Bonsoir,
Alros il s'agit d'une application "concrète" de l'utilité de l'étude d'une fonction.
Ici le but est de trouver un encadrement à partir d'autre fonction qu'on introduit au fur et à mesure.
La première partie, on pose pour x≥0, F(x)=Sin(x)-x et donc en dérivant on trouve que pour x≥0, F'(x)=Cos(x)-1
Notre but ici est de montrer l'inégalité de gauche, c'est à dire que x-Sin(x)≥0. Donc si on montre que notre fonction F(x) est négative pour x≥0, on aura bien conclu sur l'inégalité. Mais encore faut-il démontrer que F(x) est négative ou nulle pour x≥0.
Pour cela, il faut connaître les variations de la fonction F et donc le signe de la dérivée de cette fonction F c'est à dire le signe de F'(x) pour x≥0.
Or on sait que pour tout x, 1≥Cos(x)≥-1, donc cela est vrai aussi pour x≥0. Et donc pour x≥0, 0≥Cos(x)-1≥-2.
donc pour x≥0, F'(x)≤0.
Donc F est décroissante sur [0;+∞[
Sachant qu'elle est décroissante, on sait que si x≥0 alors F(x)≤F(0) (car F est décroissante donc on change le sens de l'inégalité)
Or F(0)=Sin(0)-0=0
Donc pour tout x≥0, F(x)≤0 c'est à dire Sin(x)-x≤0
D'où en multipliant par -1<0, on change le sens de l'inégalité et cela donne pour tout x≥0, x-Sin(x)≥0. Ce qui conclut sur l'inégalité de gauche.
Maintenant, il nous reste l'inégalité de droite. Et pour celà, on va considérer uneautre fonction dont on va aussi chercher les sens de variation pour en déduire son signe.
Est-ce que la démarche est plus claire ainsi?
Bon courage pour la suite!
Mar 22 Sep - 19:39
