[Entraînement aux Olympiades] Des inégalités très costauds !

Bonjour,

Dans le cadre de la préparation des Olympiades de Mathématiques, notre professeur nous a proposé de réflechir à la démonstration de l'inégalité suivante :


Soient x, y et c trois réels positifs tels que xyz >=1. Démontrez l'inégalité



Alors :
comme , le membre de gauche vaut aussi :

Qu'en penses tu ?
Merci !

Bonjour,

Voilà, un exercice qui va me demander plus de temps au niveau de la prise ne charge. Je voulais te répondre tout de même pour que tu ne penses pas que je t'ai oublié mais je vais essayer de faire au mieux. Si tout se passe bien, demain au plus tard, j'aurai réfléchi à cette énoncé d'Olympiade et tu auras donc une réponse à ta demande un peu plus poussée que ce que je suis capable de faire en un temps limité (comme je l'ai aujourd'hui).

Merci d'avance de ta patience et n'hésite pas à compléter ta réflexion si entre temps tu as d'autres idées qui viennent!

Tu peux continuer à m'aider ?
Je pense qu'on peut utiliser Cauchy Schwarz ici

Bonjour,

Autant pour moi, j'ai zappé ton message (comme quoi, je n'aurai pas dû y répondre, grrrr).

Alors, je t'avoue que j'ai cherché à démontrer cette inégalité et que pour l'instant, je suis resté bredouille. Et oui, un professeur n'a pas réponse à tout et il doit chercher. C'est le soucis de ce genre d'exercice pas très théorique mais très calculatoire et seul l'astuce fera avancer les choses.

La question, que j'aimerai te poser par rapport à ta deuxième question, c'est comment connais-tu l'inégalité de Cauchy-Schwarz ??? Car pour ma part, je cherche une réponse avec les acquis de 1ère S et non avec des acquis dépassant ce stade. Si j'ai le droit d'utiliser des usines à gaz peut-être qu'on va pouvoir avancer plus rapidement en effet. Bon, LA machine à gaz qui me permet de conclure en fait c'est l'étude d'une fonction de trois variable avec recherche de minimum sans contrainte mais là on dépasse largement le stade de la terminale et de la première année de prépas avec ça.

Bon l'avantage que tu as avec ton écriture c'est que tu as une factorisation ce qui permet d'écrire 3-(x²+y²+z²)*[ 1/ + 1/ + 1/ ]. C'est une idée comme une autre en effet, ça uniformise un peu tout ceci.

Et alors, tu veux utiliser Cauchy Schwarz avec quelles valeurs?

Bon courage!

Eh bien, nous l'avons vu en cours. Elle est très simple à comprendre et à utiliser et est intéressante dans le cadre de l'étude des polynômes du 2d degré par exemple. Après, on ne fait pas vraiment que le programme donc c'est sûrement hors programme mais notre prof considère les programmes comme un peu trop restrictifs. Si l'on doit utiliser des notions de prépa (comme on l'a fait avec les restrictions/prolongements, bijections...), on le fait car la classe a un bon niveau et ce sera ça de moins à voir et à comprendre plus tard !
Sinon, on peut appliquer Cauchy Schwarz aux triplets (x^5/2,y,z) et (x^-1/2,y,z) et utiliser ensuite l'inégalité
.
Je pense qu'avec ça on peut avancer !
Concernant le fait qu'avec des outils première, on ait grand mal à résoudre des problèmes olympiques, notre prof nous a prévenus. La connaissance d'inégalités célèbres (Muirhead, Cauchy Schwarz, réordonnement, Minkowski...) est fort utile et permet de résoudre "facilement" ces problèmes.

C'est du pain béni pour un professeur de pouvoir faire du hors programme sans laisser un seul élève sur la touche .

Bon l'inégalité que tu proposes n'utilise que le fait qu'un carré est toujours positif ou nul et on applique cela à (x+y+z)².

Pour Minkowski, cela se démontre facilement avec les outils de 1ère, de même que l'inégalité de Cauchy-Schwarz d'ailleurs (même si c'est plus son utilité avec le produit scalaire qui est le plus intéressant en mathématiques). Pour l'autre inégalité que tu proposes, j'avoue ne pas la connaître l'inégalité de Muirhead.

Sinon, j'ai effectué quelques recherches pour te trouver une base de travail car j'avoue ne pas avoir été préparateur des olympiades et donc j'ai un peu de mal à me mettre dans l'idéologie de ce qu'il faut ou pas pour préparer ce concours. J'ai moi-même passé les olympiades mais sans préparation pour ma part car dans mon lycée, il n'y avait pas de classe trié pour pouvoir travailler en hors programme avec un rythme assez soutenu. Donc voilà, de quoi te permettre de travailler les inégalités avec des exemples et des solutions d'exercices d'olympiades d'ici ou d'ailleurs: http://www.ac-grenoble.fr/cite.scolaire.internationale/Peda/Discipli/Maths/spip/IMG/pdf_Inegalites_-_P._Bornsztein.pdf.

C'est l'académie de Grenoble qui le propose et pour l'avoir parcouru et regarder en détail, je ne pourrais pas faire mieux que ce qui est proposé dans ce document.

Et tu retrouveras d'ailleurs ce document sur un site dédié aux Olympiades Françaises qui je pense pourra t'intéresser au plus au point: http://allomaths12.ifrance.com/

En tout cas n'hésite pas à mettre en place tes raisonnements sur ton problème, je les lirai et les corrigerai avec plaisir mais pour pouvoir t'aider de façon convenable, il faudrait que je me mette à faire plusieurs sujets d'olympiades pour comprendre les attentes et les raisonnement mis en œuvre dans ceux-ci. Mais je n'ai hélas pas le temps pour cela. Il faut savoir avouer ses limites pour le coup dû à un manque de pratique tout simplement.

Bon courage pour la suite!