Etude d'une suite définie par une intégrale

Re-bonjour !

Je reviens appeler à l'aide pour un nouveau devoir qui est de plus en plus enervant !
Cette fois-ci, malheureusement, il ne s'agit pas d'une erreur d'énoncé...

Je remercie par avance, tous ceux qui pourront m'éclairer.

Une première partie (niveau première) traite de l'étude de la fonction f définie par :
f(x)=xⁿ√(1-x)

Je n'ai pas eu grand mal à répondre aux questions, en revanche la deuxième partie est juste...out of my league comme dirait l'autre !
Cette partie s'intéresse à la suite I_n = ∫_{0 à 1} [f(x)]dx. (1)

On nous demande de calculer I₀. Je trouve I₀ = 2/3 u.a.
On nous demande de calculer I₁. Je trouve I₁ = 4/15 u.a.
(Ces deux résultats ayant été obtenus par intégration par partie)

Tout ce gâte à la question : Prouver que I_n+1= [(2(n+1))/(2n+5)]*I₁ en utilisant une intégration par partie.

Je trouve (en intégrant) :

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*(1-x)^3/2]dx. (2)

Je sais bien que (1-x)^3/2 = (1-x)*√(1-x) mais même en remplaçant par ce second terme, je n'arrive pas a retrouver l'égalité de l'énoncé. Pourtant en utilisant la formule de l'énoncé, j'arrive à retrouver I₁ avec I₀. Tout porte à croire que c'est en intégrant que j'ai commis une erreur.
Seulement voilà, j'en suis à ma cinquième vérification et je commence à saturer. Ce pourrait-il que dans (2) je puisse admettre que (1-x) soit négligeable devant (1-x)^1/2 et ainsi retrouver (1) sous l(intégrale ?

Mais qu'est-ce que je raconte ce n'est pas du tout logique....

Merci à tous ceux qui ont pris la peine de lire ce cri de desespoir et j'embrasse ceux qui veulent bien me sortir des abysses...

Bonsoir,

Alors je pense qu'il y a une petite erreur dans ton expression mais due à une faute de frappe je pense. En effet, si je pose n=0, je devrait trouver I₁ à droite. Or je trouve (2/5)*I₁.

Donc je pense qu'on doit trouver la relation suivante:

I_n+1 = [(2(n+1))/(2n+5)]*I_n (avec I_n et non I₁ sinon cela n'a pas beaucoup de sens). Et on doit donc montrer que ceci est vrai pour tout n.

Donc tu as effectué comme te le propose l'énoncer, unei ntégration par partie ce qui est nickel:

Citation :

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*(1-x)^3/2]dx.

Tu remarques ensuite une très bonne chose c'est à dire que: (1-x)^3/2 = (1-x)*√(1-x)

Et là, il ne faut pas avoir peur des calculs et encore moins de ses idées et foncés (advienne que pourra ). Donc, je remplace ce qui donne:

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*(1-x)*√(1-x)dx.

Maintenant, je te laisse continuer sur ta lancer! Développe ton intégrale et regarde ce que tu retrouves à droite.

Tous tes calculs sont justes et tes idées aussi, manque de confiance en soi ma chère . Ca se travail avec le temps ça .

Bon courage!

ahhhhh je le savais !

Effectivement pour In+1 = [(2(n+1))/(2n+5)]*In, il ya bien eu une faute de frappe (c'est bien In et pas I1) !

Pour l'intégrale, étant donné que l'énoncé est Prouver que In+1= [(2(n+1))/(2n+5)]*I1 en utilisant une intégration par partie. j'étais persuadé qu'il fallait utiliser une et une seule intégration....

Bon cette fois-ci je m'y remets !!!

Merci beaucoup blagu'cuicui !

Ok pour la faute de frappe.

Sinon, il y a bien une et une seule intégration par partie à faire ici (sinon, l'indication aurait été au pluriel). Mais je te disais de développe le polynôme dans l'intégrale puis d'utiliser la linéarité de l'intégrale pour trouver exactement ce que tu cherches (ou presque "à manipulation sur l'égalité près").

Bon courage!

Ah oui effectivement, j'avais mal lu !

Alors, j'ai donc suivi ton conseil (c'est incroyable comme les choses évidentes nous paraissent inutiles parfois), voilà ce que je trouve :

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*(1-x)*√(1-x)]dx

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*√(1-x) - xⁿ⁺¹*√(1-x)]dx

I_n+1= [2(n+1)/3] * ∫_{0 à 1} [xⁿ*√(1-x)]dx - [2(n+1)/3] *∫_{0 à 1} [xⁿ⁺¹*√(1-x)]dx

I_n+1= [2(n+1)/3] * I_n - [2(n+1)/3] * I_n+1

I_n+1*[(2(n+1)/3) +1] = [2(n+1)/3] * I_n

I_n+1= [2(n+1)/2n+5] I_n !!!!!

Merci blagu'cuicui, tu commences à devenir indispensable...

Nickel rien à redire!

Pour l'indispensable j'espère pas car si je devenais indispensable c'est que tu n'apprendrais rien grâce au forum ce qui par la même occasion aboutirait à me faire penser que mon boulot est plus que douteux ce que je n'espère pas après tout.

Donc à force, tu risques de mieux comprendre et mieux appréhender les choses et ainsi ne plus avoir besoin de moi serait plus juste (et je l'espère après tout ).

Bon courage pour la suite!

ps: pour mettre en indice ou en exposant, il suffit de sélectionner ce qui doit changer et d'appuyer sur autre puis sur "indice" ou "exposant" tout simplement .

Bonjour Blagu'cuicui !

Oui c'est sur que j'aspire à pouvoir me débrouiller toute seule dans un futur proche, mais honnêtement, rien que de savoir qu'il y a quelqu'un, quelque part qui ne me connaît pas est là pour me donner la marche à suivre. C'est franchement agréable, je suis bien moins stressé depuis que je fais moins de faute, et que je réfléchis avant de bâcler un devoir, et ça c'est franchement dû à maths-cuicui ! Pourtant c'est juste mon deuxième post, pour dire ! Tous (oui tous!) les profs de maths que j'ai eu ne me répondait pas vraiment à mes questions quand je comprenais pas un point et baissait vite les bras !

Avant, quand je commençais un devoir ça donnais ça maintenant c'est ça et avec toi c'est ça ....

Anyway, j'arrive à la dernière question du devoir, et elle est franchement incompréhensible (en tout cas j'ai jamais fait ça), voilà la question :
En calculant ∏_{de k=1 à n} I_k/I_k-1 = I₁/I₀ * I₂/I₁ *...* I_n-1/I_n-2 * I_n/I_n-1 , démontrer que I_n=2²ⁿ⁺²n!(n+1)!/(2n+3)!

Je n'ai absolument aucune idée de ce que je dois faire, au départ je me suis dit que la première expression équivaut à I_n/I₀ mais ça n'a aucun sens !
Je sais pas du tout quoi faire !
Peux-tu m'indiquer la marche à suivre ?

Merci encore pour ton aide sur la précédente question

Ton intuition est tout à fait juste encore une fois!

En effet, le produit est bien égale à I_n/I₀ connaissant I₀ (qui n'est pas bien dur à calculer vu qu'on l'a déjà fait ), on a donc accès directement à I_n.

Bon jusque là pas de problème. Mais la question fondamentale reste la même: Comment je peux déduire I_n de tout ce méli-mélo de produit?

Bon c'est cool, on a calculer le produit et alors maintenant, on en fait quoi???? Mystère....

Non pas vraiment en fait! En effet, on a fait un sacré boulot avant et on l'aurait fait pour rien? J'ai un doute pour ma part, qu'en penses-tu? D'après toi, n'y a-t-il pas un autre moyen qui permettent de calculer le produit au regard des questions précédentes?

D'un point de vue méthode de résolution, il faut toujours avoir ces trois étapes à l'esprit lorsqu'on fait une résolution d'exercice:
1) Je souhaite aller où?
2) Qu'est-ce que j'ai en ma possession à cette instant?
3) Comment faire le lien?

La première question trouve sa réponse dans la question qu'on a sous les yeux: "On souhaite calculer I_n en fonction de n"
La deuxième question est quant à elle plus subtil car on a plein de choses en notre possession: "Nos connaissance pures d'une part et d'autre part l'indication dans la question avec le produit." Mais nous avons aussi autre chose: "toutes les questions précédentes" (!!!) sont en autre possession et ne pas les utiliser serait une grave erreur logique (genre on travaille pour rien entre la première et la dernière question ). La troisième question fait appelle à du cours mais surtout à la déduction (via les questions précédente ou le cours pour arriver au résultat ou encore à l'interprétation d'anciens résultats ça arrive aussi assez souvent lorsqu'on résout des exercices de type problème concret ou à vocation d'être plus concret).

Bon courage!

Bien bien, voilà ce que j'arrive à synthétiser en suivant ta ligne de conduite :

1) Je cherche à démontrer que I_n+1= 2_2n+2n!(n-1)!/(2n+3)!

2) Pour cela, je sais que I_n=(2n+5)/(2n+1)* I_n+1
Je sais aussi, d'après les questions précédentes que la suite converge vers o et qu'elle est décroissante.

3) Maintenant comment faire le lien !
J'ai dans l'idée de reprendre l'égalité du 2) et de remplacer I_n+1 par son intégrale, et de la calculer.

Pour le moment ça va je n'ai pas commis d'erreur ?

Finalement, après avoir essayé de remplacer I_n+1 par son intégrale, j'ai très vite compris que c'était un coup d'épée dans l'eau.

Du coup, je pense qu'il faut raisonner par récurrence. J'ai déjà commencé:

On note P_n la propriété " In+1= 22n+2n!(n-1)!/(2n+3)!".

Initialisation : Pour n=0, 2²/6=2/3= I₀ donc P₀ est vraie

Hérédité : On suppose P_n vraie pour un entier n arbitrairement fixé. On a alors In+1= 22n+2n!(n-1)!/(2n+3)!
Or I_n+1=2(n+1)/2n+5*I_n

Bon bah c'est déjà ça....je suis un tout petit peu bloquée là !
Bon je vais cogiter encore un peu. Je trouverai peut-être la bonne réponse.

J'éspère déjà que c'est bien ce qu'il fallait faire.

La récurrence devrait aboutir sauf erreur mais il fait mieux posé la valeur de I_n et non celle de I_n+1 dans la récurrence c'est plus simple à manipuler vu qu'on a la relation entre I_n+1 et I_n comme tu l'as écrit.

Il suffit juste de bien écrire le passage de l'hérédité et normalement c'est nickel. En tout cas l'idée est bonne mais tu vois u'en fait tu n'utilises pas l'indication du texte ce qui n'est pas un drame le but étant d'aboutir bien entendu. Mais le chemin de l'indication est peut-être plus "simple" que celui de la récurrence (encore que pas sur après tout).

En effet, Puisque tu as I_n+1 en fonction de I_n pour tout n dans N, tu peux donc avoir accès à I_k/I_k-1 pour tout k entre 1 et n, non?

Et ainsi réécrire le produit de I_k/I_k-1.

Bon courage!

Bon bah vu que je suis un peu bloqué avec la récurrence, je vais essayer de m'en sortir avec l'indicaion.

Je sais donc que I_n+1/I_n= 2(n+1)/2n+5

donc I_k/I_k+1 = 2_k/2_k-1+5

c'est ça ?

Il n'y a pas d'indice au 2 mais c'est bien celà en effet:

I_k/I_k-1=2k/[2(k-1)+5]

Et maintenant si on fait le produit entre k=1 et k=n qu'est-ce que cela nous donne de beau?

Le produit nous donne comme on l'a dit précédemment I_n/I₀.
Je ne vois vraiment pas comment utiliser la relation Ik/Ik-1=2k/[2(k-1)+5].

Une direction ?

Le produit se calcul de deux manières.

Pour te donner un exemple concret, c'est un peu comme si tu avais un marteau, tu peux tapper d'un côté et si tu le retourne tu décroche le clou (à moins que ce soit une masse et à ce moment là tu tappes des deux côtés ). Donc là c'est pareil, tu as la sortie du produit qui te donne bien I_n/I₀ mais tu as aussi l'intérieur du produit qui s'explicite comme tu l'as écrit vu qu'in connaît I_k/I_k-1 en fonction de k.

Donc il faut utiliser cette nouvelle expression pour calculer le produit.

Est-ce que tu vois l'idée ou toujours pas?

euh bah en fait non je comprends toujours pas !

Il faut que je fasse Pi _{de 0 à 1} Ik/Ik-1=2/5 * 4/7 * ...* 2n/[2(n-2)+5] * 2n/[2(n-1)+5] c'est ça ?

Nickel!!!

Regarde ce qui apparaît au numérateur et au dénominateur, je paris que tu vas être étonnée .

Eh bien je trouve 2n!/(2n-1)!+5 mais je ne vois pas comment trouver l'égalité I_n à partir de là .... c'est grave docteur ?

Alors il y a une erreur dans la multiplication ce qui de donne une non solution au problème du coup.

Essayons d'améliorer celà. On a donc:

∏_{1 à n} I_k/I_k-1=∏_{1 à n} 2k/[2(k-1)+5]

Intuitivement, si je fais (a/b)*(c/d) cela revient à faire (a*c)/(b*d). Doncl e produit d'un quotient, c'est égale au quotient des produit ce qui me donne:

∏_{1 à n} I_k/I_k-1=∏_{1 à n}(2k)/∏_{1 à n}[2k+3] (j'ai développé le dénominateur 2*(k-1)+5=2k-2+5=2k+3)

Et si je l'écris maintenant avec des pointillés j'obtiens:

∏_{1 à n} I_k/I_k-1= [2*4*......*2n]/[5*7*....*(2n+3)]

Et maintenant, le but est de faire des manipulation sur les factoriel pour retrouver ce qu'on cherche. Alors is on regarde de près au numérateur, on a: (2n)!

Mais (2n)! est composé si je mets 2 en facteur sur chaque facteur j'obtiens: (2*1)*(2*2)*.....*(2*n) J'ai donc 2 qui apparaît n fois dans cette multiplication. Ce qui me donne: (2n)!=2_n*(n!) (car après mise ne facteur des 2, on avait bien 1*2*3*...*n=n!)

C'est ce genre de raisonnement qu'il va falloire faire pour conclure. Je te laisse regarder le dénominateur pour essayer de le réexprimer. Un autre moyen d'après ce qu'on doit obtenir c'est de regarde 2ⁿ⁺²*(n+1)!/(2n+3)! pour voir ce que cela donne aussi c'est un autre moyen d'avancer.

Bon courage!

Au dénominateur, on a (2+3)*(2*2+3)*....*2(n-1)+3*2n+3 = (2n+3)!....
C'est bien ça qu'il faut remarquer ?
J'en peut plus

Même en me servant de 2ⁿ⁺²*(n+1)!/(2n+3)! je ne vois pas comment l'exposant +2 est apparut.
Je veux dire avec le nouveau quotient on a (2n)!/ (2n+3)! ou encore 2_n*n! mais je ne comprends pas comment arriver à 2n+2*(n+1)!/(2n+3)!...

Je suis à nouveau perdu, il faut que je factorise par 2n c'est ça ?

Au dénominateur tu n'as pas (2n+3)! car (2n+3)!=(2n+3)*(2n+2)*(2n+1)*....*3*2*1

Il manque donc beaucoup de termes! Attention à ne pas confondre le produit des (2k+1) et (2k+1)! ce n'est pas du tout la même chose. En effet, dans le produit c'est k qui varie alors que dans le factoriel c'est la quantité qui se multiplie en enlevant une unité à chaque fois.

Est-ce que tu comprends ton erreur? Et surtout est-ce plus clair sur la définition de la fonction factoriel?

Bon courage!

Bonjour

Oui je comprends !
En fait comme au dénominateur on a (2+3)*(2*2+3)*....*2(n-1)+3*2n+3 je voulais exprimer que 2 apparait n fois et donc avoir comme au numérateur n! puisqu'il y a aussi +3 qui apparait n fois.

Donc finalement avec ton explication, on a (2n)!+3 au dénominateur. En tout cas ça a l'air d'être ça !

donc finalement notre nouveau quotient serait (2n)!/ (2n)!+3 c'est bien ça ?

Bonsoir,

Ce n'est pas non plus (2n)!+3 En effet, si je prend n=2, on a au dénominateur: 5*7=35. Alors que (2*2)!+3=4!+3=4*3*2*1+3=27 ce qui est différent de 35.

En fait, tu ne peux pas enlever les termes pairs car il n'y en a pas donc si tu souhaite écrire (2n+3)! il va falloir ajouter ce qui manque à l'expression qu'il y a au dénominateur: 5*7*...*(2n+3)

Il manque à y regarde de plus près la multiplication par 2*3*4*6*8* ......*2n+2, est que tu es d'accord avec cela?

Et maintenant regarde ce nouveau produit pour savoir quel tête il peu avoir concrètement en fonction des puissances de 2 et de factoriel. Ce n'est pas un gâteau tout près les mathématiques , il faut réellement mettre les mains dans la farine si on veut qu'il ressemble à quelque chose notre gâteau .

Bon courage!

Bonsoir Blagu'cuicui !

Me suis encore trompée...décidément cette question ne passe pas !

Ce qui est sûr c'est qu'au dénominateur on a (2+3)*(2*2+3)*....*(2(n-1)+3)*(2n+3)

Si je récapitule, ça ne peut pas être (2n+3)! car (2n+3)!=(2n+3)*(2n+2)*(2n+1)*....*3*2*1

Et ça ne peut pas non plus être (2n)!+3 car (2n)!+3= 2*4*6*...*2(n-1)+3*2n+3

Dans notre quotient de départ on a (2+3)*(2*2+3)*....*2(n-1)+3*2n+3 , en comparant cette égalité à (2n+3)! tu dis qu'il manque la multiplication 2*3*4*6*8* ......*2n+2. Pourtant, je n'arrive pas à le voir.

Même en voulant essayer de calculer (2n+3)! au rang 2 je n'arrive pas.

au secours...

Ce n'est pas évident de manipuler les factoriels car ça simplifie les écriture mais faut bien comprendre ce qui se cache derrière.

Alors on a:

(2n+3)!= 1*2*3*4*5*6*7*8*9*.......*(2n+1)*(2n+2)*(2n+3)

Et nous avons dans notre dénominateur:

5*7*9*......*(2n+1)*(2n+3)

J'ai coloré les nombres présents dans les deux produits. Et ainsi, ce qui n'est pas coloré dans (2n+3)! c'est ce qui manque pour avoir (2n+3)! au dénominateur (c'est ce qu'on cherche à avoir d'après la question). Il va donc falloir multiplier et donc diviser par la quantité manquante.

En effet, on sait que A=B*A/B. Donc si je multiplie par ce qui manque j'optiens bien ma factoriel mais il faut diviser aussi par ce qui manque pour ne rien changer à mon égalité, c'est pour cela que je te demande d'expliciter les la multiplications des termes qu'il manque c'est à dire:

1*2*3*4*6*8*10*...*(2n+2)

L'idée est de ne pas prendre en compte le 1*2*3 de côté c'est à dire qu'on y touche pas et de regarder de plus près cette quantité là:

4*6*8*10*...*(2n+2)

Est-ce que c'est plus clair maintenant ou toujours aussi flou?

Bon courage!