Bonsoir,
Alors lorsque lesfonctions sont positives, nous avons plein de résultats intéressants dont celui que tu souhaites utiliser.
En effet, si F'(x)= H'(x)-G'(x) >0 alors F(x)-F(0)>0
J'écris pas tout à fait la primitive mais bon, vu qu'une primitive est définie à une constante près, on peut toujours s'arranger pour que F(0)=0 par exemple.
Ce qui nous donne: H(x)-G(x) >0 c'est l'espace linéaire de l'intégrale qui permet celà ainsi que sa positivité:
Car ∫[f(x) + g(x)]dx=∫f(x)dx + ∫g(x)dx et si pour tout x f(x)>0 alors ∫f(x)dx>0. Ceux sont deux propriétés fondamentales de l'itnégrale.
On constate que si je prend -f au lieu de f dans la deuxième relation, j'obtiens bien que: si -f<0 alors -∫f(x)dx <0 (car ∫-[f(x)]dx=-∫f(x)dx par linéarité de l'intégrale)
En conclusion, on a que si notre fonction est de signe constante, on peut passer à la primitive sans soucis à une constante près (car la primitive est toujours définie à une constante près vu que la dérivée d'une constante est nulle).
Donc si pour tout x, h'(x)<g'(x) alors g'(x)-h'(x)>0 pour tout x.
Conclusion, pour tout x, g(x)-h(x)+α >0 avec α une constante.
La dérivation par contre celà, ne marche pas à toutes les coups. Pourquoi?
Car la dérivation n'est autre que la limite d'un taux d'accroissement. Or di tu sais que pour tout x, G(x)<H(x) rien ne te dit que: G(x+h)-G(x) < H(x+h)-H(x) pour tout h à x fixé. Et du coup, ça ne fonctionne pas tout simplement. Il faudrait montrer pour pouvoir passer une inégalité à la dérivation que le taux d'accroissement vérifie l'inégalité pour toutes les valeurs de x et pour tout h proche de 0 par exemple.
Sinon, pour ton exercice, il y a un moyen de mieux voir les choses, je pense, en considérant la différence H(t)-t3/6 et en essayant de montrer que cette nouvelle fonction est toujours positive. Il suffit pour le coup de dérivée 2 fois voire 3 si on a encore un doute puis de remonter les tableaux de variation les uns après les autres (les dérivées successive ne servant qu'à trouver le signe de la précédente jusqu'à revenir au signe de la dérivée de notre fonction pour en déduire enfin le sens de variation de celle-ci).
Bon courage!