Exercice Probabilités

Salut!
J'ai ici un exo sur les probabilités que j'aimerais réussir à faire, j'aurais donc besoin d'un petit coup de main.

Voici l'énoncé :


1) Un laboratoire met au point un test de dépistage d'une certaine maladie.
Suite à une étude statistique, on a constaté que la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est 0.99.
De plus la probabilité qu'un individu sain ait un test négatif est 0.99.
Enfin la probabilité qu'un individu choisi au hasard soit malade est p.
On appelera M l'évènement "un individu choisi au hasard est malade" et T l'évènement "le test de dépistage est positif".

Prouver que la probabilité pour qu'une personne dont el test est positif soit malade est : (99p) / (98p + 1) .

2. Faire une table de valeurs de la fonction ci-dessus pour p = 0.8, p = 0.7, p = 0.6, p = 0.1, p = 0.01, p = 0.001.
Comment peut-on interpréter ces résultats?



Voici mes réponses :

On a donc :

M : Malade
M/: Pas malade

T : Test positif
T/: Test négatif

P_M(T) = 0.99
P_M/(T/) = 0.99
P(M) = p

Je fais un arbre pour voir ce que ça donne :



Sur le point de vue des ensembles cela fait ceci :


--> Ce qui est en rouge est ce que l'on conclu des données en noires.

Je dois chercher la probabilité qu'une personne dont le test est positif soit malade.
--> En gros :



avec :

P_T(M) = P(M INT T) / P(T)
--> P(M INT T) = 0.99 * p selon l'arbre de possibilités ci-dessus.
Par contre, je cherche maintenant la probabilité qu'un test soit positif et, je ne trouve pas...

J'aurais donc besoin d 'un petit coup de main svp!
Merci d'avance!

Bonjour,

Les exercices de probabilité sont rarement des plus simple si on ne analyse mal les données. Alors essayons de bien analyse les données dans un premier temps, ce que tu as presque bien fait.

On a que des probabilité conditionnelle dans l'énoncer: P_M(T)=0.99, P_M/(T/)=0.99

Et on nous donne une probabilité simple à la fin: P(M)=p

Alors nous que cherche-t-on?

Et bien, d'après tes notation, on cherche à exprimer P_T(M) en fonction de p comme tu l'as écrit.

Ton arbre binaire se retrouve aussi par le calcul. En effet, P(M∩T)=P_M(T)*P(M) par définition et par conséquent, P(M∩T)=0.99p. Ensuite, on retrouve les autres intersections par le même procédé de calcul. Mais l'arbre binaire à l'avantage de pouvoir visualiser les choses.

Tu es donc arrivé à: P_T(M) = 0.99p/P(T)

Et maintenant, on aimerait bien montrer que P(T)=0.98p+0.01 ce qui nous permettrait de conclure si l'énoncer est juste.

Alors si on est bloqué, on peut essayer de faire apparaître ce qu'on cherche de façon plus explicite peut-être. En effet, on cherche donc à trouver 0.98p+0.01=(0.99-0.01)p+0.01=0.99p-0.01p+0.01=0.99p+0.01(1-p). On espère donc montrer en fait que P(T)=0.99p+0.01(1-p) c'est à dire P(T)=P(M∩T)+P(M\∩T) d'après ton arbre binaire.

Notre travail au brouillon, étant terminé essayons de montrer que P(M∩T)+P(M/∩T)=P(T) maintenant.

Nous avons normalement bon espoir que cela puisse marcher d'après nos calculs.

Bon courage!

On a donc :

avec :
P(M∩T)=PM(T)*P(M) donc selon l'arbre des valeurs : P(M∩T) = 0.99p

--> Reste à trouver l'expression de P(T) :

D'après l'arbre :
P(M∩T)+P(M/∩T)=P(T)
P_M(T)*P(M) + P(M/) * P_M/(T) = P(T)
0.99p + (1-p)0.01 = 0.99p + 0.01 - 0.01 p = p(0.99 +0.01 - 0.01) = 0.99p

Il y a un petit soucis dans ton calcul:

Citation :

0.99*p + 0.01 - 0.01*p = p(0.99 +0.01 - 0.01)

On ne peut pas factoriser par p partout . Mais dès que ceci sera rectifier tu vas trouver ce que tu cherches.

Cependant, comment déduis-tu:

Citation :

P(M∩T)+P(M/∩T)=P(T)

D'après ton arbre?

Car c'est cela qui m'a l'air le plus "complexe" même si nous avons vu pire niveau complexité c'est évident .

Bon courage pour la suite!

On a donc :

avec :
P(M∩T)=PM(T)*P(M) donc selon l'arbre des valeurs : P(M∩T) = 0.99p

--> Reste à trouver l'expression de P(T) :

D'après l'arbre :
P(M∩T)+P(M/∩T)=P(T)
P_M(T)*P(M) + P(M/) * P_M/(T) = P(T)
0.99p + (1-p)0.01 = 0.99p + 0.01 - 0.01 p = p(0.99 - 0.01) + 0.01 = 0.98p + 0.01

Et oui, je déduis cela de mon arbre pourquoi?


Ca fait donc :

P_T(M) = P(M∩T) / P(T) = 0.99p / (0.98p + 0.01)

On multiplie tout par 100 et on a :

99p / (98p + 1)

C'est tout à fait juste!

En fait, c'est le fait que M et M/ forment une partition de tout ton ensemble qui permet de dire que l'addition des deux probabilité est bien égale à celle de T tout entier. Mais on peut dire que cela se "lit" sur ton arbre en effet.

Ceci conclut donc la première question. La deuxième question réside dans les testes.

En effet, ici, nous sommes dans une démarche de modélisation en quelque sorte. On a trouver un test mais encore faut-il savoir si celui-ci est fiable et jusqu'à quel point l'est-il. C'est ce qu'on va regarder grâce à cette deuxième question.

Bon courage!

En fait, je remplace p par les valeurs données?

Bonsoir,

Ce que tu as calculé en 1) est en fait une fonction de p en effet. Sachant d'ailleurs que son ensemble de définition est [0;1] vu qu'il s'agit d'une probabilité.

A partir de là, la deuxième question permet juste de faire un tableau de valeur de cette fonction que nous allons devoir interpréter par la suite pour savoir si elle correspond à ce qu'on attend concrètement.

Bon courage!

Salut!
Désolé pour le retard mais là, je pouvais pas faire autrement.

Nous en étions ici :

(99p) / (98p + 1)
--> Faire une table de valeurs de la fonction ci-dessus pour p = 0.8, p = 0.7, p = 0.6, p = 0.1, p = 0.01, p = 0.001.
Comment peut-on interpréter ces résultats?



p = 0.8 :
(99*0.8) / (98*0.8 + 1) = 0.9974


p = 0.7 :
(99*0.7) / (98*0.7 + 1) = 0.995


p = 0.6 :
(99*0.6) / (98*0.6 + 1) = 0.993


p = 0.1 :
(99*0.1) / (98*0.1 + 1) = 0.916


p = 0.01 :
(99*0.01) / (98*0.01 + 1) = 0.5


p = 0.001 :
(99*0.001) / (98*0.001 + 1) = 0.09

--> On a une suite décroissante!

Bonsoir,

Je te fais confiance sur les calculs par contre l'interprétation n'est pas logique. En effet, où vois-tu une suite?

Nous avons une fonction de p que je pourrai écrire F(p)=99p/(98p+1) avec p compris dans [0;1].

Par conséquent, on parlera plus de décroissance de la fonction à la rigueur. Mais d'ailleurs ici, il s'agit d'une fonction croissante, vu que plus p est petit et plus la fonction l'est aussi. Donc nous sommes plutôt en train d'observer une croissance de notre fonction entre 0 et 1.

Cependant, dans une "interprétation", on n'attend pas de toi que tu dises "la courbe monte" ou "la courbe descend". Je schématise mais c'est pour te montrer le problème.

Mais alors qu'attendons-nous de toi pour une telle question?

La réponse est simple, il s'agit ici d'un exercice concret. En effet, nous partons d'une modélisation d'un problème réel. Par conséquent, p a une signification dans notre problème, quelle est sa signification?

De plus, notre fonction F(p) vient d'un calcul de probabilité d'un évènement conditionnel, quel est-il? A quoi fait-il référence?

Connaissant la signification concrète de ces deux valeurs là, l'interprétation vient de savoir si notre modélisation est bonne ou pas par rapport à ce qu'on attend. En gros, nos résultats sont-ils satisfaisant par rapport à la réalité? Est-ce normalement que la probabilité de notre évènement décroît en fonction lorsqu'on prend des valeur de p de plus en plus petite.