Proportions et probabilités

Bonsoir !

Si on dit qu'une proportion q d'une population est atteinte d'une maladie et donc qu'une proportion p=1-q n'est pas atteinte de cette maladie. Est-ce que, en prenant au hasard un groupe de r personnes de cette population, alors la proportion de ces r personnes à être malades est toujours q et la proportion de ces r personnes à ne pas être atteint de cette maladie est toujours p=1-q ??

Par exemple : si je dis que sur 1000 personnes, 25% sont malades et 75% sont indemnes. Alors est-ce que, si je prends par exemple 458 personnes de cette population je peux affirmer que 25% sont malades et 75% sont indemnes ?
En terme de probabilités : si la probabilité qu'une personne soit malade sur les 1000 personnes est égale à 1/4, alors est-ce que la probabilité qu'une personne soit malade sur les 458 personnes issues aléatoirement des 1000 personnes est toujours 1/4 ?

J'ai essayé d'y répondre tout seul et ça ne m'a pas beaucoup avancé car les deux réponses à ma question sont possibles :

- OUI : mais il ne faut pas oublier que ça reste une proba et pas une certitude
- NON : Sur 1000 personnes :

25% sont malades, soit : 250 malades

75% sont indemnes, soit 750 sains

Si on prend 458 personnes de cette population on ne peut pas affirmer que 25% sont malades et 75% sont indemnes.
En effet, si le hasard fait mal les choses, on pourrait avoir choisi :

197 personnes malades (puisqu'il y en a 250)

261 personnes saines (puisqu'il y en a 750)


Merci d'avance !

Bonsoir,

Citation :

si je dis que sur 1000 personnes, 25% sont malades et 75% sont indemnes. Alors est-ce que, si je prends par exemple 458 personnes de cette population je peux affirmer que 25% sont malades et 75% sont indemnes ?

Non, pas du tout! En effet, le fait que tu changes l'échantillon que tu observes cela change la proportion qui est observée sur un échantillon plus grand. Donc tu l'as senti toi aussi, le nombre de personne prises dans l'échantillon de départ vont jouer un rôle sur la répartition des malades et des sains.

Je pense aussi qu'il y a une certaine confusion entre échantillon considéré et probabilité. En effet, ici, il n'y a pas d'événement à première vu. On nous dit que 1/4 de la population de 1000 personne est malade est les 3/4 sont sains. Mais il n'y a pas de probabilité là-dedans c'est un constat tout simplement.

Ensuite, nous disons que nous prenons dans l'échantillon de départ un certain nombre de personne. Et la question serait donc "Quelle est la probabilité que 1/4 soit malade?". Mais on ne peut rien affirmer de façon brute.

C'est une question d'échantillonnage en quelque sorte. Donc bon, on va dire qu'avec un intervalle de confiance très grand en effet, il y a bien 25% des 458 qui peuvent être malades. Mais en aucun cas, de façon brute, on pourra affirmer 25% sont malades sans mettre en évidence l'intervalle de confiance qu'on considère. Car cela sous entendrait qu'on tronque une partie des données sans changer la validité de ma série de données ce qui est bien entendu faux.

J'avoue que je ne maîtrise pas très bien tout ce qui touche à l'échantillonnage mais de mon point de vue en tout cas, c'est la réponse la plus plausible que je puisse faire en l'état. J'espère que cela sera suffisant pour confirmer ou infirmer tes doutes. Mais cette réponse n'est valide qu'à 80% de mon point de vue.

Bon courage!

Quand je parlais de probabilités, il fallait le comprendre comme cela : si on dit que 1/4 de la population est malade, alors, en piochant un personne au hasard, la probabilité qu'elle soit malade est 1/4, n'est-ce pas ?


Et je me suis posé cette question car je suis tombé sur un énoncé pas très clair :

"Une proportion q d'une population est atteinte d'une maladie détectable par une analyse de sang. La proportion p=1-q est donc indemne.
On souhaite analyser le sang de chaque personne de la population afin de détecter les individus atteints de cette maladie.
On envisage deux méthodes :
A:une analyse individuelle
B:on mélange le sang de r personnes. Si l'analyse est négative, on arrête, et si elle est positive, on procède alors à une analyse individuelle des r personnes, ce qui au total nécessitera donc r+1 analyses.
On veut déterminer en fonction de p la taille optimale des groupes de r personnes.

Question 1 : On note Xr le nombre d'analyses nécessaires pour un groupe de r personnes avec la méthode B. Prouvez que E(Xr)=r+1-rp^r"



Pour cela, on est obligé de considérer que la proportion de gens indemnes dans ce groupe est tjrs p ?

D'où ma question du départ.

Bonsoir,

C'est tout à fait exacte pour ta première remarque en effet.

Pour ton exercice en question, on souhaite calculer l'espérance de notre variable Xr. Pour cela, il faudrait pouvoir explicité la loi de Xr. Déjà combien de valeur peut prendre Xr?

Si tout le monde est sain dans le groupe de r personne, on ne fera qu'un seul test. Donc Xr=1 si tout le monde est sain. Et à partir de là qu'elle est la probabilité que Xr=1? C'est à dire qu'on cherche P(Xr=1).

Ensuite, quelle(s) autre(s) valeur(s) peut prendre Xr? Et bien Xr ne peut prendre qu'une seul autre valeur c'est à dire que le test est positif et il faut donc faire r test supplémentaire. Ainsi, Xr=r+1 (vu qu'on compte le premier test aussi). Nous allons donc chercher la probabilité d'être dans ce cas là c'est à dire à explicité P(Xr=r+1).

On constate en fait qu'il n'y a que deux valeurs possible pour Xr. En effet, Xr=1 ou Xr=r+1. Il n'y a qu'une seule probabilité à chercher. En effet, si Xr n'est pas égale à 1 alors elle est égale à r+1. Donc (Xr=1) est l'événement contraire de (Xr=r+1). Ainsi, P(Xr=r+1)=1-P(Xr=1).

Il nous reste donc qu'à calculer P(Xr=1) tout simplement.

Ce qui te trouve c'est qu'on considère un échantillon de r personne parmi la totalité des personnes. Mais que signifie en fait Xr=1 ?? Cela signifie que dans les r personnes qu'on considère aucun n'est malade. Mais comment on a pris ce groupe là??? On a pris r personnes parmi la totalité et donc la probabilité qu'une personne soit saine dans ce groupe là n'a pas changé car on considère cette probabilité dans la totalité des gens et non pas dans le groupe de r personnes.

En fait, pour être un peu plus clair sans doute, je dirai que ici, on prend r personne parmi N. ET on sait que la probabilité qu'une personne soit saine est p. Donc je prend pas première personnes, est-elle malade? Probabilité qu'elle soit saine=p. Je considère ma deuxième personne de façon indépendante de la première, la probabilité qu'elle soit saine est donc toujours de p. Et ainsi de suite, je considère r personnes, la probabilité qu'elles soient toutes saines ? Et bien vu qu'on considère qu'on a pris ses personnes au hasard (il y a donc indépendance entre les gens), on a donc P(Xr=1)=[probabilité d'être saine]*....*[probabilité d'être saine] et ceci r fois car il y a r personne tout simplement. Ainsi, nous avons bien P(Xr=1)=p^r

Est-ce plus clair ainsi du coup?

Ensuite, il ne reste plus qu'à bien compléter la table de loi de notre variable et à calculer l'espérance tout simplement.

En fait, ici, on ne travaille pas du tout sur un échantillon en lui même mais sur chaque personne dans la totalité des personnes. On prend plusieurs personnes mais on reste toujours dans une réflexion sur l'ensemble des personnes qu'on considère et non seulement le groupe de r personne. On ne cherche pas la probabilité d'être sain dans l'échantillon lui-même. On cherche la probabilité que l'échantillon dans sa totalité soit sain.

J'espère en tout cas que ceci est un peu plus clair pour toi. Sinon, n'hésite pas à poser tes questions.

Bon courage!