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 Distance d'un point à une droite

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Jjl



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MessageSujet: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 13:02

Bonjour on m'a donné cet exercice :
(O,i,j,k) est un repère orthonormé de l'espace.
On considère un point A et une droite D définie par l'un de ses points B et par un vecteur directeur u.
Montrer que la distance de A à D est AH= ||AB*u||/ ||u ||
Indication: On pourra raisonner sur l'aire d'un triangle bien choisi
2)calculé par ce procédé la distance de A à D avec:
A(2,2,1) B(4,2,0) et u(-2,3,1).
j'ai essayé de faire cet exercice mais bon je n'ai pas trop compris comment calculé AH même après avoir vu le corrigé,le corrigé c'est:
On sait que Aire(ABC)=1/2*||AB^AC||(ça je le sais il n'y a rien a comprendre)<=>AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||=>AH= ||AB^u|| / ||u|| ensuite AH= (3*√5)/√14.

Mais je ne vois pas du tout pourquoi il a écris "AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||" AB+BC =AC mais bon.
Je tient a précisé que AB,BC u sont des vecteur même si tu doit t'en douté.
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Jjl



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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 15:39

le point C c'est le point tel que le vecteur u= vecteur BC. Donc C et B sont sur la droite D.
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 16:09

Bonsoir,

Si on considère que H est le projeté de A sur (D), on obtient de fait l'aire de ABC en considérant la hauteur issue de A.
Du coup, Aire(ABC)=AH*BC / 2 ce qui donne bien: Aire(ABC)= AH*||u|| / 2

Maintenant, il y a aussi le fait que:
Aire(ABC)=1/2*||AB^AC||

Donc:
AH*||u|| / 2 = 1/2*||AB^AC||

Puis en multipliant par 2 l'égalité, on obtient bien:
AH*||u|| = ||AB^AC||

Le reste est une utilisation de la relation de Chasles sur AC.

Bonne continuation!

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Jjl



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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 19:07

Je crois que j'ai compris un peu enfaîte Aire(ABC)=1/2*||AB^AC|| mais nous n'avons pas le vecteur AC donc on utilise le vecteur BC et la distance AH= a la distance AB(ça s'écrit comme ça je crois "AH= ||BC|| et ||BC| c'est la base du triangle,AH c'est la hauteur donc 1/2*||AB^AC||=1/2*AH*||u|| avec vecteur BC=vecteur U mais ce qui me gêne c'est "AH*||u||= ||AB^(AB+BC)||" donc ça voudrais dire que AB^AB "disparait" c'est égal à 0?
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 19:31

En effet, le produit vectoriel caractérise la colinéarité.

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Jjl



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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Dim 6 Oct - 19:32

Ah ok je n'avais pas pensé que AB^AB=0 mais c'est logique en effet.
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MessageSujet: Re: Distance d'un point à une droite   Aujourd'hui à 4:08

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