Exercice sur... bonne question d'ailleurs...

Salut!
Je dois absolument comprendre toutes ces histoires de limites ce week-end et, j'ai cet exercice à faire et, je bloque sur les questions sur les inégalités.... J'aurais donc besoin d'un coup de main pour comprendre le mécanisme de ces questions parce que j'ai eu beau essayer, je ne suis vraiment pas sûr de ce que j'ai écrit...

Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie par f(x) = 1/(x-5).

1. Déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition de f en utilisant les opérations sur les limites.
2. Quelles sont les variations de f?
3. Pour quelles valeurs de x a t-on -0.01 ≤ f(x) ≤ 0.01, puis -a ≤ f(x) ≤ a (en fonction de a, réel strictement positif).
Que peut-on conclure?
4. Pour quelles valeurs de x a t-on f(x) ≥ 100, puis f(x) ≥ A? (en fonction de A, A étant un nombre strictement positif).
Que peut-on en conclure?
5. Même question, cette fois-ci avec f(x) ≤ -100 puis f(x) ≤ A, A étant un nombre strictement négatif.
On illustrera chaque question d'un petit dessin.



1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

D_f(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[

lim_x-->-∞ 1/[x-5] = lim_x-->-∞ 1/x = 0

lim_x-->+∞ 1/[x-5] = m_x-->+∞ 1/x = 0

[Ensuite, j'ai un problème avec les limites en un point précis, je n'ai pas vraiment compris et c'est pas faute d'avoir essayé mais, j'ai fait ceci : ]

lim_{x-->5 ; x < 5} 1/[x-5] = 0
lim_{x-->5 ; x > 5} 1/[x-5] = 0
Ca manque de détails je pense...


2. f(x) = 1/[x-5] --> Forme 1/X

--> f'(x) = -(1 / X²) donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :


--> f(x) sera donc croissante sur tout son ensemble de définitions.


3. La, je suis plus dubitatif... :


Je vais décomposer cet encadrement en 2 égalités :



--> x devra être inférieur à -95 ou supérieur à 105.
(Ici, gros doute vu que comment x peut-il être à la fois inférieur à -95 et supérieur à 105???)

Je fais comme précédemment :



Conclusion : ???


4.

Conclusion : ???


5.


Je pense que la majeure partie de cet exercice est fausse mais, j'ai tenté quelque chose au moins...
Merci d'avance.

Bonsoir,

Pourl a première question, ton raisonnement est bon, il faut bien commencer par donner l'ensemble de définition de la fonction F.

Ensuite, tu te perd dans les limites car ta rédaction (et peut-être ton raisonnement) n'est pas clair. Je te propose donc le raisonnement suivant:

Calcul de la limite en -∞ de F(x):

On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car limx-->-∞ 1/x=0 (le moyen de le retenir est de se dire au brouillon que: "1/∞=0" <= NE JAMAIS METTRE CA SUR UNE COPIE!)


Calcul de la limite en +∞ de F(x):

On a: lim_x-->-∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car la limx-->+∞ 1/x=0 (le moyen de le retenir est de se dire au brouillon que: "1/∞=0" <=NE JAMAIS METTRE CA SUR UNE COPIE!)


Calcul de la limite en 5 de F(x):

(Ici, il y a deux cas à considérer comme tu l'as fait. Il faut considérer la limite à gauche (x<5) et la limite à droite (x>5) )

lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative)

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞ (un moyen de le retenir sur un brouillon c'est de se dire "1/(0^-=-∞)" <=NE JAMAIS METTRE CA SUR UNE COPIE!)


lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0⁺ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞ (un moyen de le retenir sur un brouillon c'est de se dire "1/(0⁺=+∞)" <=NE JAMAIS METTRE CA SUR UNE COPIE!)


Voilà pour la première question.


Pour la question 2), ton raisonnement est dangeureux! En effet,

Citation :

F(x) = 1/[x-5] --> Forme 1/X le forme c'est 1/[u(x)] avec u(x)=x-5

--> f'(x) = -(1 / X²) donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Pour cette rédaction est moins ambiguë? Car si je te donne la fonction G(x)=1/(2x-5) et par routine, tu m'écris que la dérivée c'est G'(x)=-1/(2x-5) et bien ça sera faux !!! En effet, ici G(x)=1/[u(x)] avec u(x)=2x-5 et donc u'(x)=2 ce qui donne G'(x)=-2/(2x-5).

Il faut être clair lorsqu'on écrit les choses car tu te comprendra beaucoup mieux d'une part et ton correcteur aussi d'autre part.

Attention!! Le signe de ta dérivée est fausse. En effet, il y a un "-" devant le 1/(x-5)², donc F'(x)<0 pour tout x appartenant à l'ensemble de définition (ce qui est cohérent avec les limite d'ailleurs et ça le corercteur en prend compte, il faut être cohérent entre tes réponses).


Attetnion pour la question 3), des erreurs que tu ne faisais plus pourtant:

Citation :

-0.01 ≤ 1/[x-5]
-0.01(x-5) ≤ 1

Ceci est vrai si et seulement si x-5>0 en effet multiplier par un nombre positif ne change pas le sens de l'inégalité mais ce n'est pas vrai si x-5<0 car cela changerait le sens des inégalités. Il faut donc considérer deux cas séparément:
1er cas: x-5>0 et 2ème cas: x-5<0

Nous verrons les questions suivantes après car on a déjà un petit travail sur cette première partie.

Bon courage!

Le raisonnement était compliqué sur les limites finies et je viens donc de faire d'autres exos dessus et normalement avec les 0⁺ et petites difficultés je suis presque compétent . Mais, c'est vrai que niveau rédaction pour les limites j'ai un peu de mal. Je récapitule :


1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.
Je vais décomposer cet encadrement en 2 égalités :

--> -0.01 ≤ 1/[x-5] ET 1/[x-5] ≤ 0.01

-0.01 ≤ 1/[x-5]
Nous avons ici deux cas de figure :
1er cas: x-5>0 et 2nd cas: x-5<0

1er cas : (x positif)


2nd cas : (x négatif)


Il ne me reste plus qu'à faire de même avec la seconde égalité :

Nous avons ici deux cas de figure :
1er cas: x-5>0 et 2nd cas: x-5<0

1er cas : (x positif)


2nd cas : (x négatif)


C'est bon pour le moment?

Toute la première partie est bonne pour le moment jusqu'au tableau de variation auquel il faudrait ajouter les limites au bornes calculer dans le 1). D'ailleurs dans ton tableau de signe pour F' il y a un + qui devrait se transformer en - mais je pense que c'est du à un problème de recopie informatique et non mathématique donc.

Sinon pour les encadrement, la méthode est déjà mieux adapté. Mais il y reste des erreurs et notamment celle-ci:

Citation :

-0.01x ≤ 0.95
x ≤ -95

Attention à ce qu'on fait avec les inégalités!!! Lorsqu'on multiplie ou divise par quelque chose de négatif on change le sens des inégalités. Je te laisse rectifier cette erreur qui te permettra de pouvoir conclure cette première partie de cette question 3).

D'ailleurs un conseille de rédaction, il faudrait traité les cas réellement séparément. C'est à dire chercher les solution tel que x-5>0 et seulement ensuite chercher les solutions pour x-5<0. Cela évitera de ne pas savoir quoi conclure, je pense.

Bon courage!

Le raisonnement était compliqué sur les limites finies et je viens donc de faire d'autres exos dessus et normalement avec les 0⁺ et petites difficultés je suis presque compétent . Mais, c'est vrai que niveau rédaction pour les limites j'ai un peu de mal. Je récapitule :


1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.
Je vais décomposer cet encadrement en 2 égalités :

--> -0.01 ≤ 1/[x-5] ET 1/[x-5] ≤ 0.01

-0.01 ≤ 1/[x-5]
Nous avons ici deux cas de figure :
1er cas: x-5>0 et 2nd cas: x-5<0

1er cas : (x positif)



2nd cas : (x négatif)


Pour x positif, on aura donc :
x ≥ 105 ≥ -95

Pour x négatif , on aura :
105 ≥ -95 ≥ x

Le calcul est juste et les conclusions partielles sont justes.

Maintenant la conclusion, général pour cette partie là, c'est? C'est à dire la solution à notre double inégalité, x doit être compris entre quoi et quoi ?

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.
Je vais décomposer cet encadrement en 2 égalités :

--> -0.01 ≤ 1/[x-5] ET 1/[x-5] ≤ 0.01

-0.01 ≤ 1/[x-5]
Nous avons ici deux cas de figure :
1er cas: x-5>0 et 2nd cas: x-5<0

1er cas : (x positif)



2nd cas : (x négatif)


Pour x positif, on aura donc :
x ≥ 105 ≥ -95

Pour x négatif , on aura :
105 ≥ -95 ≥ x

x devra donc être l'intervalle [-95 ; 105]

Alors il y a un problème dans les calculs en fait et je n'arrive pas à voir où.

Comment je vois le problème?

Entre les deux valeurs que tu proposes la fonction va exploser à l'infini en 5 et par concéquent on ne reste pas entre -0.01 et 0.01.

Je te propsoe donc une autre façon de résoudre cette question-ci car impossible de trouver un problème dans tes cacluls.

Alors nous devons cherche x tel que -0.01 ≤ 1/[x-5] ≤ 0.01

Donc on scinde en deux notre inéquation: -0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0 et 0≤ 1/[x-5]≤ 0.01

A partir de là, j'applique la fonction inverse à chacune des deux inéqautions (la fonction inverse est décroissante, attention au signe!) et du coup, on en déduit plus simplement les valeurs de x.

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5) ≥ 1/0
1/-0.01 ≥ x-5 ≥ 1/0
-1/0.01 +5 ≥ x

(Etrange le 1/0)


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/0 ≥ 1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
1/0 ≥ x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 1/0.01 - 5

(Même remarque)

Conclusion : x sera donc compris entre :

Bonjour,

Alors -1/0.01=-100 et 1/0.01=100

Ainsi dans la première partie, on a: x≤-95 et dans la deuxième on a x≥105. Et en effet, il s'agit de la même chose que la dernière fois sauf que cette fois je vissualise l'erreur par rapport à hier .

L'erreur était dans la conclusion hier et aujourd'hui aussi. En effet, on trouve donc:

x≤-95 ET x≥105

Qu'est-ce que cela donne en matière d'intervalle "x≤-95" ? De même pour "x≥105"? ET par concéquent la conclusion est ?


ps: une remarque, on ne marque pas 1/0 dans les inégalités, donc dès qu'on passe à l'inverse, on ne garde que le côté de l'inégalité non nul.

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Nickel!

Un moyen de vérifier que notre réponse est juste est de regarder letableau de variation de F. EN effet, à l'infini F tend vers 0, notre réponse est donc logique sachant que si on se repproche trop près de 5, F(x) est de plus ne plus grand vu qu'elle tend vers plus ou moins l'infini en 5.


Maintenant, si tu as saisi le principe de résolution que donne la deuxième partie de cette question? ON rempalce en faite 0.01 par a>0 sinon il n'y aurait pas de solution.

Bon courage!

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5 ≥ x ]U[x ≥ 1/a + 5;+∞[

Un copier coller un peu trop rapide pour les intervalles . Il n'y a plus de x dans les intervalles heureusement .

Sinon, tout est juste t'as compris la démarche je pense.

Alors pour la question suivante, on va cherche a être supérieur à un nombre donnée, donc logiquement plus F sera grand et plus il a de bonnes chances d'être supérieur à un nombre donnée. Donc , nous devrions nous rapprocher d'un intervalle contenant la borne 5 vu que notre fonction part à l'infini en 5.

Tu vois avec juste une petite analyse de la question par rapport au tableau de variation, on arrive à avoir une idée très concrète d'où va se situer la solution à notre problème. Il reste toujours les calculs à faire bien entendu mais nous aurons un moyen simple de savoir si ils sont justes ou pas. Le tableau de variation est vraiment une mine d'or d'information sur une fonction et le négliger dans ce genre de question serait une erreur, je pense.

Bon courage!

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5]U[1/a + 5;+∞[
Exact pour le copier-coller trop rapide

4. f(x) ≥ 100
1/(x-5) ≥ 100
1 ≥ 100(x-5)
1 ≥ 100x -500
501 ≥ 100x
501/100 ≥ x
5.01 ≥ x
--> x devra donc être inférieur ou égal à 5.01 (Ca semble coller avec ce que tu disais sur la base du tableau de variations en tout cas).

Je te conseille d'utiliser, la fonction inverse pour résoudre ton inégalité car c'est plus simple dans ce cas de figure là et ça évite de précisé que x-5 est positif ici.

En tout cas ta solution est juste et qu'est-ce que celà donne au niveau de l'intervalle de solution? Attention au piège! Lis bien le tableau de variation pour voir si ton intervalle solution va être cohérent ou pas avant de répondre .

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5]U[1/a + 5;+∞[
Exact pour le copier-coller trop rapide

4. f(x) ≥ 100
1/(x-5) ≥ 100
x-5 ≤ 1/100
x ≤ 1/100 + 5
x ≤ 5.01

--> x devra donc être inférieur ou égal à 5.01 (Ca semble coller avec ce que tu disais sur la base du tableau de variations en tout cas).
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 5.01]

Nickel!

Et maintenant si on généralise avec un A>0 ?

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5]U[1/a + 5;+∞[
Exact pour le copier-coller trop rapide

4. f(x) ≥ 100
1/(x-5) ≥ 100
x-5 ≤ 1/100
x ≤ 1/100 + 5
x ≤ 5.01

--> x devra donc être inférieur ou égal à 5.01 (Ca semble coller avec ce que tu disais sur la base du tableau de variations en tout cas).
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 5.01]

Comme pour la question précédente, je n'ai ici qu'à remplacer par A :
f(x) ≥ A
1/(x-5) ≥ A
x-5 ≤ 1/A
x ≤ 1/A + 5

--> x devra donc être inférieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 1/A+5]

Normalement c'est bon.

5.
f(x) ≤ -100
1/(x-5) ≤ -100
x-5 ≥ 1/(-100)
x ≥ -1/100 + 5
x ≥ 4.99

--> x devra donc être supérieur ou égal à 4.99.
x devra donc se situer sur l'intervalle [4.99 ; 5[

Ici, je n'ai plus qu'à remplacer par A, A étant un nombre strictement négatif.

f(x) ≤ A
1/(x-5) ≤ A
x-5 ≥ 1/A
x ≥ 1/A + 5

--> x devra donc être supérieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle [1/A +5 ; 5[

[Et, tout colle vu que A est strictement négatif]

Tout est juste en effet !

Bon maintenant, on n'avait pas répondu au question "Que peut-on en conclure?" pour les 3 cas de figure. Alors je te là pose que peut-on conclure pour chacun des cas? (je te conseille de regarder les définitions des limites en un point et à l'infini ).

Après je te laisse faire les figure pour les trois questions.

Bon courage!

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5]U[1/a + 5;+∞[
Exact pour le copier-coller trop rapide


4. f(x) ≥ 100
1/(x-5) ≥ 100
x-5 ≤ 1/100
x ≤ 1/100 + 5
x ≤ 5.01

--> x devra donc être inférieur ou égal à 5.01 (Ca semble coller avec ce que tu disais sur la base du tableau de variations en tout cas).
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 5.01]

Comme pour la question précédente, je n'ai ici qu'à remplacer par A :
f(x) ≥ A
1/(x-5) ≥ A
x-5 ≤ 1/A
x ≤ 1/A + 5

--> x devra donc être inférieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 1/A+5]

Normalement c'est bon.

5.
f(x) ≤ -100
1/(x-5) ≤ -100
x-5 ≥ 1/(-100)
x ≥ -1/100 + 5
x ≥ 4.99

--> x devra donc être supérieur ou égal à 4.99.
x devra donc se situer sur l'intervalle [4.99 ; 5[

Ici, je n'ai plus qu'à remplacer par A, A étant un nombre strictement négatif.

f(x) ≤ A
1/(x-5) ≤ A
x-5 ≥ 1/A
x ≥ 1/A + 5

--> x devra donc être supérieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle [1/A +5 ; 5[

[Et, tout colle vu que A est strictement négatif]




Arf.... A part dire que A est un nombre aussi grand qu'on veut et a un nombre aussi petit qu'on veut je ne vois pas...
Je ne comprends pas ce que je dois faire également pour les petits dessins... Des petits graphiques?

Pour les dession c'est en effet des grpahique qu'ils attendent. Tu places a et -a et tu traces les droites correspondantes. Pour bien montrer que ton résultat est cohérent, tu met en évidence les point d'intersection avec ta croube Cf. Et tu met d'une autre couleur la partie de F(x) correspondant à ton inéquation et tu met d'une autre couleur la partie des abscisse te donnant la solution.

En gros c'est ça et pareil pourl es 2 autre question (tu fais 3 graphique bien entendu).

Et sinon, vu que a est aussi petit qu'on veut, on montre bien que la limite lorsque x est très grand et bien f(x) sera très petit ce qui correspond bien à la définition de la limite quand x tend vers l'infini (+ ou -) de F(x) et qui est égale à 0.

De même pour le A, on démontre à l'aide de majoration et de minoration, la limte de F(x) lorsque x tend vers 5 (+ ou -)


Est-ce plus clair ?

1. Déjà, il faut trouver l'ensemble de définition :

Df(x) = ] -∞ ; 5 [U] 5 ; +∞[



On a: lim_x-->-∞ (x-5) = -∞

Donc lim_x-->-∞ F(x) = 0 car lim_x-->-∞ 1/x=0



On a: lim_x-->+∞ (x-5) = +∞

Donc lim_x-->+∞ F(x) = 0 car la lim_x-->+∞ 1/x=0
[Ici, tu as fait une petite erreur dans ton post, tu as mis que x tendait vers
-∞ au lieu de +∞ ]




ici, deux cas :


lim_{x-->5 ; x < 5} (x-5) = 0^- (On constate ici que si x<5 alors x-5<0, donc ça tend vers 0 mais par valeur négative) [--> Merci pour cette précision. Pour trouver si j'avais affaire à 0⁺ ou ^- , je prenais une valeur proche de 5 par exemple et regardait le signe.]

Donc lim_{x-->5 ; x < 5} F(x) = -∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = -∞



lim_{x-->5 ; x > 5} (x-5) = 0+ (On constate ici que si x>5 alors x-5>0, donc ça tend vers 0 mais par valeur positive)

Donc lim_{x-->5 ; x > 5} F(x) = +∞ car lim_{x-->0; x<0} 1/x = +∞


2.
2. f(x) = 1/[x-5] --> 1/[u(x)] avec u(x)=x-5 [Oui, je reconnais après coût que c'était assez hasardeux...]
Donc F'(x)=-[u'(x)]/[u(x)²] donc f'(x) = -[1/(x-5)²]

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Donc, j'en déduis le tableau de variations suivant :

--> f(x) est donc décroissante sur son ensemble de définitions.


3.

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-0.01 ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-0.01 ≥ 1/(1/x-5)
1/-0.01 ≥ x-5
-95 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ 0.01
1/(1/(x-5)) ≥ 1/0.01
x-5 ≥ 1/0.01
x ≥ 100 + 5
x ≥ 105

Donc on a :


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; -95]U[105;+∞[

Pour la seconde partie de la question, il faut remplacer 0.01 par a>0 :

Je décompose cette inéquation en 2 autres :


-a ≤ 1/[x-5] ≤0
1/-a ≥ 1/(1/x-5)
1/-a ≥ x-5
1/-a + 5 ≥ x


0≤ 1/[x-5]≤ a
1/(1/(x-5)) ≥ 1/a
x-5 ≥ 1/a
x ≥ 1/a + 5

Donc on a :
x ≥ 1/a + 5 ET 1/-a + 5 ≥ x


x devra donc être compris sur l'intervalle ]-∞ ; 1/-a + 5]U[1/a + 5;+∞[
Exact pour le copier-coller trop rapide


4. f(x) ≥ 100
1/(x-5) ≥ 100
x-5 ≤ 1/100
x ≤ 1/100 + 5
x ≤ 5.01

--> x devra donc être inférieur ou égal à 5.01 (Ca semble coller avec ce que tu disais sur la base du tableau de variations en tout cas).
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 5.01]

Comme pour la question précédente, je n'ai ici qu'à remplacer par A :
f(x) ≥ A
1/(x-5) ≥ A
x-5 ≤ 1/A
x ≤ 1/A + 5

--> x devra donc être inférieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle ]5 ; 1/A+5]

Normalement c'est bon.

5.
f(x) ≤ -100
1/(x-5) ≤ -100
x-5 ≥ 1/(-100)
x ≥ -1/100 + 5
x ≥ 4.99

--> x devra donc être supérieur ou égal à 4.99.
x devra donc se situer sur l'intervalle [4.99 ; 5[

Ici, je n'ai plus qu'à remplacer par A, A étant un nombre strictement négatif.

f(x) ≤ A
1/(x-5) ≤ A
x-5 ≥ 1/A
x ≥ 1/A + 5

--> x devra donc être supérieur ou égal à 1/A + 5
x devra donc se situer sur l'intervalle [1/A +5 ; 5[

[Et, tout colle vu que A est strictement négatif]



Avec a aussi petit que je feux et proche de 5?
pour la 3 on a donc :

lim_x-->+Inf. f(x) = +Inf. ???

En fait les 3 question suviantes te donne une redémonstration des calculs de limite tout simplement.

Lorsque tu fais tendre a vers 0, tu trouves que F(x) tend bien vers 0 (théorème des gendarmes) et ceci pour x tendant vers + ou - l'infini (car l'intervalle se réduit à l'union de - et + l'infini).

De même lorsque A tend vers + l'infini pour la question suivant, on retrouver bien que x tend vers 5⁺ et F(x) tend vers +Inifin. ET même réflexion pour lorsque A tend vers -Infini.


Ici, on te redémontre sur un exemple, la capacité à donner un sens concret à la notion de limite d'une fonction tout simplement.

Pour le 3, je dois donc mettre que lim_{x-->+ou -Inf.} = 0
Pour le 4, je dois donc mettre que lim_x-->5+ = +Inf.
Pour le 5, je dois donc mettre que lim_x-->5- = +-Inf.