TS Probabilités

Un groupe de 8 voyageurs n'ayant pas réservé leur place se répartit au hasard et
indépendemment les uns des autres entre les 5 voitures d'un train. Dans chaque voiture il y a 2 places de libres.
Soit X le nombre de voyageurs du groupe qui trouvent une place assise.
Déterminer le loi de probabilité de la variable aléatoire X.

(Bonsoir? .....)

Bonsoir et bienvenue parmi nous Dfqc,

Ton exercice est très intéressant, celà faisait bien longtemps que je ne m'étais pas replongé dans les probabilités.

Puisque je ne sais pas où tu en es dans ton exercice, je vais commencer par te poser des question pour t'aiguiller dans tes recherches.

Nous sommes dans le cas où les voyageur sont indiscernable et les wagons aussi. Le but est de construire le tableau de de la loi de probabilité car expliciter la loi de probabilité en elle même serait plutôt complexe.

Mais avant de commencer à calculer les probabilités lorsqu'il n'y a que deux places dans chaque wagon, commençons par regarder comment peuvent être répartis les 8 personnes dans les 5 wagons. Vu que les wagon sont indiscernables, il faut savoir donc savoir que le quintuplet (0,0,0,,8) est égale aux quintutplet (8,0,0,0,0). Ce quintuplet est composé du nombre de personnes qui sont dans chaque wagon. Pour mon exemple, celà veut dire que les 8 voyageurs sont dans un seul wagon.

Il y a 18 quintuplets possibles, pourrais-tu les expliciter pour que nous puissions commencer?

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

(merci de votre aide? Pouvez-vous m'aider? ....)

Bonjour et merci pour l'aide.
voici les 18 qintuplets (je pense !)
(8,0,0,0,0) ; (7,1,0,0,0) ; (6,2,0,0,0) ; (6,1,1,0,0) ; (5,3,0,0,0) ; (5,2,1,0,0) ; (5,1,1,1,0)
(4,4,0,0,0) ; (4,3,1,0,0) ; (4,2,2,0,0) ; (4,2,1,1,0) ; (4,4,1,1,1) ; (3,3,2,0,0) ; (3,3,1,1,0)
(3,2,2,1,0) ; (3,2,1,1,1) ; (2,2,2,2,0) ; (2,2,2,1,1).
Je pense voir la suite, à chacun de ces quintuplets correspond une valeur de X d'où les probabilités MAIS ces quintuplets sont-ils équiprobables ?

Bonjour Dfqc,

Les 18 quintuplets sont bons sauf celui-ci: (4,4,1,1,1) qu'il faut remplacer par celui-ci (4,1,1,1,1).

En effet, à chaque quintuplet va correspondre une valeur de X.

Maintenant, il nous reste à trouver la probabilité de chacun de ces quintuplets car hélas il ne sont pas équiprobables celà serait trop simple. Pour celà nous allons le faire dans le cas général.

Nous allons donc prendre le quintuplet (V₁, V₂, V₃, V₄, V₅) avec V_i le nombre de voyageur dans la voiture d'indice i.

Pour chaque voyageur, il y a 5 possibilité de voiture. Il y a donc 5₈ possibilités en tout.

Nous savons aussi que vu que ni les voyageur, ni les wagon sont discernable, que la probabilité d'un évênement est égale au cardinale de cette évênement divisé par toute les possibilités

Maintenant, au début, sur les 8 voyageur, il y a v₁ parmi 8 façon d'en choisir v₁ pour les mettre dans la première voiture. Pour la deuxième, il n'y a plus que 8-v₁ voyageurs, il y a donc v₂ parmi (8-v₁) d'en choisir v₂ parmi les 8-v₁ pour les mettre dans le deuxième wagon.

Et ainsi de suite... Tu vas donc pouvoir écrire la probabilité du cas générale (V₁, V₂, V₃, V₄, V₅).

Cependant, comme tu l'as constaté, je fais la distinction entre les wagons dans mon raisonnement. Or nous ne devons pas la faire. Mais celà se rectifie de la façon suivante:

Il y a (1 parmi 5)=5 façon de mettre 8 voyageurs dans un seul wagon.

En effet, (8, 0, 0, 0, 0), (0,8,0,0,0) , (0,0,8,0,0), (0,0,0,8,0), (0,0,0,0,8)

Pour remplir deux wagons avec un nombre de personne différent dans chacun d'eux, il y a (1 parmi 4)*(1 parmi 5) = 20 façons de le faire.

Pour remplir deux wagon avec un nombre identique de voyageur dans chacun d'eux, il y a (2 parmi 5) = 10 façons de le faire (2 fois moins que la précédante car (0,0,0,3,5) est différent de (0,0,0,5,3) or si il y a le même nombre de personne dans les deux wagon il n'y a plus de distinction lorsqu'on échange deux positions).

Et ainsi de suite.

Ainsi tu vas avoir la probabilité de chacun des quintuplet et il ne restera plus qu'à faire le tableau de la loi de probabilité en fonction X.

N'hésite pas à poser des questions, c'est ainsi qu'on va avancer.

Bon courage et @bientôt au sein du forum!

Bonsoir.
Une remarque tout d'abord, pour le quintuplet faux, c'était une erreur de frappe !

En appliquant votre méthode j'obtient pour le cardinal de chacun des 18 évènements dans l'ordre ou je les ai donnés :
5 ; 160 ; 560 ; 1 680 ; 1120 ; 10 080 ; 6 720 ; 700 ; 16 800 ; 12 600 ; 50 400 ; 8 400 ;
16 800 ; 33 600 ; 100 800 ; 67 200 ; 12 600 ; 50 400.
Ce qui fait un total de 390 625 = 5^8. Je pense donc que c'est juste. La suite ne devrait pas poser de problème.

N.B. Pour 2 voitures avec un nombre identique de voyageurs j'ai divisé par 2.
Pour deux fois 2 voitures avec un nombre identique de voyageurs j'ai divisé par 2*2.
Pour 3 voitures avec un nombre identique de voyageurs j'ai divisé par 3!.
.........................

Encore une fois, merci beaucoup

Magnifique !!!

Tous les calculs sont exacts ! Ta vérification est bonne aussi et même judicieuse même si en générale, on considère les probabilités et on regarde si le total fait bien 1.

Le tableau de probabilité tombe tout de lui-même en effet. N'oublie pas qu'il faut mettre les probabilités dans le tableau donc il faut diviser tes résultat par 5⁸.

Bon courage pour la finalisation de ton exercice et @bientôt au sein du forum!

Bonjour @toutes et tous!

Cette exercice de probabilité (loin d'être simple en apparence d'ailleurs) est très intéressant en soi car vous permettra de faire pas mal de révision sur le sujet.

Tout a été dit sur le sujet et tous les réponses sont écrites dans le dernier message, je ne propose donc pas de correction plus approfondi pour ma part car cela ne servirait pas à grand chose.

Je ne verrouille pas le sujet si vous vouliez des précision au cas où.

Bonne continuation et @bientôt au sein du forum!