Bonsoir,
La fonction Phi est bien bilinéaire symétrique de façon quasi-trivial (il suffit d'écrire la définition en gros pour pouvoir le dire). Il ne reste plus qu'à savoir si la fonction Phi est définie positive pour savoir s'il s'agit d'un produit scalaire.
Pour le caractère positif, cela est encore trivial (la somme de carrés est toujours positive). Il ne nous reste plus que le caractère le plus compliquer à démontrer à savoir si l'application Phi est bien définie. Si c'est le cas, nous auront bien un produit scalaire sur l'ensemble F ce qui le fait d'office passer dans le caractère euclidien (espace vectoriel sur lequel, on définie un produit scolaire).
Le caractère définie, il faut donc savoir ce que donne Phi(g,g)=0.
Ce donne, g(0)=0 ET g'(0)=0 ET g''(0)=0 (car la somme de termes positifs est nulle si chacun des termes est nul).
Et c'est là que cela ce complique un peu et qu'il faut revenir à la définition de l'ensemble F. Vu que g appartient à F, il existe a, b et c tel que g=af1+bf2+cf3 avec f1, f2 et f3 sont donnés dans l'énoncé.
Le but maintenant et de démontrer que a=b=c=0 et nous aurons bien la fonction nulle.
g(0)=0 => a+c=0
g'(0)=0 => ?? (il faut exprimer g' en fonction de f1', f2' et f3')
g''(0)=0 => ?? (il faut exprimer g'' en fonction de f1'', f2'' et f3'')
Je te laisse reprendre les calculs à tête reposée pour savoir si nous avions bien une fonction définie.
Bon courage et n'hésite pas à poser tes questions si les calculs bloquent!
Mer 11 Avr - 11:52
