Comparaison de nombres réels

Bien le bonsoir la Team !


J'ai eu un Devoir-commun de mathématiques ce matin.

Puis cette après-midi en parlant un peu d'un exercice qui posait problème à tout le monde, avec mes amis. On s'échangeait un peu ce que chacun avait mis pour cette question piège (qui l'est peut-être, ou pas).

Il s'agissait de comparez 3 et (√5 + √31)/2



Moi j'ai choisit de mettre au carré. J'ai fait une faute c'est de développer √5 et √31 comme si c'était une identité remarquable. Donc à la fin je trouvais un nombre supérieur à 9.
Donc pour moi 3² < *nombre supérieur à 9*


Les autres ont bien calculé et on trouvait que 3² et [(√5 + √31)/2]² étaient égaux. Mais que parcontre sans les carrés il n'étaient pas égaux et que le résultat de (√5 + √31)/2 était bien supérieur à 3.

Tout celà me turlupine... J'aimerai savoir ce que vous en pensez. Et avoir la vraie réponse, pour que je puisse me faire une vraie idée de ma prochaine note en math :p


A très vite.
Amicalement.

Bonsoir Darka,

Désolé pour tes amis mais tu as tout à fait juste à cette question .

Explication:

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

C'est à dire que: si 0 < a < b Alors 0 < a² < b²

L'explication que tu verras ou que tu as déjà vu vient du fait que la fonction x |-> x² est croissante sur [0; +∞[


Ensuite, lorsque tu passes au carré, on a:
3²=9

et

[(a+b)/2] = (a+b)²/4 = (a² + 2*a*b + b² )/4 (avec les valeurs de a et b correspondantes)
Il s'agissait bien d'une identité remarquable.

Et enfin, à la fin, tu trouves que [(a+b)/2]² = 9 + √(155)/2 > 9

Donc tu as bien: 3 < (a+b)/2

En espérant que ceci t'éclairera comem tu le souhaites et te rassure.

@bientôt au sein du forum!

Yahouuuuuuuuuu !!!!!
Je suis trop content de moi !!! :p

Blagu'cuicui a écrit:

Bonsoir Darka,

Désolé pour tes amis mais tu as tout à fait juste à cette question .

Explication:

Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés.

C'est à dire que: si 0 < a < b Alors 0 < a² < b²

L'explication que tu verras ou que tu as déjà vu vient du fait que la fonction x |-> x² est croissante sur [0; +∞[


Ensuite, lorsque tu passes au carré, on a:
3²=9

et

[(a+b)/2] = (a+b)²/4 = (a² + 2*a*b + b² )/4 (avec les valeurs de a et b correspondantes)
Il s'agissait bien d'une identité remarquable.

Et enfin, à la fin, tu trouves que [(a+b)/2]² = 9 + √(155)/2 > 9

Donc tu as bien: 3 < (a+b)/2

En espérant que ceci t'éclairera comem tu le souhaites et te rassure.

@bientôt au sein du forum!

Et maintenant si on prend 3 et [√5 + √31]/2, chacun à leur tour en remplacant les x de cette fonction : -2x²+8x+1

g(3) sera quand meme inférieur à g([√5 + √31]/2) ?

J'ai justifié ça bien sur en faisant LES calculs...

(la fonction éditer pour éviter les doubles posts . Blagu'cuicui)

Alors ???

blagu'cuicui, cherche, mais tu lui poses une colle là, sans utiliser des arguments de niveau trop élevé, il lutte.

Okey, j'attends encore un peu alors

En effet, je ne vois pour le moment qu'un argument qui te sera accessible que l'année prochaine (toujours le cours sur le polynôme d'ailleurs ).

Cependant, je peux hélas te dire que ta réponse est fausse. L'inégalité est bien dans l'autre sens.

Mais pour essayer de te donner une justification, j'aurai besoin de savoir si, on t'as donné le graphique de la fonction ou si tu l'avais à tracer avec cette question. Ou si il y avais des questions sur la fonction G toujours avant la question qui te demande de déterminer l'inégalité.

Blagu'cuicui a écrit:

En effet, je ne vois pour le moment qu'un argument qui te sera accessible que l'année prochaine (toujours le cours sur le polynôme d'ailleurs ).

Cependant, je peux hélas te dire que ta réponse est fausse. L'inégalité est bien dans l'autre sens.

Mais pour essayer de te donner une justification, j'aurai besoin de savoir si, on t'as donné le graphique de la fonction ou si tu l'avais à tracer avec cette question. Ou si il y avais des questions sur la fonction G toujours avant la question qui te demande de déterminer l'inégalité.

euhhhh Non mais on me demandait à la suite de la comparaison, d'en déduire et de justifier avec g(3) et g(√5+ √31 le tout divisé par 2)
sachant que g(x)=-2x²+8x+1 (si mes souvenirs sont bon)

Alors alors, nous avons une démonstration pour cette question.

Nous utilisons en fait une factorisation de la fonction G sous la forme A*[(x-B)² - C] (on appelle cette forme, la forme canonique de G, tu l'as déjà entre-vue ne cours je pense).

Le but étant de factoriser G sous la forme A₁*(x - B₁)*(x - C₁) qui est beaucoup plus pratique poru faire des encadrements.

Maudi'cuicui a commencé la rédaction de ceci et elle va bientôt poster cette solution.

Désolé pour l'attente mais il est parfois difficile de trouver une solution simple par rapport à tes acquis. tu verra que l'année prochaine, tu pourras résoudre cette question en 2 lignes soit environs 2 minutes en utilisant les variations des fonctions polynômes.

Bonsoir darka ,
Comme te la dis blagu’cuicui , on va utiliser ce qu’on appelle la forme canonique qui consiste en fait à faire apparaître une identité remarquable dans ton polynôme :

g(x) = -2x²+8x+1 = -2 ( x² - 4x - ½)
= -2 ( x² - 4x + 4 – 4 – ½)
= -2 ( ( x – 2 )² - 4 – ½ )…………………………. identité remarquable
= -2 ( ( x – 2 )² - 9/2 )
= -2 ( ( x – 2 )² - (3/√2)²) …………........... identité remarquable
= -2 ( x – 2 – 3/√2) (x – 2 + 3/√2)

Si on appelle A = (√5 + √31)/2
On a vu que 3 < A

Donc 3 – 2 – 3/√2 < A - 2 – 3/√2 (a)

Et 0 < 3 – 2 + 3/√2) < A – 2 + 3/√2) (b)

Donc, en multipliant, on obtient :

[3 – 2 – 3/√2]*[3 – 2 + 3/√2)] < [A - 2 – 3/√2]-[A – 2 + 3/√2)]

Enfin, on multiplie par -2 :

-2*[3 – 2 – 3/√2]*[3 – 2 + 3/√2)] > -2*[A - 2 – 3/√2]*[A – 2 + 3/√2)]

Ainsi g(A) < g(3)

Voilà, j'espère que cette explication te satisfait!
Bon courage!

Merci beaucoup !
Je pense avoir fait faut à cette question.
en mettant tout au même dénominateur... puis en trouvant un truc bizarre avec plein de racine carré :S