Etude fonction avec logarithme

Salut!
Voici enfin le 3ème est dernier exercice du petit florilège énoncé . On parle ici de fonction assez compliquée avec un log.

Voici l'énoncé :



1. Soit f la fonction définie par f(x) =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)] pour x appartient ]-1 ; 1[.
Etudier les variations de f sur ]-1 ; 1[, on montrera que f est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Etudier les limites de f en +1 et en -1.
Conséquences graphiques?
3. Etablir le tableau de variations de la fonction f.
4. Construire la courbe de f ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0.
5. Démontrer que la fonction f possède une fonction réciproque dont on donnera les intervalles de départ et d'arrivée.
6. Exprimer x en fonction de y, sachant que y = f(x)
7. On appelle g la fonction qui à y associe x (voir question précédente), tracer le courbe de g sur le même dessin.



Voici mes réponses :

1. Déjà, j'ai eu du mal pour la dérivée ... Je sais que c'est bon mais, je n'ai pas compris comment ils ont fait dans le livre...

Soit u(x) = (1+x)/(1-x)
On a : u'(x) = [(1-x)(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)²

DONC :

f'(x) = (1/2)[2/(1-x)²](1/[(1+x)/(1-x)])
f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)²

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



J'en déduis donc le tableau de variations de f(x) :



Donc f(x) strictement croissante sur ]-1 ; 1[.



2.
f(x) = (1/2)ln[(1+x)/(1-x)]

lim_{x --> -1} [(1+x)/(1-x)] = 0
or, ln(0) n'existe pas... Donc, là je bloque...



3.
Là, je ne comprends pas vu que j'ai déjà fait un tableau de variations à la question 1.


4.
y = f'(a)(x-a) + f(a)
y = f'(0)(x-0) + f(0)

avec f(0) = 0
et f'(0) = -1

DONC :

y = -1(x -0) + 0
y = -x


5. Fonction réciproque? A partir de cette question je bute totalement...
J'aurais donc besoin de pas mal d'explications là je pense .
Merci d'avance!

Bonsoir,

La fonction n'est pas des plus simple en effet. Alors que faut-il retenir pour la fonction logarithme népérien, noté ln (ou Ln ici).

On a quelque propriétés à savoir:

Citation :

La fonction Ln est définie sur ]0;+∞[ à valeur dans R et elle est dérivable sur ]0;+∞[.

Pour tout x dans ]0;+∞[, [Ln(x)]'= 1/x c'est à dire que la dérivée de Ln est égale à x|--> 1/x

La limite quand x tend vers 0 de Ln(x) est égale à -∞

la limite quand x tend vers +∞ de Ln(x) est égale à +∞

Ensuite pour les propriétés fondamentales ce sont:

Citation :

Pour tout x dans ]0;+∞[, e^Ln(x)=x (ceci est bien définie car la fonction Ln est définie sur ]0;+∞[ à valeur dans R et que la fonction exponentielle est définie sur R). On dit que la fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme népérien sur ]0;+l'infini[


Pour tout x dans R, Ln(e^x)=x (ceci est bien défini car la fonction exponentielle est définie sur R à valeur dans ]0;+∞[ et que la fonction Ln est définie sur ]0;+∞[). On dit que la fonction logarithme népérien est la fonction réciproque de la fonction exponentielle sur R


Ln(a*b)=Ln(a) + Ln(b)

Ln(1/a)= - Ln(a)

Donc à partir de là, pour la première question, il s'agit de dériver une fonction de la forme (1/2)*Ln(U(x)) avec u(x)=(1+x)/(1-x)

Il s'agit donc d'une fonction composée, et sa dérivée vaut: (1/2)*U'(x)*(1/U(x))

Or U'(x)= 2/(1-x)² comme tu l'as bien calculé.

Donc F'(x)= (1/2)*[2/(1-x)²]* (1/[(1+x)/(1-x)] ) = [1/(1-x²)]*[(1-x)/(1+x)] = (1-x)/[(1-x)*(1-x)*1+x)]

D'où en simplifiant par 1-x, on obtient:

F'(x)=1/[(1-x)*(1+x)] D'où pour tout x dans ]-1,1[, F'(x)= 1/(1-x²)

Tu avais donc une erreur dans ton calcul de dérivée et ton erreur était simplement à la fin où tu as recopié un carré qui avait déjà été simplifié avant.

A partit de là, on te demande seulement de montrer que F est strictement croissante sur ]-1;1[ (on ne te demande pas de donnée son tableau de variation, il n'y as donc pas de problème avec la question 3).


Avec les rappels sur les limites devrait pouvoir débloquer la question suivante normalement et le rappel suivant sur les fonctions réciproques:

Citation :

F est une fonction réciproque de G sur l'intervalle I si et seulement si pour tout x dans I, G(I) est dans l'ensemble de définition de F et que F(G(x))=x

Devrait pouvoir débloquer la suite.

Je te laisse reprendre l'exercice à la lueur de tous ses rappels et n'hésite pas à poser des questions i j'ai été trop loin pour le moment où si quelque chose n'est pas clair.

Bon courage!

Salut!
Voici enfin le 3ème est dernier exercice du petit florilège énoncé . On parle ici de fonction assez compliquée avec un log.

Voici l'énoncé :



1. Soit f la fonction définie par f(x) =(1/2)ln[(1+x)/(1-x)] pour x appartient ]-1 ; 1[.
Etudier les variations de f sur ]-1 ; 1[, on montrera que f est strictement croissante sur cet intervalle.
2. Etudier les limites de f en +1 et en -1.
Conséquences graphiques?
3. Etablir le tableau de variations de la fonction f.
4. Construire la courbe de f ainsi que sa tangente au point d'abscisse 0.
5. Démontrer que la fonction f possède une fonction réciproque dont on donnera les intervalles de départ et d'arrivée.
6. Exprimer x en fonction de y, sachant que y = f(x)
7. On appelle g la fonction qui à y associe x (voir question précédente), tracer le courbe de g sur le même dessin.



Voici mes réponses :

1. Déjà, j'ai eu du mal pour la dérivée ... Je sais que c'est bon mais, je n'ai pas compris comment ils ont fait dans le livre...

Soit u(x) = (1+x)/(1-x)
On a : u'(x) = [(1-x)(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)²

DONC :

f'(x) = (1/2)[2/(1-x)²](1/[(1+x)/(1-x)])
f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :



Comment établir les variations et prouver que f(x) est strictement croissante sur ]-1 ; 1[ sans tableau de variations?

Je peux juste dire que comme f'(x) est négative sur l'intervalle ]-1 ; 1[ alors, f(x) sera strictement croissante sur ce même intervalle.
Mais à part ça, je vois pas...



2. J'ai essayé de factoriser le contenu du ln mais, ça tend vers - Inf. et ln n'a pas de limite quand ln tend vers -Infini...

Pour montrer la strict croissance, il suffit de montrer la strict positivité de la dérivée tout simplement.

En fait, dans la majorité des cas on montre que la dérivée est soit positive soit négative ce qui nous donne soit la croissante soit la décroissance. On ne se préoccupe que rarement des cas de strict monotonie. Mais celà est utile dans certaine situation et ici c'est le cas.

Donc pour montrer que c'est strictement croissant, il faut et il suffit de montrer que pour tout x dans l'ensemble considéré, F'(x)>0 (et inversement pour montrer qu'une fonction est strictement décroissante, on montre que sur l'ensemble considéré, F'(x)<0 mais ceci nous intéresse pas pour notre exo).


Pour la limite, tu avais bien commencer mais n'oublie pas qu'il s'agit d'une limite de fonction composée donc si l'intérieur du Ln tend vers 0 lorsque x tend vers -1 alors il reste à cacluler la limite de Ln(X) quand x tend vers 0.

Si tu as un soucis avec les limites de fonction composer n'hésite pas à me demander un rappel, je suis là pour ça.

Bon courage!

Voici mes réponses :

1. Déjà, j'ai eu du mal pour la dérivée ... Je sais que c'est bon mais, je n'ai pas compris comment ils ont fait dans le livre...

Soit u(x) = (1+x)/(1-x)
On a : u'(x) = [(1-x)(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)²

DONC :

f'(x) = (1/2)[2/(1-x)²](1/[(1+x)/(1-x)])
f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)

Je dresse donc le tableau de signes de f'(x) :


donc : f'(x) > 0 [Si j'ai bien compris]



2. Limite en -1 :
lim_x-->-1 (1+x)/(1-x) = 0 donc : par limite de fonction composée :
--> lim_x-->0ln(x) = - Inf.
Donc :
lim_x-->-1 ln(1+x)/(1-x) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-1f(x) = -Inf.

Limite en +1 :
lim_x-->+1 (1+x)/(1-x) = +Inf. de type "1/0⁺"
--> lim_x-->+Inf. ln(x) = +Inf.
Donc :
lim_x-->+1 ln(1+x)/(1-x) = +Inf
DONC :
lim_x-->+1f(x) = +Inf.

Conséquences graphiques : Asymptotes en -1 et 1.

Tu ne dresse pas le tableau de signe avant d'avoir dit pourquoi c'était strictement positif.

En gros tu as une fonction polynôme d second degré au dénominateur, donc tu connais son signe de façon très précise (strictement positif, strictement négatif et les point où elle est nul) à partir de là tu t'en set pour justifier qu'entre -1 et 1 c'est strictmeent positif et suelement après tu dit que c'est strictement croissant (tu n'as mêem pas besoin de faire ton tableau de signe en fait).

La question sur les limites et l'interprétaiton graphique est nickel!

Maintenant pour la suite comment faire ?

Voici mes réponses :

1. Déjà, j'ai eu du mal pour la dérivée ... Je sais que c'est bon mais, je n'ai pas compris comment ils ont fait dans le livre...

Soit u(x) = (1+x)/(1-x)
On a : u'(x) = [(1-x)(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)²

DONC :

f'(x) = (1/2)[2/(1-x)²](1/[(1+x)/(1-x)])
f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)

x²-1 est un polynôme du second degré donc, du signe de x en dehors de ses racines soit : Racine(1) et -Racine(1) donc : 1 et -1 !
Donc, x²-1 sera négatif entre -1 et 1????
Ya un petit problème là...



2. Limite en -1 :
lim_x-->-1 (1+x)/(1-x) = 0 donc : par limite de fonction composée :
--> lim_x-->0ln(x) = - Inf.
Donc :
lim_x-->-1 ln(1+x)/(1-x) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-1f(x) = -Inf.

Limite en +1 :
lim_x-->+1 (1+x)/(1-x) = +Inf. de type "1/0⁺"
--> lim_x-->+Inf. ln(x) = +Inf.
Donc :
lim_x-->+1 ln(1+x)/(1-x) = +Inf
DONC :
lim_x-->+1f(x) = +Inf.

Conséquences graphiques : Asymptotes en -1 et 1.


3. Tableau de variations ben suffirait de faire le tableau de signes de la dérivée et tableau de variations de f(x) le truc habituel quoi

En effet, il y a un problème car le problème de ta dérivée n'était pas seulement le carré comme je l'avais dit mais aussi le signe. En effet si on reprend mon premier post j'avais écrit:

Citation :

D'où en simplifiant par 1-x, on obtient:

F'(x)=1/[(1-x)*(1+x)] D'où pour tout x dans ]-1,1[, F'(x)= 1/(1-x²)

Et donc le polynôme est bien 1-x² ce qui devrait corriger le problème.

Pour la question 3), tu sais déjà depuis la question 1 que c'est strictement croissant sur ]-1;1[, donc tu n'a pas besoin du tableau de signe en fait, tu écrit directement le tableau de variation en n'oubliant pas d'ajouter les limites aux bornes de l'intervalle vu que tu les a calculées.

Voici mes réponses :

1. Déjà, j'ai eu du mal pour la dérivée ... Je sais que c'est bon mais, je n'ai pas compris comment ils ont fait dans le livre...

Soit u(x) = (1+x)/(1-x)
On a : u'(x) = [(1-x)(1+x)]/(1-x)² = 2/(1-x)²

DONC :

f'(x) = (1/2)[2/(1-x)²](1/[(1+x)/(1-x)])
f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)

x²-1 est un polynôme du second degré donc, du signe de x en dehors de ses racines soit : Racine(1) et -Racine(1) donc : 1 et -1 !
mais, f'(x) = 1/(x²-1) et la fonction 1/x étant toujours positive, f'(x) le sera donc.
Conclusion : f(x) strictement positive sur ]-1 ; 1[ car f'(x) positive sur le même intervalle.



2. Limite en -1 :
lim_x-->-1 (1+x)/(1-x) = 0 donc : par limite de fonction composée :
--> lim_x-->0ln(x) = - Inf.
Donc :
lim_x-->-1 ln(1+x)/(1-x) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-1f(x) = -Inf.

Limite en +1 :
lim_x-->+1 (1+x)/(1-x) = +Inf. de type "1/0⁺"
--> lim_x-->+Inf. ln(x) = +Inf.
Donc :
lim_x-->+1 ln(1+x)/(1-x) = +Inf
DONC :
lim_x-->+1f(x) = +Inf.

Conséquences graphiques : Asymptotes en -1 et 1.


3.

La première question est toujours fausse:

Citation :

f'(x) = 1/(x-1)² * [(1-x) / (1+x)] = 1/(x²-1)

x²-1 est un polynôme du second degré donc, du signe de x en dehors de ses racines soit : Racine(1) et -Racine(1) donc : 1 et -1 !
mais, f'(x) = 1/(x²-1) et la fonction 1/x étant toujours positive, f'(x) le sera donc.
Conclusion : f(x) strictement positive sur ]-1 ; 1[ car f'(x) positive sur le même intervalle.

Depuis quand toutes les fonctions du type 1/x sont positive?????? Même la fonction x|-->1/x n'est pas toujours positive!!! Voyons un peu de sérieux .

Reli mon post précédant et mon premier post, il y a une erreur dans ta dérivée ce qui ne te permet pas de conclure pour l'instant.

Sinon ton tableau de variation est tout à fait juste!

Il n'y a pas de ² dans la dérivé c'est bien cela?

Je croyais que c'était la seule erreur quand j'ai effectué le calcul en effet. Mais tu fais aussi une erreur au niveau du signe comme je te l'ai dit un peu plus haut:

Citation :

En effet, il y a un problème car le problème de ta dérivée n'était pas seulement le carré comme je l'avais dit mais aussi le signe. En effet si on reprend mon premier post j'avais écrit:

Citation:
pour tout x dans ]-1,1[, F'(x)= 1/(1-x²)

Et là tu vas bien pouvoir appliquer ce que tu sais sur le signe d'un polynôme du second degré.

Oula je saisis plus ces histoires d'erreur dans la dérivée... Je vais la recalculer et je te dirais quoi demain.
Bonne soirée et bonne nuit!

Me revoici!

f'(x) = 1/(x²-1) non?

Bonsoir,

Justement non, la dérivée c'est F'(x)= 1/(1-x²)

Je te laisse réfère tes calculs tranquillement mais pour avoir une cohérence totale avec la suite, la dérivée que tu donnes nous amènerait aux même soucis qu'on avait hier.

Là faudra que tu m'expliques : mon calcul de dérivée est faux et je ne vois pas où :

f(x) = (1/2) ln[(1+x) / (1-x)] = (1/2) * ln[z(x)]

z(x) = [(1+x) / (1-x)] = u(x) / v(x)
avec :
u'(x) = 1 et v'(x) = -1

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² = [1(1-x) - [(1+x) * (-1)]] / (1-x)²
z'(x) = [1-x -(-1 -x)] / (1-x)² = [1 -x +1 +x]/(1-x)² = 2/(1-x)²

f'(x) = (1/2) * [ 2 / (1-x)² * 1/x]
f'(x) = (1/2) * [2 / [(1-x)² * x]
f'(x) = (1*2) / [2[(1-x)² *x]] = 1 / [(1-x²) * x]

Alros sauf erreur ça c'est juste:

Citation :

z'(x) = 2/(1-x)²

Maintenant la dérivée de Ln(U(x)) est égale à U'(x)/U(x) et ce 'est pas ce que tu as fait dans ton calcul pour le moment vu qu'il y a un "1/x" qui apparaît dont ne sait où pour le moment.

Ah ok j'avais pas compris!!!!!!!

f(x) = (1/2) ln[(1+x) / (1-x)] = (1/2) * ln[z(x)]

z(x) = [(1+x) / (1-x)] = u(x) / v(x)
avec :
u'(x) = 1 et v'(x) = -1

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² = [1(1-x) - [(1+x) * (-1)]] / (1-x)²
z'(x) = [1-x -(-1 -x)] / (1-x)² = [1 -x +1 +x]/(1-x)² = 2/(1-x)²

f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] / [(1+x) / (1-x)]
f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] * [(1-x) / (1+x)]
f'(x) = (1/2) [ (2 -2x) / [(1-x)² (1+x)]] = (1/2) [ (2-2x) / [(1 -2x +x²) / (1+x)]]
f'(x) = (1/2) [ (2 -2x) / (x³ -x² -x +1)]
f'(x) = (2-2x) / [2 (³ -x² -x + 1)]
f'(x) = (-x +1) / (x³ -x² -x +1)

Ya une erreur dans le dénominateur.
Attends je revois ça.

Ah ok j'avais pas compris!!!!!!!

f(x) = (1/2) ln[(1+x) / (1-x)] = (1/2) * ln[z(x)]

z(x) = [(1+x) / (1-x)] = u(x) / v(x)
avec :
u'(x) = 1 et v'(x) = -1

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² = [1(1-x) - [(1+x) * (-1)]] / (1-x)²
z'(x) = [1-x -(-1 -x)] / (1-x)² = [1 -x +1 +x]/(1-x)² = 2/(1-x)²

f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] / [(1+x) / (1-x)]
f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] * [(1-x) / (1+x)]
f'(x) = (2 -2x) / [ 2[(1-x)²(1+x)] = (1-x) / [(1-x)²(1+x)]
f'(x) = 1 / [(1-x)(1+x)] = 1 / (1 +x -x -x²) = 1/[-x² +1]

Là, ça semble correct

Et le pire c'est que c'est correct en plus .

Alors maintenant, nous en étions à savoir le signe de se bazarre là pour en déduire la strict croissance si mes souvenirs sont bons. Donc il faut montrer sachant tout ce que tu sais sur les fonction polynôme que ta dérivée est bien strictement positive.

Nous allons y arriver .

1. f(x) = (1/2) ln[(1+x) / (1-x)] = (1/2) * ln[z(x)]

z(x) = [(1+x) / (1-x)] = u(x) / v(x)
avec :
u'(x) = 1 et v'(x) = -1

z'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] / [v(x)]² = [1(1-x) - [(1+x) * (-1)]] / (1-x)²
z'(x) = [1-x -(-1 -x)] / (1-x)² = [1 -x +1 +x]/(1-x)² = 2/(1-x)²

f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] / [(1+x) / (1-x)]
f'(x) = (1/2) * [ [2 / (1-x)²] * [(1-x) / (1+x)]
f'(x) = (2 -2x) / [ 2[(1-x)²(1+x)] = (1-x) / [(1-x)²(1+x)]
f'(x) = 1 / [(1-x)(1+x)] = 1 / (1 +x -x -x²) = 1/[-x² +1]

Je dois maintenant m'intéresser au signe de f'(x) :
--> Son dénominateur étant un trinôme du second degré, celui-ci possède deux racines :
-x² +1 = 0
x² = 1
x = Racine(1) ou x = -Racine(1)
x = 1 ou x = -1
Et euh...

2. Limite en -1 :
lim_x-->-1 (1+x)/(1-x) = 0 donc : par limite de fonction composée :
--> lim_x-->0ln(x) = - Inf.
Donc :
lim_x-->-1 ln(1+x)/(1-x) = -Inf.
DONC :
lim_x-->-1f(x) = -Inf.

Limite en +1 :
lim_x-->+1 (1+x)/(1-x) = +Inf. de type "1/0⁺"
--> lim_x-->+Inf. ln(x) = +Inf.
Donc :
lim_x-->+1 ln(1+x)/(1-x) = +Inf
DONC :
lim_x-->+1f(x) = +Inf.

Conséquences graphiques : Asymptotes en -1 et 1.


3.

Alors on cherche le signe d'une fonction F'(x)=1/(1-x²) quelle est la méthode ??? Celà revient à faire ton autre exercice, il s'agit bien de trouver le signe d'une fonction sur un intervalle donnée qu iest ici ]-1;1[ tout simplement.

1-x² = 0
1 = x²
Racine(1) = x ou x = -Racine(1)
x = 1 ou x =-1


donc f(x) = 1/(1-x²) sera définie sur ]-1 ; 1[ et sera croissante

La fonction F' est bien définie sur l'intervalle mais c'est son signe qui nous intéresse nous!

Comment on détermine le signe d'un trinôme du second degré connaissant ses racines et la valeur de a=-1 ???

Signe de a en dehors des racines donc f'(x) sera strictement positive sur ]-1 ; 1[