Question sur les ensembles

Salut !

Notre prof de physique étant rédacteur du magasine "prépamagazine", j'en reçois de temps un exemplaire. Il est très bien fait, avec des articles sur des phénomènes physiques, de l'histoire des sciences, des approfondissements en maths, des conseils sur la manière de rédiger, des jeux mathématiques/physiques etc.

Et dans l'histoire des sciences, je trouve un encadré qui dit ceci:

"Le théorème de d'Alembert-Gauss

Cauchy a construit C à partir de R en montrant que C~~R[X]/(X²+1), où X est une indéterminée. Mais ce théorème assure que tout polynôme complexe de degré n possède n racines complexes. Le processus algébrique d'extension de l'univers des nombres à partir d'équations polynomiales est donc terminé: le corps C est dit "algébriquement clos"."

Je me demandais ce que voulait dire C~~R[X]/(X²+1) ? (les 2 vagues sont superposées)

Bonne soirée.

Bonsoir,

Voilà, une question ibne pertinante. Alors sans rentrer dans la théorie des extension de corps et autre, on peut définir les "deux vagues" comme tu le dit comme étant ceci "est isomorphe à".

C'est à dire qu'on dit que C est isomorphe à R[X]/(X²+1)

Bon pour les noms barbare, on appelle R[X] l'ensemble des polynômes à une indéterminée X. Et pour revenir à ce que tu sait manipuler, lorsqu'on prend un P dans R[X], on définit sa fonction polynôme comme étant xЄR|-->P(x). On constate un changement d'ensemble vu que P est un polynôme à coefficient réels (c'est ce que signifie le R de R[X]) est dans l'ensemble des polynômes alors que x|-->P(x) est à valeurs dans R. R[X] est un espace de fonction ne quelque sorte à valeur dans un espace qu'on défini selon la valeur qu'on fait prendre pour l'indéterminée X (soit réel, soit complexe, soit des fonction par exemple P(f) ou encore des matrices et j'en passe...) Celà permet une généralisation dans un espace quelconque de l'utilisation des fonctions polynômes.

Sinon, le (X²+1) est ce qu'on appelle un idéal engendré par le polynôme Q=X²+1. C'est à dire qu'il s'agit de tous les polynômes de la forme P*Q avec P dans R[X] et Q=X²+1.

Enfin, pour en finir avec les définitions, on dit que deux ensembles sont isomorphes s'il existe un isomorphisme entre ces deux ensembles. Un isomorphisme étant un morphisme bijectif et bicontinue (la fonction et sa réciproque sont continues).

Ensuite as-tu quelque notion d'ensemble quotient? Car Pour comprendre R[X]/(X²+1), il faut avoir quelque notion d'ensemble quotient, d'anneau factoriel et d'idéaux maximaux.

Sinon, vulgairement, R[X]/(X²+1) est l'ensemble des polynôme de R[X] modulo X²+1. Et no constate assez rapidement que considérer une congruence par X²+1 revient à ajouter une racine à ce polynôme le nouvel ensemble R[X]/(X²+1). Et ainsi, on ajoute donc i (la classe de l'indéterminée X par la relation) à R tout entier ce qui nous redonne bien C. Bon ceci est de la vulgarisation à outrance et n'est pas très rigoureux pour la fin mais l'idée est là si tu veux pouvoir comprendre un peu mieux les choses sans pour autant avoir vu toutes les théories qu'il y a derrière.

En espérant que cela te donne une meilleure vision des choses.

Bonne continuation!

J'ai forcément une meilleure vision des choses vu qu'avant je n'avais pas idée de ce que ça pouvait être.^^

Mais je ne comprends toujours pas tout à fait. Je vais attendre qu'on approfondisse un peu plus les ensembles en cours, puis j'y reviendrai. En effet, je ne sais pas ce que sont des "ensembles quotients", ni des "morphismes".

On a déjà évoqué des automorphismes de corps en cours il me semble (concernant des applications comme la conjugaison complexe je crois, c'était il y a plus d'un mois). Mais le prof nous a dit qu'on verrait ce que ça voulait dire plus tard dans l'année.^^ (Si c'est pas trop compliqué, je suis pas contre une explication, ça me permettrait déjà de mieux comprendre).

Alors une fonction F est un morphisme d'anneau si c'est une fonction qui va d'un corps (K,+,*) vers un corps (K',T,T') et qui a pour propriété:

Pour tout (x,y) dans K², on ait F(x+y)=F(x) T F(y)
Pour tout (x,y) dans K², on ait F(x*y)=F(x) T' F(y)

On peut dire que F envoie la structure de K sur celle de K' (la première loi est envoyée sur la première loi et de même pour la deuxième).

Sinon, pour la notion d'ensemble quotient, les plus connu que tu manipule snasl e savoir depuis ta terminale en ayant fait spé maths sont les ensemble Z/nZ avec n un entier naturel qui n'est autre que l'ensemble des classe de congruence modulo n dans Z. après au niveau de lathéorie, il faut définir, les loi sur ces ensembles quotient à partir des lois des ensembles de bases ainsi que leur propriété interne ce qui demande un peu de travail (la définition de la congruence par exemple ici à l'aide de la définition de la division euclidienne sur Z).

Je pense pas qu'il faille brûler les étapes et je ne le souhaite pas en tout cas car la notino d'ensemble quotient est vraiment au coeurs de la thoérie des ensembles comme tu le constates rien qu'avec l'exemple que tu cites pour redéfinir C à l'aide de l'ensemble des polynôme quotienté par un idéal maximale (pour garder les mêmes définitions par rapport à mon précédent message).

Je ne fais que te donner des pistes de recherches et je l'espère étayer ta curiosité sur le sujet.

En tout cas n'hésite pas si tu as des questions!