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 [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles

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Nakor

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MessageSujet: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Dim 13 Sep - 13:52

Rebonjour !

Donc avec mon manque d'organisation et tous les devoirs qui arrivent en même temps, je n'ai pas eu le temps de continuer mon DM de maths comme je le voulais. Very Happy

Donc il me faudrait des pistes pour :

Montrer que pour tout x et y de l'intervalle ]-1,1[, on a:

-1 < (x+y)/(1+xy) < 1


Et un deuxième exercice:

On souhaite monter en utilisant deux méthodes que 0 ≤ x(1-x) ≤ 1/4 pour tout x dans [0,1].

1.a) monter l'inégalité ci dessus en étudiant une fonction convenablement choisie.
(fait)
b) Monter l'inégalité ci dessus en vous ramenant à une inégalité équivalente.

2) En déduire que min(a(1-b), b(1-c), c(1-a)) ≤ 1/4 pour tout (a,b,c) dans [0,1]3. On pourra procéder par l'absurde
. (pour cette dernière je ne suis pas sur de moi mais j'ai supposé que le min(...) était supérieur ou égal à 1/4 et j'ai montré que ça ne marchait pas pour a = b = c ).

Voilà !


Dernière édition par Blagu'cuicui le Mer 16 Sep - 21:27, édité 2 fois (Raison : mise en forme)
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Dim 13 Sep - 14:12

Bonjour,

Le plus dur en prépas est l'organisation tout en gardant un minimum de sommeil car la santé est primordiale tout de même peu importe si le devoir est fini ou pas (simple conseil en passant que je n'ai pas réussi à tenir étant trop perfectionniste pour ma part mais bon à partir d'un moment le corps réclame le sommeil que tu le veuilles ou non lol).

Sinon, pour le première exercice, il faut montrer que ton inégalité est vraie pour tout x, y dans ]-1;1[. Le problème des fonction à deux variables c'est.... qu'ils ont deux variables Wink. Donc pourquoi pas se ramener à une seule variable?????

Je te donne l'idée:

"Soit y dans ]-1;1[ fixé mais quelconque,
On définit la fonction F de ]-1;1[ dans R par F(x)=(x+y)/(1+xy)
1) Étudier cette fonction sur ]-1;1[
2) Conclure"

C'est une idée adaptée à ce problème là, elle ne marche pas tout le temps mais il faut toujours regarder ce qui est possible d'être fait ou non avec ce genre de fonction.



Sinon, j'ai une solution assez folklorique pour ton autre exercice mais bon après tout elle marche à première vue. Le but va être de partir de ton expression et de se ramener par des équivalents au fait que x est compris entre [0;1]. Et pour cela, je te conseille d'au lieu de considérer la forme factorisée du polynôme du second degré comme cela est fait dans l'énoncer, de passer par la forme canonique puis de continuer à raisonner par équivalence.

Pour ta dernière question, ton raisonnement est faux par contre. En effet, quelle est la négation de ce qu'il y a à démontrer?

Bon courage et n'hésite pas si tu as des questions!

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Nakor

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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 17:23

Me revoilà à essayer de finir mon DM pour demain.

J'aurai une question par rapport à l'exercice où tu m'as dit d'étudier une fonction. J'aimerais savoir, dans quels cas ça ne marche pas ce genre de raisonnement ?

Je n'ai pas encore cherché le deuxième exercice, je reviendrai si je ne trouve pas. Very Happy
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 19:45

Bonsoir,

Ta question est très judicieuse! Alors, je dirai qu'il y a des difficulté à utiliser ce genre d'argument lorsqu'on cherche à faire des encadrement sur R tout entier car là, on ne peut pas encadrer y comme on le fait dans notre exercice pour conclure par exemple. Sinon, il est vrai que le fait de considérer la fonction de R² comme une fonction de R a des avantages.

Là où il faut faire attention, c'est lorsque tu va étudier la dérivabilité d'une fonction de R² car ce n'est pas parce que la fonction est dérivable par rapport à chacune de ses deux variables qu'elle est dériviable. Il y a des critère de continuité des dérivées partielles (on dit "partielle" car on ne dérive que une seule varaible à la fois) pour pouvoir conclure à la dérivabilité sur R². C'est plutôt dans cette optique là, que je disais qu'il fallait faire attention que tout ne marche pas comme si tu avait une fonction d'une variable.

Mais l'étude de fonction par variable séparée est plutôt bienvenue pour les histoire d'encadrement du moment qu'on arrive à conclure à la fin. Ici, la fonction est symétrique en x et en y ce qui facilite aussi l'étude car si on dérivait à y fixé ou à x fixé cela ne changait rien ce qui n'est pas toujours le cas bien entendu.

Bon courage pour la suite!

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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 20:14

Ok, merci. On utilise déjà les dérivés partielles en physique avec les petites variations, mais c'est dur de comprendre sans avoir fait les maths qui vont avec...

Sinon pour l'exercice 2 tu pourrais me donner une piste supplémentaire ? J'arrive à quelque chose du genre 0<(x - (1/2))²<1/4 Mais je ne comprends pas comment faire pour arriver à 0<x<1 à l'aide d'une suite d'équivalence...
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Blagu'cuicui
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 20:25

C'est souvent le soucis en prépas car le cours de physique à besoin de théorie mathématiques qu'elle est obligée d'admettre le temps que vous le le voyiez en maths. Ce décallage peut s'averer gênant mais bon, avec une bonne explication du prof de physque cela devrait le faire en attendant la théorie sous-jacente.

Sinon, pour l'exercice, nous sommes d'accord jusque là. Ensuite, que savons-nous del a vonction racine carrée? Conclusion?

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Nakor

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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 20:46

Oui mais le prof de physique va tellement vite que bon... On arrive à utiliser les formules en faisant plusieurs exercices d'entrainement mais je préfère vraiment comprendre le truc pour être capable de l'utiliser dans d'autres cas "bateaux".

Et pour l'exercice, on va dire que c'était le stress de ma première colle d'anglais de demain. Rolling Eyes Les premiers à passer ont eu trois fois 6 et 3 fois 7. Ca rassure un peu. Very Happy Après c'est quand même 7 points, et je suis vraiment pas doué à l'oral en langue. Faudrait que je parte en Angleterre pendant les vacances d'été.

Merci !
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 21:02

Ne t'inquiète pas pour les khôls d'anglais, faut juste comprendre ce qu'il te demande la première fois c'est jamais évident Wink.

Sinon, en relisant ton inéquation, il y a plus que du stress à première vu, j'avais pas vu l'erreur de signe ainsi que le manque de la deuxième partie de l'expression canonique! Tu manques de sommeil, je dirai plutôt!

x*(1-x)=-x²+x=-(x-1/2)² +1/4 !!!!!!!

Attention, de ne pas perdre ses moyens sur des calculs basiques, c'est mal vu en khôls de maths ce genre de chose Razz. Je te laisse refaire tes calculs mais l'idée était là même avec la racine carrée croissante après quelque manipulation.

Bon courage pour ta khôls donc et pour finaliser cette question!

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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 21:15

Oui mais deux lignes plus loin on retombe sur 0<(x - (1/2))²<1/4 non ? En enlevant le 1/4 puis en multipliant par (-1) l'inégalité.

Enfin bref de toute façon faut que je termine le DM de physique maintenant, et essayer de me coucher avant 0h. Very Happy

A plus !
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 21:19

En effet, tu avais fait plus de calcul que je le pensais . donc c'était bel et bien juste, il ne restait plus qu'à prendre la racine carrée.

Sinon, pour la dernière question de cette exercice, est-ce que tu as compris ton erreur de raisonnement? On en reparlera de toute façon mais bon si mon objection à ton contre-exemple n'est pas clair, n'hésite pas car c'est un point épineux que la négation de proposition.

Bon courage pour le reste et pense à dormir en effet Wink!

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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 21:41

Euh je finis le calcul mais je trouve 1/2 < x < 1 au lieu de 0 < x < 1 ?

Pour la dernière question j'ai compris pourquoi j'avais fait n'importe quoi oui. ^^ Mais j'ai pas vraiment eu le temps de plus y réfléchir...
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MessageSujet: Re: [PCSI] Inégalités et fonction à deux variables réelles   Mar 15 Sep - 22:01

Plutôt logique de trouver un intervalle dans lequel x-1/2 va être positif vu que lorsque tu as pris la racine carré tu as considéré qu'une seule des deux racines carrées.

En effet, a²≤b <=> |a|≤√b

Attention à ce piège là, il est fréquent et c'est dommage de perdre des point là-dessus. Donc tu as considéré le cas x-1/2>0. Il reste le cas x-1/2<0 et tu vas trouver l'intervalle qu'il te manque sauf erreur c'est à dire [0;1/2] ce qui te donnera bien l'intervalle entier au final!

Le plus simple serait d'écrire directement, |x-1/2|≤1/2 après le passage à la racine carrée. Ainsi la conclusion est immédiate lorsqu'on se souvient comment cela s'écrit sans les valeurs absolus:

|a|≤b <=> -b≤a≤b

Bon courage pour la suite!!

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