pas écrit explicitement mais on a utilisé ceci:

"On considère F un fonction deux fois dérivable vérifiant pour tout réel x, F"(x)+F(-x)=e^x+x"

On a fait quelques manipulation sur l'équation différentielle en changeant la variable puis on faisant des additions ou encore des soustractions. Puis on a abouti à deux équations différentielles distinctes qu'on savait résoudre. Et enfin on a résolu nos deux équations différentielles du second ordre.

Jusque là tout va bien?

Maintenant, le soucis c'est que dans le raisonnement, nous avons commencer par "On considère une fonction F ....". Mais le comble c'est nous cherchonsà montrer l'existence de solution et à les trouver toutes !! Il s'avère que notre démarche permet de supposer l'existence et donc de trouver des solutions potentielles et non des solutions à coup sûr vu qu'on a supposer une existence qu'on ignorait à la base.

Donc maintenant, ce qu'il reste à faire c'est de considérer les fonction F définies pour tout réel x, par: F(x)=P(x)+I(x) et maintennat de montrer que F est bien deux fois dérivable (pas trop dur ça ) et de vérifier à quelles conditions sur A, B , C et D, nous avons le fait que F vérifie l'équation différentielle du second ordre qu'on nous propose.

Tu va constater que le B=0 vient aussi de cette vérification. C'est long et fastidieux car il faut dériver deux fois la looooooongue fonction puis faire des regroupement puis considérer l'égalité puis en déduire des choses sur les constantes via des identifications simples.

Est-ce que la démarche de l'Analyse/Synthèse est plus claire ainsi?

Bon courage!

Oui je suis complètement d'accord avec ce que vous dites, c'est pas vraiment nouveaux pour moi les implications et les implications inverses.
Et c'est bien comme ca que j'ai trouvé que C=-D mais pour B il faut que je revois ca =/

On trouve bien -2Bsinx + C*(exp(x)+exp(-x))+D*(exp(x)+exp(-x))=0 ?
Mais comme moi j'avais conclus avant que B était egal à 0 je suis tout de suite tombé sur C=-D =/

Et ceci doit être vérifié pour tout x!

En posant x=0, on trouve bien 2*C+2*D=0 c'est à dire C=-D.

Et une fois que C=-D, on trouve tout de suite que B=0.

C'est dans ce sens là qu'on termine et non dans l'autre sens en fait . Donc ne pas oublier les choses primordiales à savoir les quantificateurs pour savoir si on a le droit d'utiliser des valeurs pour les variables ou s'il ne s'agit que d'une existence de x fixé.

Est-ce que c'est plus claire ainsi?

Bonne continuation!

C'est plus clair =)

Merci beaucoup!!