Maths Cuicui, l'envolée mathématique

forum gratuit d'entraide mathématique de la 6ème à la 2ème année de licence
 
AccueilPortailFAQRechercherS'enregistrerMembresGroupesConnexion

Partagez | 
 

 Intégrale

Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Aller en bas 
AuteurMessage
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Intégrale   Dim 25 Avr - 15:31

Bonjour.

J'ai une question sur les intégrales.
Nous avons vu que si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b], alors : ∫[a à b]f(x)dx = F(b) - F(a) avec F une primitive de la fonction f.

Mais que se passe-t-il si la fonction f n'est pas définie en a ? Par exemple je dis que f est continue sur ]a;b]. Il est légitime je pense de considérer tout de même ∫[a à b]f(x)dx. Mais dans ce cas là, comme F(a) n'existe pas, comment fait-on ? Peut-on dire que c'est égale à l'intégrale de la fonction f prolongée par continuité en a ? J'ai pensé à une écriture qui pourrait tout généraliser : ∫[a à b]f(x)dx = limx->bF(x) - limx->aF(x)
et dans ce cas là, si f est continue sur [a;b], alors limx->bF(x) = F(b) et limx->aF(x) = F(a) et on retrouve bien F(b)-F(a).

J'ai un exemple (celui qui m'a fait se poser des questions ^^) :

Soit la fonction f définie sur ]0;+infini[ par : f(x) = xn*ln(x) avec n un entier naturel.
Et bien en voulant calculer l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1, j'ai vu que la primitive n'était pas définie en 0. Donc j'ai quand même continué en utilisant la limite comme j'ai décrit plus haut et j'ai trouvé comme résultat : -1/(n+1)².
J'ai vérifié avec des logiciels de calcul (le site Wolfram alpha et une appli iphone) et ça m'affiche le même résultat que moi. Donc je me suis dit que j'ai peut être trouvé le bon truc !

Qu'en penses-tu ?
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégrale   Dim 25 Avr - 16:33

Bonsoir,

C'est remarquable en effet mais tu as bien trouvé l'idée générale de ce qu'on appelle des intégrales généralisées (ou presque).

En effet, dès que la fonction est continue l'intégrale à un sens sur l'intervalle où la fonction est continue. Alors que se passe-t-il lorsque l'intégrale est sur un domaine où l'une des deux bornes ne fait pas partie de l'intervalle de continuité?

Aparté: L'intégrale est en fait une fonction G (ensemble des fonction intégrable) --> R tel que pour tout f dans l'enseble des fonction intégrable on ait: G(f)=∫f
Volontairement, je ne mets pas de borne à l'intégrale.

Retour à l'idée:
Mais nous ce qui nous intéresse ce n'est pas cette fonction intégrale mais c'est plutôt la fonction suivante:

Pour une fonction f fixée, continue sur ]a,b], on définit la fonction H: ]a;b] ---> R tel que pour tout x dans ]a,b], on ait: H(x)=∫[x à b] F(x)

Ainsi, sur l'intégrale tel qu'on te l'a défini cette année existe sans problème vu que F est continue sur [x;b] pour tout x dans ]a;b].

Maintenant, s'il y a existence de la limite lorsque x tend vers a de H(x) pourquoi s'en priver?

D'où sous réserve d'existence d'une limite, nous avons donc étendu la définition de l'intégrale d'une fonction sur un domaine où la fonction n'est pas forcément continue au bord de l'intervalle considéré.

Comment rédiger cela?

Et bien, on écrit jamais Lim = ...= Lim .... car on ne sait absolument pas si toutes ses limites existes. En conséquence sur l'exemple, on prend A>0 et on considère l'intégrale entre A et b. Et seulement on passe à la limite lorsque A tend vers 0.


Et on peut même aller plus loin du coup, non? Que se passe-t-il lorsque a ou b sont égaux à l'infini? Et que se passe-t-il lorsque les deux bornes ne sont pas définies?

Bon courage!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Eh



Masculin Nombre de messages : 237
Localisation : France
Date d'inscription : 08/02/2009

MessageSujet: Re: Intégrale   Jeu 29 Avr - 17:24

Merci pour ta réponse !

Quand a ou b sont égaux à l'infini c'est facile, il suffit "d'appeler" la borne en question x et après avoir calculé l'integrale, faire la limite quand x tend vers l'infini.
∫[a à +infini]f(t)dt = lim x->+infini∫[a à x]f(t)dt
∫[-infini à a]f(t)dt = lim x->-infini∫[x à a]f(t)dt
∫[-infini à +infini]f(t)dt = ∫[-infini à a]f(t)dt +∫[a à +infini]f(t)dt
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur
Blagu'cuicui
Admin'cuicui


Masculin Nombre de messages : 5009
Age : 30
Localisation : Bretagne (35)
Date d'inscription : 03/09/2007

MessageSujet: Re: Intégrale   Jeu 29 Avr - 19:05

Bonsoir,

Alors en effet, pour les deux première c'est l'idée qui est la même lorsque la borne est infini c'est comme si nous étions sur un point de non continuité tout simplement.

Par contre, il faut avoir conscience que l'égalité existe (c'est à dire que l'intégrale à un sens et la limite aussi) si et seulement si la limite existe après intégration. Sinon, il n'y pas égalité.

Pour la dernière proposition, il y a un moyen plus simple que de passer par découpage c'est de considérer une double limite directement:

Soit A et B deux réel on calcule l'intégrale de A à B puis on fait tendre A vers moins l'infini et B vers l'infini.

Bon courage pour la suite!

_________________
Revenir en haut Aller en bas
Voir le profil de l'utilisateur http://www.maths-cuicui.fr
Contenu sponsorisé




MessageSujet: Re: Intégrale   Aujourd'hui à 4:05

Revenir en haut Aller en bas
 
Intégrale
Voir le sujet précédent Voir le sujet suivant Revenir en haut 
Page 1 sur 1
 Sujets similaires
-
» Oeuvre intégrale en 4e et 3e...
» l'Exode en texte intégrale ?
» Oeuvre intégrale 6ème
» Oeuvre intégrale et recueil "d'oeuvres intégrales"
» Pinocchio en oeuvre intégrale 6ème

Permission de ce forum:Vous ne pouvez pas répondre aux sujets dans ce forum
Maths Cuicui, l'envolée mathématique :: L'envolée du Lycée GT, Pro et du CAP :: Entre-aide pour la Terminale G, T et Pro :: Exercices de cours-
Sauter vers: