[Olympiades Belges de Mathématiques] - Finale Maxi

Voici un exercice intéressant tiré de la finale maxi des OBM :

Citation :

Soit f une fonction de IN dans IN telle que :
* f(n + 1) > f(n)
* et f(f(n)) = 3n.

Que vaut f(2 007) ?

Bonne chance !

Bonjour @toutes et tous!

Cet exercice est un véritable bijou mathématiques! Pourquoi? Car, il n'utilise en gros qu'une seule technique pour le résoudre mais par contre il fait appelle à toute votre intuition. Il pourrait être poser un devoir maison avec quelque question intermédiaire au niveau terminale voire même au niveau 1ère vu que le but n'est pas de démontrer tout les résultats de façon rigoureuse mais d'arriver au résultat en m'étant en évidence toute les étapes qui permettent d"'y arriver.

Mais si on veut véritablement faire une démonstration rigoureuse qui amène au résultat, il faudra utilise la technique de récurrence vu en Terminale S donc mais rien n'empêche un 1ère qui a vu ce qu'était une suite de pouvoir arriver au résultat sans démontrer toutes les étapes intermédiaires.

Alors faites chauffer votre matière grise!

Bon courage!

Bjr Mr.Blagu'cuicui , Bjr Natty !

J'ai trouvee quelques choses , mais je doute fort qu'elle soit juste ! car dans ce cas , ca doit etre de IN ----> vers IR

On a :

f(f(n))=3n --> f(f(f(n)))=f(3n) , donc : 3f(n)=f(3n) .. donc f est une fonction lineaire ( f(x)=ax)

Or : f(f(n))=3n --> a²n=3n --> a²=3 Donc : a=V(3) ( car f croissante )

donc f(2007)=V(3)*2007 .

Bonsoir!

alors, il n'y a pas d'erreur d'énoncer, et f est bien à valeur dans les entiers naturels.

Je ne comprend pas d'où sort le "donc" en fait qui te permet de conclure à cette ligne là:

Citation :

f(f(f(n)))=f(3n) , donc : 3f(n)=f(3n)

Car F(F(F(n)))=(FoFoF)(n) ce qui est très différent de 3*F(n) attention. C'est une erreur classique mais qui coûte chère lorsqu'elle est faite dans un devoir (mais tout le monde à au moins fait une fois cette erreur là lorsqu'on commence l'algèbre linéaire car on essaie de voir du linéaire partout xD).

Donc, il faut creuser encore mais c'était une belle tentative et tu avais déjà senti qu'il y avait un problème. Mais bon, il y aurait pu avoir un problème d'énoncer en effet ce qui n'est pas le cas sauf erreur.

Une petite piste pour démarrer peut-être:

Donner les valeurs de F(0), F(1) et F(3), F(6), ...
Essayez d'exprimer F(3n) en fonction de n.

Bon courage!

Effectivement il n'y a pas d'erreur d'énoncé.

Bonne chance MouaDos (et les autres) pour la résolution de ce problème !

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir!

alors, il n'y a pas d'erreur d'énoncer, et f est bien à valeur dans les entiers naturels.

Je ne comprend pas d'où sort le "donc" en fait qui te permet de conclure à cette ligne là:

Citation :

f(f(f(n)))=f(3n) , donc : 3f(n)=f(3n)

Car F(F(F(n)))=(FoFoF)(n) ce qui est très différent de 3*F(n) attention. C'est une erreur classique mais qui coûte chère lorsqu'elle est faite dans un devoir (mais tout le monde à au moins fait une fois cette erreur là lorsqu'on commence l'algèbre linéaire car on essaie de voir du linéaire partout xD).

Donc, il faut creuser encore mais c'était une belle tentative et tu avais déjà senti qu'il y avait un problème. Mais bon, il y aurait pu avoir un problème d'énoncer en effet ce qui n'est pas le cas sauf erreur.

Une petite piste pour démarrer peut-être:

Donner les valeurs de F(0), F(1) et F(3), F(6), ...
Essayez d'exprimer F(3n) en fonction de n.

Bon courage!

Re-BsR !

non non , j'ai pas dis que fofof(n)=3*f(n) ..

D'apres l'enonce : fof(n)=3n <=> fofof(n)=f(3n) *
et On a : fof(n)=3n .. donc en Remplacant "n" par "f(n)" => fofof(n)=3f(n) ==> f(3n)=3f(n) ! Donc je pense que ma Faute reside dans l'autre partie

Pour les valeurs que vous avez indiquee , on voit Immediatement f(0)=0 .. pour les autres valeurs , je vais les voir demain Inchalah ..

Bonjour!

Alors en effet vu comme cela c'est tout de suite plus juste. Seulement la conclusion reste fausse car cela ne suffit pas à montrer que F est linéaire.

Une fonction F est linéaire si et seulement si pour tout x, y dans l'ensemble de définition et pour tout réel t :

F(x+y)=F(x)+F(y)
F(t*x)=t*F(x)

Or ici, tu montres que pour t=3, on a bien: F(3n)=3*F(n) mais a-t-on F(n+m)=F(n)+F(m) ? L'idée étiat une bonne idée en tout cas car l'avantage était immédiat en effet.

Sinon, on a bien F(0)=0 en effet!

Que savons-nous du sens de variation de cette suite F(n)?
Qu'en déduit-on sur le signe de F(n) ?

Au lieu de calcul F(3n), essayons plutôt de voir à quoi pourrait bien être égale F(3ⁿ) ça sera plus simple à faire. Et pour cela on commence donc par essayer de connaître F(3⁰)=F(1) puis F(3) puis F(9) ... puis il serait intéressant de conjecturer la forme de la réponse.

Bon courage!

Bon , je viens de trouver une methode Mecanique .. que j'espere qu'elle soit juste :

On sait que : f(0)=0 : Donc :
f(1)>=1

si : f(1) = a > f(0) => a > 0
fof(1) > f(1) => 3.1 > a ==> a= 1 ou 2
si f(1) =1 ===> fof(1) = f(1) ====> 3.1 = 1 , Impossible !
donc f(1) = 2

et pusique : f(1)=2 <=> fof(1)=f(2)=3

f(3)= 3f(1)=6

f(6)=3f(2)=9 et comme :f(3)<f(4)<f(5)<f(6)

on déduit que f(4)=7 et f(5)=8

on a aussi : f(15)=3f(5) = 24

f(18)=9f(2)= 27
et comme f(15)<f(16)<f(17)<f(18)

on déduit que : f(16)=25 et f(17)=26

ona : f(45)=9f(5)=72 et f(48)= 3f(16)= 75

==> : f(46)=73 , f(47)=74

on a : f(141)=3f(47)=222
et f(144)=3f(48)=225
donc : f(142)=223 et f(143)=224

Puis , en remarquant que : 2007=9*223 =3^2.223
==>: f(2007)= f(9*223)=9f(223)= 9*f(f(142))= 9*3*142=3834

( sauf erreur ) ..

C'est ça.

Voici un autre corrigé :

http://omb.sbpm.be/modules/finale/article.php?storyid=37

Méthode radicale MouaDos et tout à fait juste (tu as dû t'amuser à calculer tous les termes à chaque rang ).

En tout cas excellente réponse sans faire intervenir de récurrence du coup ce qui est nickel!

La réponse que tu donne Natty est celle que j'utilisais mais cela nécessite un raisonnement par récurrence qui n'est pas vu par les 1ère S. Donc la réponse de MouaDos est plus intuitive et donc plus facile à trouver pour des 1ère S qui passe donc la dite Olympiade. En tout cas, la solution proposer dans le lien est tout de même très intéressante à lire pour la culture (et au vue d'appréhender le principe de la démonstration par récurrence).

Bonne continuation!