Intégrale

Bonjour.

J'ai une question sur les intégrales.
Nous avons vu que si f est une fonction continue sur un intervalle [a;b], alors : ∫[a à b]f(x)dx = F(b) - F(a) avec F une primitive de la fonction f.

Mais que se passe-t-il si la fonction f n'est pas définie en a ? Par exemple je dis que f est continue sur ]a;b]. Il est légitime je pense de considérer tout de même ∫[a à b]f(x)dx. Mais dans ce cas là, comme F(a) n'existe pas, comment fait-on ? Peut-on dire que c'est égale à l'intégrale de la fonction f prolongée par continuité en a ? J'ai pensé à une écriture qui pourrait tout généraliser : ∫[a à b]f(x)dx = lim_x->bF(x) - lim_x->aF(x)
et dans ce cas là, si f est continue sur [a;b], alors lim_x->bF(x) = F(b) et lim_x->aF(x) = F(a) et on retrouve bien F(b)-F(a).

J'ai un exemple (celui qui m'a fait se poser des questions ^^) :

Soit la fonction f définie sur ]0;+infini[ par : f(x) = xⁿ*ln(x) avec n un entier naturel.
Et bien en voulant calculer l'intégrale de cette fonction entre 0 et 1, j'ai vu que la primitive n'était pas définie en 0. Donc j'ai quand même continué en utilisant la limite comme j'ai décrit plus haut et j'ai trouvé comme résultat : -1/(n+1)².
J'ai vérifié avec des logiciels de calcul (le site Wolfram alpha et une appli iphone) et ça m'affiche le même résultat que moi. Donc je me suis dit que j'ai peut être trouvé le bon truc !

Qu'en penses-tu ?

Bonsoir,

C'est remarquable en effet mais tu as bien trouvé l'idée générale de ce qu'on appelle des intégrales généralisées (ou presque).

En effet, dès que la fonction est continue l'intégrale à un sens sur l'intervalle où la fonction est continue. Alors que se passe-t-il lorsque l'intégrale est sur un domaine où l'une des deux bornes ne fait pas partie de l'intervalle de continuité?

Aparté: L'intégrale est en fait une fonction G (ensemble des fonction intégrable) --> R tel que pour tout f dans l'enseble des fonction intégrable on ait: G(f)=∫f
Volontairement, je ne mets pas de borne à l'intégrale.

Retour à l'idée:
Mais nous ce qui nous intéresse ce n'est pas cette fonction intégrale mais c'est plutôt la fonction suivante:

Pour une fonction f fixée, continue sur ]a,b], on définit la fonction H: ]a;b] ---> R tel que pour tout x dans ]a,b], on ait: H(x)=∫[x à b] F(x)

Ainsi, sur l'intégrale tel qu'on te l'a défini cette année existe sans problème vu que F est continue sur [x;b] pour tout x dans ]a;b].

Maintenant, s'il y a existence de la limite lorsque x tend vers a de H(x) pourquoi s'en priver?

D'où sous réserve d'existence d'une limite, nous avons donc étendu la définition de l'intégrale d'une fonction sur un domaine où la fonction n'est pas forcément continue au bord de l'intervalle considéré.

Comment rédiger cela?

Et bien, on écrit jamais Lim = ...= Lim .... car on ne sait absolument pas si toutes ses limites existes. En conséquence sur l'exemple, on prend A>0 et on considère l'intégrale entre A et b. Et seulement on passe à la limite lorsque A tend vers 0.


Et on peut même aller plus loin du coup, non? Que se passe-t-il lorsque a ou b sont égaux à l'infini? Et que se passe-t-il lorsque les deux bornes ne sont pas définies?

Bon courage!

Merci pour ta réponse !

Quand a ou b sont égaux à l'infini c'est facile, il suffit "d'appeler" la borne en question x et après avoir calculé l'integrale, faire la limite quand x tend vers l'infini.
∫[a à +infini]f(t)dt = lim _x->+infini∫[a à x]f(t)dt
∫[-infini à a]f(t)dt = lim _x->-infini∫[x à a]f(t)dt
∫[-infini à +infini]f(t)dt = ∫[-infini à a]f(t)dt +∫[a à +infini]f(t)dt

Bonsoir,

Alors en effet, pour les deux première c'est l'idée qui est la même lorsque la borne est infini c'est comme si nous étions sur un point de non continuité tout simplement.

Par contre, il faut avoir conscience que l'égalité existe (c'est à dire que l'intégrale à un sens et la limite aussi) si et seulement si la limite existe après intégration. Sinon, il n'y pas égalité.

Pour la dernière proposition, il y a un moyen plus simple que de passer par découpage c'est de considérer une double limite directement:

Soit A et B deux réel on calcule l'intégrale de A à B puis on fait tendre A vers moins l'infini et B vers l'infini.

Bon courage pour la suite!