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 Exercice Maths Spé sur nombres premiers

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MrTheYo



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MessageSujet: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Dim 12 Oct - 17:14

Salut!
Me revoici (désolé j'arrête pas j'suis surbooké...) avec un exercice sur les nombres premiers en maths spé. avec un doute sur la question 2 et un trou sur la 3 vu qu'en fait, je ne sais prouver qu'un nombre est entier quand il est chiffré où, quand il y en a 2 en faisant intervenir un codiviseur et etc... mis là, une seule expression intervient et pas une facile en plus...

Voici l'énoncé :

Soit x un nombre entier naturel non nul fixé.

1. Que peut-on dire de la suite : 1 ; -x ; x² ; -x3 ; x4 ; ...... ; x2n ..... ?

2. Soit un nombre entier naturel non-nul. Donner une expression simple de la somme :

1 - x + x² -x3 + x4 -........ + x2n.

3. Le nombre 1 + x(2n+1) est-il premier?


--------------------------------------


1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1+x2n+1)/(1+x)

3. 1 + x2n+1 premier?

Et voilà pour l'instant. J'ai un léger doute sur la puissance à assigner à q pour la question 2. et la question 3, j'ai eu beau chercher dans tout mon cahier ben... rien... lol!
Merci d'avance!
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Dim 12 Oct - 18:49

Bonsoir,

La question 1) est bonne sauf qu'il ne faut pas oublier de préciser le premier terme de la suite en plus de sa raison.

La question 2) est juste mais peut-être mettre une étape intermédiaire pour bien montrer que (-x)2n+1= [(-1)2n+1]*x2n+1=(-1)*x2n+1. Mais sinon c'est juste en effet.

Alors pour la question 3), il faudrait avoir si T=1 + x2n+1 est premier ou pas.

qu'est-ce que cela veut dire "être un nombre premier"? Cela signifie qu'il est divisible que par lui-même et par 1.

C'est à dire qu'il ne peut peut pas se factoriser de la forme p*q avec n et p deux entier naturel différent de 1.

Donc si tu trouves une expression de la forme T= p*q avec p et q deux nombres entiers naturels différents de 1 alors T n'est pas premier.

Alors comment peut-on procéder ?

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mar 14 Oct - 18:57

Désolé, j'ai pas pu répondre plus tôt...
Je récapitule :


1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1+x2n+1)/(1+x)

Où dois-je incorporer précisément l'étape intermédiaire que tu as écrites?


3. 1 + x2n+1 premier?

Citation :
Il faudrait voir si T=1 + x2n+1 est premier ou pas

Citation :
Donc si tu trouves une expression de la forme T= p*q avec p et q deux nombres entiers naturels différents de 1 alors T n'est pas premier.

Je pourrais tenter de factoriser je présume
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mar 14 Oct - 19:19

Bonsoir,

Ne t'inquiète pas pour le temps de latence nous ne sommes pas infaillible non plus de notre côté.

Citation :
S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1+x2n+1)/(1+x)

Où dois-je incorporer précisément l'étape intermédiaire que tu as écrites?

Ce n'est pas une obligation de l'ajouter comme je te l'ai dit. Mais comme on dit souvent lorsque c'est simple cela ne prend pas longtemps de le dire. Tu peux donc ajouter une étape de plus entre le égale rouge par exemple voire deux étapes c'est toi qui voit après.


Sinon pour la question finale, il faut en effet chercher à factoriser.... Enin pas sur, cela dépent après tout... Aller j'affirme: "Tu connais déjà la factorisation". Ce n'est pas forcément évident mais tu l'as écrite sur ta feuille.

Je te laisse encore chercher à l'aveugle pour le moment mais tu as vraiment écrit la factorisation sur ta feuille mais pas forcménet dans la forme où tu l'attends le plus. N'hésite pas à poser des questions si cette question continue à être résistante, je verrait comment t'aiguiller sur la solution.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mer 15 Oct - 11:41

1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1-[(-1)2n+1]*x2n+1)/(1+x)= (1- (-1)*x2n+1)/(1+x) = (1+x2n+1)/(1+x)

C'est bien cela?

3. Déjà, je pense que ça va jouer avec la somme qu'on a calculée plus haut ou avec la raison de la suite mais, j'ai beau essayer, je vois pas par où factoriser...
2n + 1 je ne peux pas le remplacer par la somme calculée donc je vois pas...
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mer 15 Oct - 16:55

Il faut adapter ce que je te dis si tu le mets directement de l'égalité vu que ce n'était pas le seul terme présent dans ton calcul Wink.

J'ai mis ne rouge dans ton dernier message ce qui peut être fait.


Sinon, on vient donc de montrer que S= (1 + x2n+1)/(x+1), jusque là je n'ai pas encore inventer la poudre Wink. A partir de cette expression là, tu va pouvoir te ramener à:

1 + x2n+1 = ??

Il restera à montrer que tes deux termes sont bien des entiers non égaux à 1 et ça sera nickel. Cela devrait te débloquer je pense mais si besoin n'hésite pas à poser des questions intermédiaire si tu ne comprends pas quelque chose.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mer 15 Oct - 17:28

1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1-[(-1)2n+1]*x2n+1)/(1+x)= (1- (-1)*x2n+1)/(1+x) = (1+x2n+1)/(1+x)

Merci pour la retouche j'avais pas capté lol!

3.
Citation :
on vient donc de montrer que S= (1 + x2n+1)/(x+1),


1 + x2n+1 = S * (x+1)

Citation :
Il restera à montrer que tes deux termes sont bien des entiers non égaux à 1 et ça sera nickel.

On a donc 2 termes : S et (x + 1) :

* (x+1) = 0
x = -1 ---> Nombre premier.

* Pour S, j'ai juste à remplacer x par -1 non?
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Mer 15 Oct - 18:55

La relation que tu donnes est valable pour tout x et doit le rester. En effet, la question est:

1 + x2n+1 est-il premier? Il n'y a donc aucune condition sur le réel x.

Tu as: 1 + x2n+1 = S * (x+1)

Donc après 1 + x2n+1 est premier si et seulement si il est non nul et différent de 1 et qu'il n'est pas factorisable (c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme n*p avec n et p deux entiers différents de 1).

Donc à quelles conditions sur S et (x+1), 1 + x2n+1 serait-il premier ?

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Jeu 16 Oct - 15:31

Si, on ne peut pas dire que :

S = kS'
et
(x+1) = k(x+)'
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Jeu 16 Oct - 15:36

Désolé, je n'ai pas compris ce que tu voulais dire.

Ne pas oublié que ce n'est pas S dont on cherche à montrer qu'il est premier mais c'est bien 1 + x2n+1. Donc à partir de notre égalité que peut-on en déduire ?

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Jeu 16 Oct - 17:19

En fait, je voulais dire qu'il faut que (x+1) ne puisse pas s'écrire sous la forme

(x+1) = kx avec k une constante et x un nombre donc, il ne faut pas que x+1 soit divisible par un k différent de 1 ou lui-même.

Citation :
Donc après 1 + x2n+1 est premier si et seulement si il est non nul et différent de 1 et qu'il n'est pas factorisable (c'est à dire qu'on ne peut pas l'écrire sous la forme n*p avec n et p deux entiers différents de 1).

Donc à quelles conditions sur S et (x+1), 1 + x2n+1 serait-il premier ?

1 + x2n+1 serait donc premier si il n'est pas divisible par S ou (x+1).
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Jeu 16 Oct - 19:03

Citation :
1 + x2n+1 serait donc premier si il n'est pas divisible par S ou (x+1).


Mais il y a une égalité ce qui implique donc qu'on a déjà la décomposition Wink. Maintenant reste à montrer que les facteurs de la décomposition ne sont pas égaux à 0 ou 1 et si c'est le cas pour certain x, il faut vérifier pour les valeurs de x correspondantes si le nombre qu'on trouve est premier ou pas tout simplement.

Bon courage!

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Ven 17 Oct - 15:31

Désolé mais j'ai pas compris... Embarassed
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Ven 17 Oct - 16:50

Ok.

On laisse de côté ton exercice pour le moment et on va reprendre à la base ça sera plus simple. Je n'ai peut-être pas été très pédagogique dans mes derniers messages dû à un léger manque de temps (et oui, je ne suis pas à l'abri Wink donc si tu ne comprend pas n'hésite pas m'interrompre comme tu viens de le faire Smile).

Définition d'un nombre premier:

Un nombre premier est un entier naturel qui n'est divisible que par 1 et par lui-même.

Exemple: 2, 7, 19 et 23 sont des nombres premiers

Remarque: 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur qui est 1.


Du coup, on peut définir un nombre qui n'est pas premier:

Un entier naturel n'est pas premier si il admet un diviseur différent de 1 et de lui-même.

Exemple: 6=2*3 et 45=5*9 sont des entiers qui ne sont pas premiers.


A partir de là, il se pose une question: Comment montrer qu'un nombre entier n'est pas un nombre premier?

Soit x un entier naturel,

x n'est pas premier si et seulement si il existe un entier naturel p tels que:
p≠1 et p≠x
p divise x


b]c'est à dire qu'il existe un entier naturel q tel que
x=p*q
[/b]

Vu que p≠1 et p≠x, q est nécessairement différent de 1 et de x aussi.


Est-ce que jusque là, ça va?

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 18 Oct - 10:53, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Ven 17 Oct - 19:50

Jusque là c'est ok Smile
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Ven 17 Oct - 21:39

Bon maintenant revenons à notre exercice et à cette dernière question.

On nous a fait calculer la somme S d'une suite géométrique de raison q=x et de premier terme U0=1

Tu as trouvé S= (1-x2n+1)/(1-x)

Ici, on a oublié de dire quelque chose d'important à cette question. En effet, on fait le calcul pour tout entier x mais le résultat qu'on donne c'est pour x≠1. Et oui on n'a pas le droit de diviser par (1-x) si x=1.

Il nous manque donc un cas que tu n'as pas encore traité pour cette question là, à quoi est égale cette somme pour x=1 ?

Ensuite on passera enfin à la dernière question et je pense que tout va être un peu plus clair.

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Dernière édition par Blagu'cuicui le Sam 18 Oct - 13:22, édité 2 fois
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 10:46

Citation :
Exemple: 6=2*3 et 45=5*9 sont des entiers qui ne sont pas premiers. (erreur corrigée, j'étais pas réveillé lol)
Là, je pense qu'il y a une erreur (désolé de pas l'avoir signalé plus tôt).

1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1-[(-1)2n+1]*x2n+1)/(1+x)= (1- (-1)*x2n+1)/(1+x) = (1+x2n+1)/(1+x)

avec x ≠ 1

Citation :
à quoi est égale cette somme pour x=1 ?

Ben, on ne peut pas le calculer vu qu'on aurait une fraction avec 0 au dénominateur ce qui est impossible.
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 10:58

Il s'agit d'une somme finie d'entier dans tous les cas nous pouvons la calculer, heureusement d'ailleurs Wink.

Nous faisons la somme de k=0 à 2n de (-1)k. Il y a 2n+1 terme dans cette somme (un nombre impair de termes donc), donc à quoi elle est égale ?

La remarque du début d'ailleurs, permet de te dire que S est un entier naturel dans tous les cas (cela servira pour la dernière question d'ailleurs).

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 12:56

J'suis désolé je comprends pas la démarche...
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 13:33

En fait je voulais faire un rappel sur la somme d'une suite géométrique car tu n'avais pas précisé que la raison de celle-ci était différente de 1.

En effet, la sommes, S, d'une suite géométrique de raison q et de premier terme U0 est égale à:

Si q≠1, U0*(1-qnombre de terme)/(1-q)

Si q=1, U0*(nombre de terme)


Donc ici: q=-x avec x un entier non nul.

On constate donc que q ne peut pas être égale à 1 et ceci pour toute valeur de x mais il faut le dire lorsqu'on fait le calcul. Cependant, n'oublie pas que lorsqu'on a une raison qui est égale à 1, on peut toujours faire le calcul de la sommes d'une suite géométrique de raison q=1. Car lorsqu'on effectue nue sommes de terme, on n'effectue pas de division Wink.


Bon revenons à nôtre dernière question. Que savons nous?

S=(1+x2n+1)/(1+x) et ceci pour tout x

Donc 1+x2n+1 = S*(1+x)

Nous savons aussi que S est une somme d'entier relatif (dû au changement de signe), donc S est un entier relatif. Mais nous savons aussi que pour tout entier naturel x non nul, S=(1+x2n+1)/(1+x) >0.

S est un entier relatif et S>0 => S est un entier naturel non nul

Et enfin, on sait aussi que (x+1) est un entier naturel et (x+1)>1 car x est non nul


La conclusion actuelle est donc que 1+x2n+1 est égale à un produit d'entier non nul S et (x+1) et que (x+1) ne peut pas être égale à 1.

Maintenant, si on montre que 1+x n'est pas égale à 1+x2n+1, on aura bien montrer que (1+x2n+1)= p*q avec p et q des entier non nul et différent de 1.

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 15:09

Je pense avoir saisi :
Citation :
Maintenant, si on montre que 1+x n'est pas égale à 1+x2n+1, on aura bien montrer que (1+x2n+1)= p*q avec p et q des entier non nul et différent de 1.


Je vais récapituler ce qui était bon pour ne pas oublier d'éléments importants :

1. Cette suite est une suite géométrique de raison q = -x

2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

avec u0 = 1 et q = -x

S = 1 * [(1-(-x)2n+1)/(1-(-x)] = (1-[(-1)2n+1]*x2n+1)/(1+x)= (1- (-1)*x2n+1)/(1+x) = (1+x2n+1)/(1+x)

avec x différent de 1

3. Je dois donc prouver que x+1 différent de x2n+1 +1.
Mais, si n = 0 alors, les 2 seront identiques. Ca me semble light comme explication...
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Sam 18 Oct - 15:28

Citation :
2. Somme suite géométrique :

S = u0 * [(1-qn+1)/(1-q)]

C'est ici qu'il faut dire que q est différent de 1, sinon cette égalité n'est pas vrai.


Pour la dernière question, il faut tout de même écrire le raisonnement qui admet à ne vérifié que le cas ou 1+x2n+1=1+x.

Donc après calcul on montre que cette égalité est vrai si et seulement si x*(x2n - 1)=0 c'est à dire si x=0 ou si x2n=1 c'est à dire x=0 ou x= ??

Il faut savoir qu'on cherche à savoir si c'est vrai pour tout n, donc les condition se font sur la valeur de x et non sur celel de n.

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Dim 19 Oct - 8:58

x*(x2n -1) = 0
Si x = 0 ou si x2n = 1

DONC :

Si x = 0 ou x = ?

x2n = 1
xn * xn = 1
xn = 1 / xn

Comment puis-je trouver le x sans puissance là?
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Dim 19 Oct - 9:23

Bonjour,

J'ai corrigée une erreur dans ton expression mais sans concéquence pour la suite.

Sinon, avant de se lancer dans les calculs réfélchissons un peu. On cherche un entier naturel non nul tel que si on l'élève à une puissance il soit égale à 1.

Il faut savoir une chose primordiale dans la famille des entier naturel:

Citation :
Soit a et b appartenant à N

On a: a*b=1 => a=b=1

En effet, un multiplication d'entier naturel égale à 1 implique forcément que les facteurs sont égaux à 1.


En passant cela te servira sans doute plus tard, comment cela se passe dans l'ensemble des entiers relatifs (Z)?

Citation :
Soit a et b dans Z

On a: a*b=1 => a=b=1 ou a=b=-1

En effet, le seul moyen d'obtenir 1 par produit d'entiers relatifs, c'est que chacun des facteurs soient tous égaux à 1 ou tous égaux à -1.


Cela ne marche plus dans Q et R car a*(1/a)=1 pour tous rationnelle ou réel a.


Maintenant avec ces rappels là, est-ce qu'on ne pourrait pas déduire la valeur de x qu'on cherche ?

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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Dim 19 Oct - 9:58

x*(x2n -1) = 0
Si x = 0 ou si x2n = 1

DONC :

Je reprends ici :

Si x = 0 ou x = ?

x2n = 1
xn * xn = 1
Donc x devra être égal à 1 non?
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MessageSujet: Re: Exercice Maths Spé sur nombres premiers   Aujourd'hui à 4:09

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