Probabilités

Bonjour, je n'arrive pas a démarrer mon exercice de mathématique, alors je viens chercher un peu d'aide, le voici:

On lance successivement deux dés cubiques non truqués numérotés de 1 à 6. On appelle p le résultat du premier dé et q le résultat du second. On considère alors l'équation du second degré (E): x²+px+q=0

1)a) Quelle est la probabilité pour que (E) admette deux solutions distinctes ? Une solution double ?
b) Dans le cas où (E) admet des solutions, quelle est la probabilité pour que la somme des solutions (distinctes ou non) soit égale a -1.


2) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de solutions de (E)
a) Determiner la loi de probabilité de X
b) Au bout d'un grand nombre d'expériences, que peut-on dire du nombre moyen de solutions de (E) ?


Alors j'ai construit mon arbre de probabilité mais j'ai l'impression qu'il ne me sert pas à grand chose.

Donc pour que (E) admette deux solutions distinctes il faut que Δ>0 et pour obtenir une solution double il faut que Δ=0 ?

Donc:
Δ=b²-4ac
=p²-4*1*q
=p²-4*q


alors p²-4*q=0
et la je bloque, je ne vois pas comment faire l'équation, merci d'avance de l'aide que vous me donnerez.

Bonsoir,

Alors je ne suis pas très au point sur le nouveau programme de probabilité de première et de terminale, il faudra que je me remette à jour un de ces 4 d'ailleurs mais je vais essayer de te guider d'après mes intuitions dans un premier temps et nous verrons si cela suffit.

Alors, tu démarres de façon nickel, il y a une solution double lorsque le discriminant est nul et il y a deux solutions distinctes lorsque celui-ci est strictement positif.

Maintenant que le calcul est fait, peux-tu énumérer l'ensemble des possibilités des couples (p;q) qui vérifient l'inégalité:
p² - 4p > 0 ?

L'avantage que nous avons ici est le fait que nous pouvons tester toutes les solutions car après tout p et q prennent des valeurs distinctes et plutôt limitées (de 1 à 6), il suffit donc de regarder au fur et à mesure:
Peut-on avoir p=1 par exemple ?
Peut-on avoir p=2 ?
Si p=3, combien de possibilité pour q ?
Si ....

Il s'agit d'une disjonction de cas en quelque sorte. Après, il suffira de regarder la probabilité de l'ensemble de ces couples.

Bon courage!

Donc en faite il faut que je remplace p et q par les probabilités qu'ils ont de tomber ?
p= toujours 1/6 et q= toujours 1/6 aussi.

Donc sa ferais:
Δ= p²-4q
=(1/6)²-4*(1/6)
= -23/36

Mais la Δ est négatif donc il n'y à pas de solution.

Je comprend pas ce que je dois faire ou ce que je n'est pas fait

Oulà non !

p et q ne sont pas des probabilités mais des nombres visibles sur chacune des faces.

Dès qu'on aura toutes les possibilités, nous pourrons regarder les probabilités de chaque couple trouvé.

Par exemple, pour p=1 (le premier dé tombe sur la face 1), Δ= 1²-4q = 1-4q
Or q est supérieur ou égale à 1 (il n'y a pas de face 0), donc Δ<0.
Conclusion, p=1 n'est pas possible.

Ensuite, regarde pour p=2, 3, 4, 5 et 6. Il y a pas mal de couples possibles, quels sont-ils ?

Bon courage!

Quand on fait l'arbre de probabilité on voit qu'il y a 36 couples possibles.

J'ai calculé comme vous m'avez dit tout les Δ en remplaçant p par le résultat possible.

Donc pour:

p=1 q=0,25, p=2 q=1, p=3 q=2,25, p=4 q=4, p=5 q=6,25, p=6 q=9

Donc il peut y avoir 2 solutions doubles, et 11 solutions distinctes c'est bien ça ?

Mais ses probabilités je les mets sur 36 ou sur 13 ?

Je ne comprend pas le premier couple:
(1;0,25)

En effet, comment fais-tu pour avoir un dé qui tombe sur la face 0,25 ????
De même pour q=6,25 et pour q=9 ???

Prenons dans un premier temps le cas simple du discriminant nul, cela serait plus simple dans les cas possibles.

1)Combien de couple possible (p;q) trouves-tu? Et quels sont-ils ?
2) Déduire la probabilité de chacun de ces couples.
3) Enfin, vu que les couples sont incompatibles (l'ordre des dés compte), les événements sont donc incompatibles. Comment trouver, la probabilité globale de tous les événements ?
4) Conclure.

Bon courage!

En faite pour tous j'ai fais une équation pour Δ=0 et pour p=1, 5 et 6 ont trouve respectivement q=0,25 , 6,25 , et 9 mais vu qu'aucune face ne correspond alors il n'y a pas de couple possible

Il y a 13 couples possibles.

(p=2,q=1);(p=2,q=2) (p=2,q=3) (p=2,q=4) (p=2,q=5) (p=2,q=6)
(p=3,q=3) (p=3, q=4) (p=3,q=5) (p=3,q=6)
(p=4,q=4) (p=4,q=5) (p=4,q=6)

2 solutions doubles
11 solutions distinctes

Elles ont toutes la même probabilité de tomber non ?

Ensuite je ne comprend pas l'avant dernière question que vous me posez.

Bonsoir,

En effet, elles ont toute la même probabilité de tomber qui est de ?

En revanche, il y a des couples qui me paraissent compromis. En effet, (2;2) n'est pas viable car 2²-4*2 = -2 < 0

Il faut revoir tes calculs pour trouver les couples correspondants. Il te suffit de les tester si tu as des doutes sur certains.

Bon courage!

Effectivement j'ai réfléchit dans le mauvais sens

Alors les nouveaux couples sont:
(p=2,q=1)
(p=3,q=1) (p=3,q=2)
(p=4,q=1) (p=4,q=2) (p=4,q=3) (p=4,q=4)
(p=5,q=1) (p=5,q=2) (p=5,q=3) (p=5,q=4) (p=5,q=5) (p=5,q=6)
(p=6,q=1) (p=6,q=2) (p=6,q=3) (p=6,q=4) (p=6,q=5) (p=6,q=6)

Donc cette fois on a:

2 solutions doubles
17 solutions distinctes

Donc la probabilité pour que (E) admettent deux solutions distinctes est de 17/19, et une solution double est de 2/19

C'est bien ça ?

Bonsoir,

Je suis déjà d'accord sur les possibilités. Maintenant, je ne suis pas d'accord sur les probabilités. En effet, quelle est la probabilité de chacun des couples ?
Du coup, en déduire la probabilité d'obtenir deux solutions distinctes.

Bon courage!

Bonjour,

Alors la probabilité de chacun des couples est de 1/36 donc en effet j'ai pas été logique dans mon raisonnement.

Donc on a:
La probabilité pour que (E) est deux solutions distinctes est de 17/36, une solution double est de 2/36 et donc 17/36 pas de solution.

pour la question 1)b) de mon exercice je dois calculer toutes les solutions distinctes et double et par la suite toutes les additionner ou simplement additionner les solutions de la même équation ?


Merci beaucoup de votre aide en tout cas !

Bonjour,

C'est en effet mieux pour la première question qui se termine donc de mon point de vu.

Maintenant, pour la b), il ne faut pas oublier la 1) à savoir le fait que nous avons explicité concrètement tous les couples (p;q) qui amène des solutions distinctes ou doubles. Il va falloir donc s'en servir et pour cela il faut faire le lien entre l'équation et la somme des racines du polynôme à savoir les solutions de l'équation.
En effet, lorsqu'on écrit une équation sous la forme développé x²+px+q=0, connais-tu les liens qu'il existe entre p, q, la somme des solutions et le produit des solutions de l'équation (lorsqu'il y a des solutions distinctes ou doubles bien entendu) ?

Si tu ne t'en souviens pas, il faut savoir le retrouver par soi-même à savoir si nous avons deux solutions x1 et x2 de l'équation quelle serait la forme factoriser de l'équation ? Du coup, en développant cette forme factorisée n'est-il pas possible de retrouver les liens recherchés ?

Bon courage!

Au secours !!!! Mais j'ai jamais vu tout sa moi ... et dire que je ne croyais pas mon prof quand il nous disait qu'on y arriverais jamais ...

La seule chose que je peux vous dire c'est que la forme factorisé de l'équation x²+px+q est normalement (x+q)²...

Bref, je vais essayer tout de même de reussir a finir l'exercice

La forme factorisée que tu proposes est fausse.

En effet, si je développe (x+q)² j'obtiens x²+2px+q² ce qui n'a pas la forme de notre polynôme en fait.

Je pense que le soucis vient du fait que les notions sur les polynômes et les racines ne sont pas totalement assimilées et du coup y ajouter les probabilités compliquent largement les problèmes.

Il faut donc revenir à la base à savoir ce qu'est une racine d'un polynôme du second degré c'est à dire la solution d'une équation du second degré. En effet, si a est solution de l'équation P(x)=0 cela signifie que P(a)=0 tout simplement.

A partir de là, il suffit de comprendre comment fonctionne une équation du second degré. En effet, la seule chose qu'on sache faire c'est résoudre des équations du premier degré à une inconnue, il nous faut donc s'y ramener si on souhaite pouvoir résoudre une équation du second degré. Pour cela, il suffit donc de factoriser puis d'appliquer la propriété qui nous dit qu'un produit de facteurs est nul si au moins l'un des facteurs est nul.

Ainsi, dire que a est solution de l'équation, c'est dire que l'équation peut s'écrire: (x-a)*(....)=0
En effet, si je remplace x par a, j'obtiens bien (a-a)*(.....)=0*(...) = 0 ce qu'on cherche.

Du coup, si on dit qu'une équation du second degré admet deux solutions x1 et x2 cela signifie qu'on peut écrire l'équation sous forme d'un produit de deux facteurs égale à 0.
Je te laisse réfléchir à comment écrire cela. Dès que tu auras trouvé cette écriture d'une équation du second degré, tu pourras alors comprendre comment visualiser la somme et la multiplication de deux racines d'un polynôme lorsqu'on a l'écriture d'un polynôme du second degré.

Le soucis n'est donc pas lié au probabilité mais bien à toute la théorie liée aux équations du second degré dont l'étude commence en 3ème avec les équations produit, se poursuit en 2nd avec l'étude des polynômes du second degré et se termine en 1ère avec le discriminant.

Bon courage!

Bonsoir,

J'ai pas trop compris mais bon, avec ce que j'ai compris je trouve cela : (x1-x)*(x2-x)=0

C'est ça que je devais trouver ou pas du tout ?

Je m'y remettrai demain, bonne soirée

C'est exactement cela !!!

Bon, je l'écrirai plus dans ce sens là: (x-x1)(x-x2)=0 mais cela ne change rien.

Bon maintenant, si on développe cette expression: (x-x1)(x-x2), cela donne quoi ?
Retrouves-tu la somme et le produit des deux racines quelque part dans la forme développée ?
Si nous écrivions l'expression développer sous la forme x²+px+q à quoi correspondrait p et q en fonction de x1 et x2 ?

Du coup, pour la question de notre exercice que faut-il regarder pour avoir accès à la somme des solutions ?

Bon courage!

Bonjour,

Alors si on développe on obtient: x²-x*x2-x*x1+x1*x2 C'est bien cela ??

De plus, selon moi le produit des racines que l'on doit retrouver est x1*x2 et la somme je dirais -x*x2-x*x1 mais je n'en suis absolument pas sure

Si nous écrivions l'expression développer sous la forme x²+px+q je pense que p correspondrais à x*x2-x*x1 et q à x1*x2

Bonjour,

Il faut factoriser pour les terme en x sinon, on ne visualise pas grand chose mais c'est bien cela en effet.

x² - (x1+x2)x + x1*x2

Ainsi, dans l'expression x²+px+q on a l'identification suviante:

p = - (x1+x2)
q= x1*x2

Du coup, si la somme des racines vaut -1, p vaut combien ?
Du coup, combien de couple répondent à la question ?

Bon courage!

Bonsoir,

Alors il faut que p=1 pour que la somme des racines fasse -1, or il n'y a aucun couple possible donc aucune probabilité pour que la somme des racines fasse -1

C'est bien cela ?

En effet !!!

Du coup, quelle est la probabilité de cet événement ?

Du coup la probabilité de cet événement est de 0/19