P'tite question

Salut, j'ai une petit question à poser :

est-ce que, lorsqu'on a une inégalité entre deux fonctions, on peut dériver des deux côtés sans changer le sens de l'inégalité ?

Par exemple, prenons deux fonctions f et h définies et dérivables sur un intervalle I :

Si h(t) < f(t) sur I, alors est-ce que h'(t) < f'(t) sur I ?

Et réciproquement, si h'(t) < f'(t), alors est-ce que h(t) < f(t) ??

C'est une question que je me suis posé l'autre fois car je sais que s'il y a égalité de deux fonctions, alors leurs dérivées sont égales donc on peut dériver des deux côtés de l'égalité.

J'ai pris un exemple assez primaire pour tester : sur R, 3t < 6t et en dérivant des deux côtés on trouve une inégalité qui est tout à fait vraie : 3<6. En revanche en redérivant une fois, on trouve 0<0 ce qui est faux :s

Et réciproquement, 3<6 donc (est-ce vraiment une déduction ?) 3t < 6t mais alors que pour t positif car sinon faut changer le sens de l'inégalité.

Voilà au final je pense que la réponse à ma question est toute simple : non on ne peut pas dériver comme cela des deux côtés d'une inégalité, ou même passer aux primitives des deux côtés de l'inégalité. Mais j'aimerais quand même avoir ton avis sur la question !

Merci d'avance.

PS : en fait la question m'est venu en regardant un exercice : on a une fonction h définie sur [0;+infini[ par : h(t) = 1 - t + (t²/2) - e^-t et on veut prouver l'encadrement suivant : pour tout t≥0, 0≤h(t)≤(t³/6)

On nous dit de passer par les dérivées premières et seconde. Et j'obtiens 0≤h"(t)≤t et j'en déduis en multipliant par -1 et en ajoutant t que 0≤h'(t)≤t mais après je suis bloqué. J'avais donc pensé à dire que : comme 0≤h"(t)≤t, alors 0≤h(t)≤(t²/2) (passage à la primitive) et donc 0≤h(t)≤(t³/6). Or j'me suis dit que c'était trop facile de pouvoir faire ça... d'où l'objet de la question que je te pose sur les inégalités et les dérivées. Pour info, je n'ai pas encore étudié en maths les intégrales et les primitives donc je ne comprendrai pas si tu les utilise pour répondre à ma question (quoique pour les primitives ça devrait aller car on les utilise brièvement en physique pour établir des équations horaires assez simples).

Bonsoir,

Alors lorsque lesfonctions sont positives, nous avons plein de résultats intéressants dont celui que tu souhaites utiliser.

En effet, si F'(x)= H'(x)-G'(x) >0 alors F(x)-F(0)>0

J'écris pas tout à fait la primitive mais bon, vu qu'une primitive est définie à une constante près, on peut toujours s'arranger pour que F(0)=0 par exemple.

Ce qui nous donne: H(x)-G(x) >0 c'est l'espace linéaire de l'intégrale qui permet celà ainsi que sa positivité:

Car ∫[f(x) + g(x)]dx=∫f(x)dx + ∫g(x)dx et si pour tout x f(x)>0 alors ∫f(x)dx>0. Ceux sont deux propriétés fondamentales de l'itnégrale.

On constate que si je prend -f au lieu de f dans la deuxième relation, j'obtiens bien que: si -f<0 alors -∫f(x)dx <0 (car ∫-[f(x)]dx=-∫f(x)dx par linéarité de l'intégrale)

En conclusion, on a que si notre fonction est de signe constante, on peut passer à la primitive sans soucis à une constante près (car la primitive est toujours définie à une constante près vu que la dérivée d'une constante est nulle).

Donc si pour tout x, h'(x)<g'(x) alors g'(x)-h'(x)>0 pour tout x.
Conclusion, pour tout x, g(x)-h(x)+α >0 avec α une constante.

La dérivation par contre celà, ne marche pas à toutes les coups. Pourquoi?
Car la dérivation n'est autre que la limite d'un taux d'accroissement. Or di tu sais que pour tout x, G(x)<H(x) rien ne te dit que: G(x+h)-G(x) < H(x+h)-H(x) pour tout h à x fixé. Et du coup, ça ne fonctionne pas tout simplement. Il faudrait montrer pour pouvoir passer une inégalité à la dérivation que le taux d'accroissement vérifie l'inégalité pour toutes les valeurs de x et pour tout h proche de 0 par exemple.

Sinon, pour ton exercice, il y a un moyen de mieux voir les choses, je pense, en considérant la différence H(t)-t³/6 et en essayant de montrer que cette nouvelle fonction est toujours positive. Il suffit pour le coup de dérivée 2 fois voire 3 si on a encore un doute puis de remonter les tableaux de variation les uns après les autres (les dérivées successive ne servant qu'à trouver le signe de la précédente jusqu'à revenir au signe de la dérivée de notre fonction pour en déduire enfin le sens de variation de celle-ci).

Bon courage!