Statistiques et probabilités

Salut.
Tout d'abord meilleurs voeux vu que ça fait un petit bout de temps que j'ai plus posté ici mais les probas reviennent à la charge et il y a plusieurs choses qui me laissent perplexes et qu'il vaudrait mieux que je comprenne.
(Je savais pas dans quelle rubrique poster donc j'ai vu 1ère année de fac et j'ai mis ça ici).


--> On parle d'"évènements disjoints" et "d'évènements indépendants". Je pensais que c'était la même chose mais une question nous proposait de choisir entre les deux donc quelle est la différence entre les 2?





--> Soit un ensemble fondamental S constitué des évènements élémentaires suivants : S = {a, b, c, d, e, f} sachant qu'aucun de ces évènements n'est impossible. A chaque évènement est associée sa probabilité P. L'ensemble n'est pas équiprobable.

a) Quelle est la valeur de P(A|B)? : (il y a plusieurs propositions vu que c'est un QCM mais je vais tenter de faire sans).

A cette question, la réponse donnée est 0 mais cela impliquerait que a et b serait indépendants car :

Dans l'énoncé, où voit-on que a et b sont indépendants?


b) On considère deux évènements composés : M = {a, b, c} et N = {d, e, f}.
Que peut-on dire de M et N : disjoints ou indépendants?

c) On dispose de l'information suivante : P(d) = 2P(a) ; P(e) = 2P(b) et P(f) = 2P(c). Quelle est la probabilité de P(N)?

On sait que N = {d, e, f} donc p(N) = P(d) + P(e) + P(f) = 2P(a) + 2P(b) + 2P(c) = 2P(M).
Ici il me manque P(M). J'aurai pu dire que comme M et N se partagent les évènements simples, P(M) = 1/2 etc.. mais l'ensemble n'est pas équiprobable...

La réponse donnée est 2/3 et je vois pas comment on peut y arriver.





--> Un médecin visite une famille de 3 enfants qu'il voit pour la première fois. Le premier enfant qu'il examine est une fille. On suppose l'équiprobabilité des évènements {fille} et {garçon}.
a) Quelle est la probabilité que les deux enfants qu'il examinera soient également des filles?

Là, on se sert de ceci :

avec :
°P(a|b) = Proba que les 2 derniers enfants soient des filles sachant que le 1er des 3 est une fille.
°a = les 2 derniers enfants sont des filles (F)
°b = Ensemble des cas avec 1er enfant = fille

Les cas possibles : 8

GGG
GFG
GGF
GFF
FGG
FGF
FFG
FFF

P(A Inter B) = 1 : FFF
P(B) = 8- 4 car il faut que le 1er enfant soit une fille
Donc au final on trouve : 1/4 or la réponse donnée est 1/7 donc je ne vois pas trop.

b) Même question s'il sait que le 1er enfant est l'ainé.



Donc voilà, je bloque un peu et j'aurai besoinde qulques explications complémentaires?

Merci d'avance.

Bonsoir et mes meilleurs voeux pour 2010!

Pour ta première question, je vais prendre un cas simple:

[1;2] et [5;6] sont deux intervalle disjoint. Tu peux faire le parallèle avec des invênements disjoints à partir de là je pense.

En effet, on dira que A et B sont deux évênements disjoint si A∩B est vide.

Si tu prends un exemple simple comme le tirage de boule dans une urne:
A="Tirer une boule rouge" et B="Tirer une boule noire" sont deux évênements indépendants
En effet, si la boule tirée est rouge, elle ne sera pas à fortiori noire tout simplement.

Tu constates donc que la définition d'évênement disjoints ne fait pas intervenir la notion de probabilité des dits évênements. Alors que la notion d'évênement indépendant repose totalement sur la notion de probabilité.

En effet, on dira que A et B sont indépendants si et seulement si la probabilité de l'intersection est égale au produit des probaiblités de chacuns des évênements.

Par exemple, si je prend un dé, la probabilité d'avoir un 6 est 1/6 et la probabilité d'avoir un 5 est aussi de 1/6. Or la probabilité d'avoir un 6 et un 5 en mêem temps (intersection des deux évênements) est nul car les évênements sont disjoints. Mais il n'y a pas indépendance car (1/6)*(1/6) n'est pas égale à 0 c'est bien connu.

En espérant que celà soit plus clair maintenant au niveau du vocabulaire.


Je te laisse reprendre la première question qui repose justement sur cette notion d'indépendance et d'évênement disjoint.

Bon courage pour la suite!

Ok donc on parle d'évènements disjoints quand on n'évoque pas pas notion de probabilité. Dans l'exemple boule noire, boule rouge, c'est indépendant car comme on a deux choix le fait de tirer une boule rouge va limiter la probabilité de l'autre cas soit tirer une noire si j'ai bien saisi.

Donc :
"A et B sont deux évènements disjoint si A∩B est vide."
"La notion d'évènement indépendant repose totalement sur la notion de probabilité. A∩B indépendants si P(A∩B) = P(A) * P(B)"

--> Disjoints = pas de notion de proba.
--> Indépendants = notion de proba.

Disjoints car on ne peut pas avoir les deux évènements en même temps.



Question 1 :

Soit un ensemble fondamental S constitué des évènements élémentaires suivants : S = {a, b, c, d, e, f} sachant qu'aucun de ces évènements n'est impossible. A chaque évènement est associée sa probabilité P. L'ensemble n'est pas équiprobable.

a) Quelle est la valeur de P(a|b)? :
Ici, l'ensemble S est composé de 6 évènements simples qui ne sont pas disjoints vu qu'on demande P(a|b) : a sachant b donc b est déjà produit quand a va pourvoir se réaliser. Donc pas disjoints.

--> P(a|b) = [ P(a INTER b) ] / (P(b))

b est réalisé en premier mais S pas équiprobable donc P(b) pas égal à 1/6...

"Aucun de ces évènements n'est impossible" donc pas de proba nulle.

P(A inter B) = P(a).P(b)
donc :
P(a|b) = [ P(a) . P(b) ] / (P(b)) = P(a)

Donc la proba de a sachant l'évènement b déjà réalisé vaut la proba de a...



Bon là je m'égare c'est pas bon...

J'ai fais un diagramme de Venn pour m'aider : Un représente b par un cercle avec a dedans donc a et b seraient indépendants.

Je bloque je vois pas comment on peut raisonner ici sans valeurs

Alors, je ne suis pas d'accord avec ton interprétation pour ma part.

On va remettre une nuance de plus pour bien comprendre les choses. Deux évênements disjoints sont dit incompatibles c'est à dire qu'intuitivement ils ne peuvent pas être réalisé en même temps.

Donc lorsque je donnais l'exemple sur les boules rouges et noires c'était de cela qu'il s'agissait. EN effet si je pose:

A="je tire une boule rouge"
B="je tire une boule noire"
L'univers est une urne qui contient des boules rouges et noires.
Et on tire qu'une seule fois.

On constate donc que lorsque je vais sortir la boule de l'urne soit elle est rouge soit elle est noire. En effet, on ne pas pas tirer une boule qui soit noire (soyons cohérent totu de même ). Par conséquent, on constate que A et B sont incompatibles (ou disjoints comme tu le souhaites c'est la même choses).

On a donc A∩B=∅

On a donc le résultat suivant: P(A∩B)=P(∅)=0 (car P(∅)=0)


Enfin, pour en finir avec le vocabulaire, lorsqu'on définit un ensemble fondamentale (aussi appelé Univers) à l'aide d'évênements élémentaires c'est évênement sont disjoints car élémentaire justement!

Citation :

Ici, l'ensemble S est composé de 6 évènements simples qui ne sont pas disjoints vu qu'on demande P(a|b)

Ta démarche est fausse.

En effet, je pourrai te demander la probabilité de "g", P(g). Vu que g n'est pas dans l'ensemble fondamentale, on en conclut donc que P(g=0 tout simplement. Donc ce n'est pas parce qu'on demande la probabilité de A sachant B que justement A et B ont un lien entre eux.

Ici A et B étant élémentaire dans l'ensemble fondamentale, on a donc le fait que A et B sont justement incompatbile/disjoints.

Est-ce que tu comprends le raisonnement?

Je te laisse conclure.

Donc lorsqu'on a une écriture du type : S = {1 ; ..: n}, les évènements sont toujours disjoints.

On me demande P(a|b) : a et b sont disjoints donc ils ne peuvent se réaliser en même temps. On réalise d'abord b et ensuite a.

P(a|b) = P(A∩B)/P(B) or, comme a et b sont disjoints, ils sont indépendants donc n'ont pas d'intersection donc P(A∩B) est nul donc P(a|b) = 0


Dans le cas général, on pourrait dire que P(a|b) pour des évènements de S = {1 ; ..: n} est toujours nul non?

Disjoint n'implique pas indépendant!!

En effet, pour prendre un exemple. Lancé de dé avec un dé non pipé. A="tomber sur 5", B="tomber sur 2"

Donc P(A)=1/6 et P(B)=1/6 (non-pipé => équirépartition des chiffres du dé)

Si on considère A et B indépendant, on aura: P(A∩B)=P(A)*P(B)=(1/6)*(1/6)=1/36

Or lorsqu'on tire un dé, on ne peut pas en même temps tomber sur 5 et sur 2.
Donc A et B sont disjoints/incompatibles (il faut mieux utiliser incompatible pour éviter les confudions à la rigueur).
D'où A∩B=∅
Donc P(A∩B)=0 (!!!!!)

Par conséquent, être incompatible n'implique en rien le fait d'être indépendant.

Est-ce que ça commence à prendre forme?

Sinon, pour répondre à ta question, lorsqu'on définie un ensemble fondamentale en expension c'est à dire ne donnant tous les évênement élémentaire sous la forme A={a₁; .....; a_n}, on a donc A=Èa_i et de plus:
P(A)=P(a₁)+ ... + P(a_n)

Et cette écriture là, nous dit directement que P(a₁È...Èa_n)=P(a₁)+ ... + P(a_n)

Et ceci est vraie dans le seul cas où l'intersection entre chaque évênement est vide. Sinon, il faudrait soustraire toutes les intersections justement si elles n'étaient pas toutes vides.
Donc à fortiori, tous les évênements sont incompatible et donc P(a_i|a_j)=0 si i différent de j.

Est-ce plus claire? La difficulté des probabilité est le vocabulaire mais une fois acquis et compris cela va être beaucoup plus fluide normalement.

Bon courage pour la suite!

Donc disjoints = incompatibles se dit d'évènements qui ne peuvent avoir lieu en même temps : ici, impossible en un lancer de tomber sur 2 et sur 5 en même temps (vu qu'on lance qu'un seul dé).

Les évènements étant incompatibles on peut les représenter comme suit :


Et le fait d'être incompatible ne joue pas sur le fait d'être indépendant car dans indépendant on a la notion de probabilité et indépendant signifierait que la proba de l'un n'influencerait pas la proba de l'autre.


A={a1; .....; an} = Sigma (n ; i=1) (a_i)
avec : P(A)=P(a1)+ ... + P(an) donc P(A) = Sigma (n ; i=1) (P[a_i])

Vrai quand évènements incompatibles car il faudrait soustraire les intersections entre les zones.


Pour en revenir à notre question :

Question 1 :

Soit un ensemble fondamental S constitué des évènements élémentaires suivants : S = {a, b, c, d, e, f} sachant qu'aucun de ces évènements n'est impossible. A chaque évènement est associée sa probabilité P. L'ensemble n'est pas équiprobable.

a) Quelle est la valeur de P(a|b)? :

On a un ensemble S composés d'évènements simples incompatibles mais pas forcément indépendants. Si des évènements sont incompatibles alors, les intersections entre ces évènements sont nulles donc inexistantes (en reprenant Venn on aurait ici 6 cercles tous séparés les uns des autres dans l'ensemble S) DONC :

P(a|b) = P(a Inter b) / P(b) or, les intersections sont nulles donc P(a inter b) = 0 donc forcément, P(a|b) = 0.

PS : En fait, on aurait également eu 0 pour P(b|c) ..... et même pour P(b|a) logiquement non?


b) On considère deux évènements composés : M = {a, b, c} et N = {d, e, f}.
Que peut-on dire de M et N : disjoints ou indépendants?

--> a, b, c, d, e, f étant eux même disjoints / incompatibles, M et N comportant chacun 3 évènements différents et eux-même incompatibles, M et N seront forcément incompatibles = disjoints.


c) On dispose de l'information suivante : P(d) = 2P(a) ; P(e) = 2P(b) et P(f) = 2P(c). Quelle est la probabilité de P(N)?

Déjà, on constate que P(N) = 2*P(M) donc la proba de N est deux fois plus importante que celle de P(M). La somme des toutes les proba = 1 et comme pas équiprobable et avec ce qu'on vient de démontrer :

P(N) = 2 * P(M)
P(M) = P(N) / 2

P(N) + P(M) = 1 (cas général)
Je remplace P(M) par la valeur ci-dessus :
P(N) + P(N)/2 = 1
[2(PN) + P(N)] / 2 = 1
3P(N)/2 = 1
3P(N) = 2
P(N) = 2/3

Je retombe bien sur la réponse donnée même si ma méthode est assez longue et je pense qu'on peut faire plus rapide mais c'est un bon début je pense. Bon, attaquons-nous à la question suivante :

--> Un médecin visite une famille de 3 enfants qu'il voit pour la première fois. Le premier enfant qu'il examine est une fille. On suppose l'équiprobabilité des évènements {fille} et {garçon}.


Déjà je vais extraire les données de l'énoncé ça rendra la réflexion plus claire et facile :

* 3 enfants (qu'il voit pour la première fois : je ne sais pas si ça c'est utile par contre).
* 1er enfant examiné = fille qu'on note F (et G pour garçon bien entendu)
* Ensemble équiprobable.

a) Quelle est la probabilité que les deux enfants qu'il examinera soient également des filles?

Dans cet énoncé et dans sa formulation, je pense qu'il y a une idée de proba conditionnelle : on sait que le premier enfant examiné est une fille et on pourrait reformuler la question par : "Quelle est la proba que les 2 enfants qu'il examinera ENSUITE soient des filles?"

Je note A = "Les deux derniers enfants = filles" et B = "Le premier enfant est une fille"

--> On va chercher (A|B) :

[center](A|B) = P(A inter B) / P(B)[center]

Les différents cas possibles de l'ensemble que je note E :

GGG
GGF
GFG
GFF

FGG
FGF
FFG
FFF

*P(B) => 4 cas répondent au fait que 1er enfant = F donc P(B) = 4/8 = 1/2

* P(A inter B) => P(A U B ) = P(A) +P(B) - P(A inter B) avec P(AUB) = 4/8 :
FGG, FGF, FFG, FFF et P(A) = 1/8 et P(B) = 1/2 donc :
P(A U B ) = P(A) +P(B) - P(A inter B)
4/8 = 1/8 - 1/2 - P(A inter B)
4/8 - 1/8 + 1/2 = - P(A inter B)
3/8 + 4/8 = 7/8 = - P(A inter B)
P(A inter B) = -7/8 proba négative déjà c'est pas bon...

Dans ce cas je vois pas du tout comment ils sont arrivés au 1/7 donné en résultat...

Bonjour,

C'est tout à fait ça pour la première question en tout cas. Ce qui joue ici pour dire que les évênements sont incompatible c'est qu'ils sont élémentaires. En effet, un évênement élémentaire n'est pas l'union ni l'intersection de plusieur évênement et par conséquent n'a aucune intersection avec un autre évênement élémentaire.

Pour la b) c'est nickel. On peut le dire plus simplement, on remarquant simplement que N et M sont composer d'évênement élémentaire. Donc si leur intersection était non vide, il y aurait un évênement commun au deux ce qui n'est pas le cas. Donci l sont incompatible c'est à dire disjoint. Et ilne sont pas indépendant car P(M)=P(a)+P(b)+P(c) qui est non nul par hypothèse et de même pour P(N) non nul donc la multiplication des deux est non nul ce qui est différent de P(M INTER N)=0.

Excellent pour la c) !!

Pour l'exercice avec le médecin, tu as oublié un fait cruciale. En effet, avoir un garçon ou avoir une fille sont deux évênements complétment indépendant. C'est évident que d'avoir eu une fille en premier n'affectera pas la probabilité d'avoir une fille au deuxième ou un garcçon.

Nous somems donc face à des évênements indépendant. Par conséquent, ton raisonnement est bon mais son utilisatino est bancale. Car P(A INTER B)=P(A)*P(B) tout simplement.
La réponse n'est pas 1/7 (le 7 au dénominateur est de toute évidence impossible d'ailleurs vu qu'on a un univers de 8 cas possibles, il est donc fort peu probable qu'on trouve une prababilité de la forte x/7).

Est-ce que tout ceci s'éclaircit?

Bon courage!

Ils ont dû se planter dans la correction alors.

Reprenons :

--> Un médecin visite une famille de 3 enfants qu'il voit pour la première fois. Le premier enfant qu'il examine est une fille. On suppose l'équiprobabilité des évènements {fille} et {garçon}.

On est face à des évènements indépendants : le fait d'avoir une fille en premier n'affecte pas le fait que le second enfant soit un garçon etc... comme tu l'as signalé.

--> Pour 2 évènements indépendants : P(A Inter b) = P(a) * P(b).

a) Quelle est la probabilité que les deux enfants qu'il examinera soient également des filles?

Je note A = "Les deux derniers enfants = filles" et B = "Le premier enfant est une fille".

Ici on cherche toujours P(A|B) :

P(A|B) = P(A inter B) / P(B) avec P(A inter B) = P(A) * P(B) car les deux évènements sont indépendants.
P(A|B) = P(A)*P(B) / P(B)

On a toujours un ensemble à 8 cas possibles :

GGG
GGF
GFG
GFF

FGG
FGF
FFG
FFF

--> 4 cas répondent à l'évènement B : "1er enfant = F" donc P(B) = 4/8 = 1/2.
--> 1 cas répond à l'évènement A : " deux derniers enfants = F" donc P(A) = 1/8.

Donc :

P(A|B) = P(A)*P(B) / P(B) = [(1/8) * (1/2)] / (1/2) = (1/16) / (1/2) = 2/16 = 1/8.

C'est un peu compliqué comme rédaction mais au moins tout le raisonnement y est en effet.

On peut dire plus simplement que la probabilité que les deux suivante soit des filles sachant quel a première en était une est égale exactement à la prbabiltié d'avoir trois filles tout simplement.

Sahcnat qu'il y a indépendance et équiprobabiltié, nous avons donc (1/2)*(1/2)*(1/2) (1/2="probabilité d'avoir une fille").

On peut utiliser un arbre de probablité par exemple pour mieux visualiser les choses si on le souhaite. Ici, ça se voit tout de suite sur un arbre par exemple.

En espérant que ceci commence à devenir plus clair au niveau du vocabulaire surtout.

Bon courage pour la suite!

Ah oui. Je privilégierai ta méthode vu que comme c'est du QCM la rédaction yen a pas donc le but c'est d'aller vite et bien.

b) Même question s'il sait que le 1er enfant est l'ainé.

A = "1er enfant = ainé" (je rappelle que le 1er enfant est une fille)
B = "2 autres enfants = filles"

Ici, les évènements sont là encore indépendants vu que le fait que la 1ere soit l'ainée ne change pas ce paramètre.

AinéeGG
AinéeGF
AinéeFG
AinéeFF

Je ne vois pas ce que ça change..

Ce qui change c'est quel a probabilité que la première fille soit l'aînée n'est pas de 1/2 et ça change pas mal de chose carl es évênement ne sont plus indépendant car les deux autres ne seront pas à fortiori l'ainée de la famille.

Cela s'apparenterai un peu à un tirage de trois boule (fille ou garçon) sans remise.

Mis j'avoue que la question posée ainsi me laisse assez perplexe. Ils donnaient quoi comem réponse à cette question?

La réponse était 1/4.

Dans mon cours j'ai un exemple du même type, je vais le noter comme ça ça permettra d'y voir plus clair :

"Une fille de deux enfants a au moins une fille.
Quelle est la proba. que le second enfant soit une fille?

S = {GG ; GF ; FG ; FF}
avec P(F) = P(G) donc P(E) ={GF ; FG ; FF} : |E|=3 et |S| = 4

A inter E = {FF} donc |A inter E| = 1

Donc : P(A inter E) = |A inter E| / |E| = 1/3"

Là, rien de spécial.


"Une fille de deux enfants a au moins une fille.
Cette fille s'appelle Sophie"
Quelle est la proba. que le second enfant soit une fille?

E = {GSophie, SophieG, FSophie, SophieF} : |E| = 4

A inter E = {FSophie ; SophieFille} |A iner E| = 2

donc P(2nd enfant = fille) = 4/2 = 1/2"


En fait, le fait qu'on ait le prénom rajoute un cas : on avait FF et le prénom permet d'en avoir deux au lieu d'un si j'ai bien saisi : SophieF et FSophie.

C'est tout à fait ça en effet!

C'est donc ce que je disais ce que ça va changer dans notre cas c'est que le fait de la première soit une fille avait une probaiblité de 1/2 (fille ou garçon) mais le fait que le première enfant soit de plus l'aîné ne donne pasl a même prbabilité vu qu'il y avait une chance sur trois que la première soit l'ainée.

Oµn rajoute donc 2 cas supplémentaire vu qu'on peut distingué une fille parmis les trois filles.

La réponse est donc?

Bon courage!

Je vais résumer tout le raisonnement depuis le début histoire de m'y retrouver :

Ca rajoute une probabilité car sur les 3 filles, on ne sait pas laquelle est l'ainée.
Je note A l'ainée :

GGA
GAG
AGG

FFA
FAF
AFF

AGF
AFG
GAF
FAG
GFA
FGA

Normalement voici tous les cas possibles (il n'y a pas un moyen pour savoir si on n'en a pas oublié?) --> Je trouve 12 cas.

Le 1er enfant observé est une fille et c'est l'ainée : 4 cas
Les deux derniers enfants sont des filles : 1 seul cas : AFF

Donc :
P(A|B) = P(A inter B) / P(b) = 1/4

Je viens de m'appercevoir d'une erreur de ma part!!

En effet, à la quesstion d'avant, nous nous sommes trompé l'un comme l'autre pour la définition de l'univers des possibles. En effet, il n'y a pas 8 cas possibles vu que la première est une fille. Donc il y a au moins une fille dans cette famille. Par conséquent, il y a 7 cas possibles (voilà que la cohérence avec le 1/7 revient). En effet, le cas GGG n'est pas possible.

Et dans ceci, il n'y a qu'un seul cas pour avoir FFF, conclusion la probabilité est bien de 1/7 pour ce qu'on cherche.

Désolé pour le contre temps. L'arbre est donc pas possible ici car il n'y a pas de découpage constant d'une rangé à l'autre vu qu'il nous faut forcément une fille dans cette famille. Par conséquent, il faut revenir à la définition de base qui est {cardinale de ce qu'on cherche}/{cardinale total de l'univers des possible}.

Par contre pour ce que tu viens de faire l'univers totale est exacte vu que le cas où justement il y avait GGG n'intervient pas ici. Il y a donc bien 12 éléments dans l'univers des possibles. Et seulement 4 où l'ainée est prise en premier. Et parmis l'univers des possibles pour notre problème c'est à dire {AFF;AFG;AGF;AGG} seulement un des cas répond à notre problème, donc probabilité 1/4.

Est-ce que c'esst bon pour tout ceci?

Bon courage!

Je pense mais desfois les énoncés sont bien tordus.

Je vais faire d'autres exos mais là pas la correction donc je me resservirai de ce sujet.

En tout cas merci pour ton aide je commence à mieux cerner la chose.
Je posterai sûrement ça ce soir le temps de bosser ça.
Merci

Bon, je pensais que je saurais faire au moins le premier exercice mais je bloque... J'ai vraiment un problème avec les probas...

Un jeu de bridge contient 52 cartes dont 13 de chaque couleur et avec des valeurs allant de l'as au 2.

--> Quelle est la probabilité d'obtenir une main de 13 cartes contenant la dame?

Les évènements sont disjoints mais ne sont pas indépendants car ici c'est sans remise.
Sur les 52 cartes, il y a 4 dames.
On a une main avec le quart du jeu soit 13 cartes.

Notre ensemble E contient les 52 cartes du jeu.
Evènements pas indépendants car la proba que la première carte = dame est de 1/52, la seconde = 1/51 etc... jusqu'à 1/(52-13) = 1/39.

J'ai additionné tout et je trouve 0.310 mais c'est fou je trouve jamais la méthode pour y arriver...

Qu'entend-on par:

Citation :

Quelle est la probabilité d'obtenir une main de 13 cartes contenant la dame?

="au moins une"?

Par contre ton raisonnement est faux j'ai l'impression. En effet, nous n'avonsp as 1/52 chance de tirer une dame vu qu'il y en a 4 en tout comme tu l'as marqué! Il y a donc 4/52 chance de tirer une dame puis 4/51, ....., 4/(52-13).

Est-ce que tu comprends ton erreur?

Pardon j'ai mal écrit la question... Dans l'énervement parfois.. Enfin bon j'ai relu une partie du livre et je vais retenter cet exercice mais d'abord, corrigeons l'erreur :

Un jeu de bridge contient 52 cartes dont 13 de chaque couleur et avec des valeurs allant de l'as au 2.

--> Quelle est la probabilité d'obtenir une main de 13 cartes contenant les 4 dames?

Déjà on a un ensemble S = 52 cartes.
13 de chaque couleur.

Après réflexion, on peut employer le théorème de la multiplication qui découle de la formule suivante :
P(A|B) = P(A inter B) / P(B)
--> [b] P(A inter B) = P(A|B) * P(B)[b]

On pourrait très bien employer un arbre ce serait plutôt efficace mais je vais faire le calcul tout de même.

Tout d'abord, pas de remise d'où l'emploi du théorème de la multiplication.

Je note A = "tirer une carte qui est une dame."
Je note B= ?? Là, je ne saurai pas rédiger même si après j'ai le raisonnement :

P(A inter B) = P(A) * P(A|B_{1[sub]) * P(A|B[sub]1[sub]B[sub]2})..... = 1/52 * 1/51 * 1/50 * 1/49 * 1/48 * 1/47 * 1/46 * 1/45 * 1/44 * 1/43 * 1/42 * 1/41 * 1/40 * 1/39 = 6.48 * 10^-24

Tiens, tiens... Le résultat me semble bon mais la probabilité n'est pas faible elle est extrêmement faible alors que 13 cartes c'est le 1/4 du jeu donc je voyais pas ça si infime... J'ai tout de même fait l'arbre suite à cette valeur qui me semble bizarre mais en multipliant les probas des branches on trouve ça...

Donc je ne vois pas où ça aurait pu planter même si comme je l'ai dit ça semble totalement incohérent...






PS : EN lisant mon bouquin, un doute est survenu : y-a-t-il une différence entre (A inter B) et (B inter A)? Parce que des fois ils mettent :
P(A|B) = P(A inter B) / P(B) jusque là ok mais d'autres fois ils mettent :
P(B|A) = P(A inter B) / P(A) donc ça sème le doute quand même...

Bonjour,

Pour répondreà tes dernière remarque, il n'y a pas de différence entre A∩B et B∩A car ∩ est commutatif. Par contre, il y a bel et bien une différence entre P(A|B)=P_B(A) et P(B|A)=P_A(B).

En effet, P_B(A)=P(A∩B)/P(B) alors que P_A(B)=P(A∩B)/P(A)

Sinon pour ton exercice, je ne comprend pas très bien ton raisonnement. En effet, pour toi d'après ce que tu écrit, il y a toujours 1 chance sur le nombre de carte qu'il reste pour tirer une dame. Or lors du tout premier tirage, il y a 4 chances sur 52 de tirer une dame vu qu'il y a 4 dames dans le paquet de carte.

Ensuite, si tu ne tires pas de dame à la première occurence, tu auras 4 chances sur 51 cartes ce qui augmente donc la probabiltié de façon bien plus conséquente.

Si tu veux t'en persuader, il faut regarder un jeu de 5 cartes avec 4 dames dans ce jeu là. Tu n'as pas une probabilité de 1/5 de tirer une dame! Tu as une probabilité de 4/5 de tirer une dame et si tu n'as la dame au premier tirage, il ne restera plus que des dames dans le paquet et donc une probabilité de 1 de tirer une dame.

Ton arbre doit être fait en considérant à chaque coup la probabilité de tirer une dame en fonction du nombre de dame qu'il reste dans le paquet. Il y a 13 tirage dans le paquet et donc beaucoup de façon de tirer les 4 dames.

Est-ce que tu comprends ton erreur?

Bon courage!

Yep j'ai compris là où je me suis planté après, reste à bien mettre ça en oeuvre.

On veut la proba de tirer les 4 dames dans la main de 13 cartes :

° 4 dames dans les 52 cartes.
° On tire 13 cartes.
° Sans remise donc évènements pas indépendants.

(4/52) * (3/51)*(2/51) * (1/50)

Déjà, dans la longue multiplication qu'on devra faire on aura un truc de ce style mais tout de même, tirer les 4 dames du premier coup c'est quand même gros et ça pourrait très bien être 1/39 par exemple si on tire la dernière dame en 13è carte.

Il faudrait donc que je répertorie tous les cas possibles mais ça me paraît énorme et je pense qu'il y a une autre méthode plus subtile.

Je vois pas. J'ai beau comprendre le raisonnement etc à part répertorier tous les cas je vois pas comment on peut faire

En effet, ici tu donnes la probabilité optimale. Genre le joueur chanceux qui tire une dame à chaque coup. Mais il faudrait avoir toute les autres configuration puis déduirel eur probabilitépour enfin pouvoir conclure. Mais bon ceci est trop long en effet.

Mais le jeu est plus simple que cela en fait. Le but est de tirer 4 dames parmi 52 cartes avec 13 tirages. Une autre façon del e dire c'est qu'on effectue un tirage de 13 cartes parmi 52 cartes et on souhaite que dans se tirage il y est 4 dames parmis les 13 cartes.

Est-ce que tu vois l'idée se profiler? Il ne s'agit plus de quotient de cardinaux d'ensemble cette fois ci (quoique en fait c'est différent dira-t-on) mais d'un ttirage multiple dans un ensemble. On cherche donc à faire des paquets d'ensemble dans un gros paquet.

Est-ce que la notion d'arrangement ou de coefficient binômiaux te rappelle quelque chose?

Bon courage!

Binome de Newton?

Oui cela à un rapport avec le binôme de newton en effet mais on peut les définir de façon purement probabiliste aussi comme étant le nombre de façno de faire des paquet de k objet parmis n élément (k parmi n).

Donc ici, l'ensemble des possible c'est faire de piocher 13 cartes parmis 52 puis parès de considérer la possiiblité de tirer les cartes dames.

Bon courage!