[1ère S] Etude de fonction - URGENT

J'ai besoin d'aide à propos d'un exercice (dur) sur une étude de fonctions.

Soit h la fonction : x -> sin x-x définie sur [0;+infini[.
1)a) Etudier les vartiations de h.
b) En déduire que, pour tout x > 0, sin x < x.
2) En utilisant le résultat précédent, démontrer que pour tout x>0, cos x - 1 + (1/2)x² > .
3) Etudier le sens de variation de la fonction f : x -> sin x - x + (x^3/6) sur [0;+infini[.
4) En déduire que, pour tout réel positif: x-(x^3/6) <(ou egal) sin x <(ou egal) x.

Si vous pouviez m'aider ce soir siouplait

Bienvenu à toi sur notre forum.

Prenons les question dans l'ordre.

1)a) La méthode consiste à trouver la dérive de h, et d'étudier son signe sur [0;+∞], il est utile de se rappeler que pour tout x Є R, -1<cos(x)<1, ensuite tu en déduis la variation de h,et tu présente tout cela dans un tableau.

b) la déduction est direct à partir de la question précédente.

2) on reprend le même raisonnement que la question précédente, on dérive, on regarde le signe, on en déduit la variation.
Il manque quelque un bout de l'expression mais je pense que c'est 0.
Attend toi à tomber à un moment sur sinx-x, ou x-sinx.

3)On recommence encore une fois et cette fois on doit tomber sur l'expression de la question 2).

4)la réponse se déduit directement de la question précédente sachant qu'on à déjà la seconde partie de l'inéquation depuis la question 1)b).

donne ce que tu trouve ou pense avoir trouvé au fur et à mesure.
bonne chance.

C'est vrai que dit comme ca, ca parait plus simple vu que toutes les questions sont un peu semblables, mais le probleme c'est quand on ne sait pas faire la premiere :S
J'ai essayé mais je ne sais pas du tout ce que ca donne, et comment faire une bonne redaction:

1)a) h'(x)=cos x-1
or cos x-1 est en dessous de 0 et cos x en dessous de 1.
Alors cos est négatif
Donc sin x-x est décroissant ?

Je ne sais pas non plus comment faire mon tableau...

c'est le bon résultat,mais l'ordre du raisonnement est un peu embrouillé.
cos x ≤ 1 donc cos x-1 ≤ 0, donc sin x - x est décroissant.
Pour le tableau tu mets h'(x) sur la première ligne , et un - au milieu pour montrer que c'est négatif.
tu mets h(x) sur la deuxième ligne, ça valeur en 0, càd 0, ça limite en +∞, càd -∞ et un fleche descendante au milieu pour montrer la décroissance.

x	0 +∞
h'(x)	-
h(x)	0 ->(vers le bas) -∞

en gros ça donne ça(le +∞ tout à gauche, et le - au milieu).

pour la seconde partie de la question sin x - x décroissant, et = à 0 en 0 donc <0 sur [0;+infini[.

ensuite si tu pouvais me donné la seconde dérivé pour la question 2)

je sais pas je comprends pas comment on l'obtient en fait? c'est du cour, ou ca se trouve?

En fait il faut étudier la fonction: cos x - 1 + (1/2)x².

Pour la dérivé de cos x - 1 + (1/2)x² :

-1 est une constante, elle disparait.
cos x est une dérivé usuelle que tu doit connaitre, tout comme x².

Dérive séparément chacun des éléments de l'expression et tu trouveras, il n'y a rien de compliqué.

dérivée de cos x = - sin x dérivée de 1 = 0 dérivée de 1/2 x² = 2*(1/2)x=1x
donc h'(x)= - sin x + x ?

Attention ce n'est plus h le nom de la fonction appelle la i.
C'est ça, tu n'as plus qu'à en déduire le tableau de variation, réutilise la question précédente pour trouver le signe de x - sin x, tu en déduis le signe de la fonction et donc l'inégalité demandé.

Bonsoir @toutes et tous,

Je vais vous proposer une correction de cette exercice qui utilise surtout des études de fonction et des études de signes. Je vous rappelle l'énoncer:

Citation :

Soit H la fonction : x |--> Sin(x) - x définie sur [0;+∞[,

1)a) Étudier les variations de H.
b) En déduire que, pour tout x≥0, Sin(x)≤x.

2) En utilisant le résultat précédent, démontrer que pour tout x≥0, Cos(x) - 1 + (1/2)*x² ≥ 0.

3) Étudier le sens de variation de la fonction F: x |-> Sin(x) - x + x³/6 sur [0;+∞[.

4) En déduire que, pour tout réel positif: x - x³/6 ≤ Sin(x) ≤ x.

Le but de cette exercice est en fait de pouvoir encadrer la fonction sinus par deux fonctions polynômes (l'une de degré 3 et l'autre de degré 1). Ainsi, on pourra facilement trouver une approximation de notre sinus en utilisant les deux autres fonctions par exemple. Cette exercice propose une démarche poru y arriver et nous allons donc la suivre.

1)a) On a:
Pour tout xЄ[0 ; +∞[, H(x)= Sin(x)-x

Donc pour tout xЄ[0 ; +∞[, H'(x)=Cos(x)-1 (car la fonction sinus est dérivable sur l'intervalle considéré et de dérivée égale à la fonction cosinus)

Pour trouver les variation de la fonction H, il nous reste donc à trouver le signe de sa dérivée c'est à dire le signe de Cos(x)-1 sur [0 ; +∞[.

Or pour tout xЄ[0 ; +∞[, -1≤Cos(x)≤1 c'est à dire que -2≤Cos(x)-1≤0
Donc pour tout xЄ[0 ; +∞[, H'(x)≤0

D'où H est décroissante sur [0 ; +∞[

b)
On sait d'après 1)a) que H est décroissante sur [0 ; +∞[.
Donc pour tout x≥0, H(x)≤H(0)
Or H(0)=Sin(0)-0=0

Donc pour tout x≥0, H(x)≤0 c'est à dire Sin(x)-x≤0
D'où pour tout x≥0, Sin(x)≤x


2)
Pour tout xЄ[0 ; +∞[, on pose: K(x)=Cos(x)-1+(1/2)*x²

On a donc: pour tout xЄ[0 ; +∞[, K'(x)=-Sin(x)+2*(1/2)*x=-H(x)
Or d'après b), pour tout xЄ[0 ; +∞[, H(x)≤0

Donc pour tout xЄ[0 ; +∞[, K(x)≥0
D'où K est croissante sur [0 ; +∞[

Donc pour tout xЄ[0 ; +∞[, K(x)≥K(0)
Or K(0)=Cos(0)-1+(1/2)*0²=0

D'où, pour tout x≥0, K(x)≥0
Donc, pour tout x≥0, Cos(x)-1+(1/2)*x²≥0


3)
On a: pour tout x≥0, F(x)=Sin(x) - x + x³/6
Donc pour tout x≥0, F'(x)=Cos(x) - 1 + 3*(1/6)*x²=K(x) (K étant définie dans la question 2) )

Or d'après 2), K(x)≥0
Donc pour tout x≥0, F'(x)≥0

D'où F est croissante sur [0 ; +∞[


4)
D'après 1)b), on sait que pour x≥0, Sin(x)≤x

De plus, d'après 3), on a pour tout x≥0, Sin(x)-x+x³/6≥0
Donc pour tout x≥0, Sin(x)≥x-x³/6

Conclusion: pour tout x≥0, x-x³/6 ≤ Sin(x) ≤ x


Cette exercice est très classique lorsqu'on souhaite manipuler les dérivées des fonctions trigonométriques ainsi que les encadrements. C'est un exercice qui n'est que technique, il n'y a pas beaucoup de cours à connaître ni de réflexion à avoir pour arriver au bout de celui-ci. C'est pour cela qu'il faut s'entraîner à dériver et à utiliser les tableaux de variations.

Bonne continuation @toutes et tous et n'hésitez pas à poser vos questions!

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