[1ère ES] limites, étude de fonction, équations pour rentrée

Bonjour Cuicuiiiiiiiii comment allez vous???

Alors pour la rentrée j ai un devoir à faire sur les limites sauf que pour les limites ...je n etais pas là
J espere que vous pourriez m aider:)
Merci d ava,ce:)

Alors

Soit l'équation (E) : 1/x=x - 2 où l inconnue est un réel de l'intervalle ]0;+∞[.

1.Un élève a représenté sur sa calculatrice l'hyperbole d'équation y = 1/x et la droite d 'équation y =x - 2.Au vu du graphique ci-dessus obtenu à l'écran de sa calculatrice, combien l'équation (E)semble-t-elle admettre de solutions sur ]0 ; +oo[ ?


2.Un second élève considère la fonction g définie sur ]0 ; +∞[ par : g(x) = (x - 2 ) - 1/x

a.Determiner les limites de g aux bornes de l ensemble de definition.
B.On note g' la fonction dérivée de g.Calculer g' (x).Montrer que g est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
c.En deduidre le nombre de solutions de l equation (E) et en donner, à l aide de la calculatrice, un encadrement d amplitude 10 puissance (-2).

3.Un troisieme élève dit :"Je peux résoudre l équation (E) algébriquement" .HJustifier en résolvant l equation (E), qque ce troisieme éleve a raison.


Voila merci beaucoup d avance!

Bonsoir,

Si tu n'as pas eu de cours ou d'exercice sur les limites, la première chose à faire n'est pas de commencer ton devoir maison mais plutôt de voir un cours sur le sujet ou demander des précisions sur le sujet et surtout faire des applications simple (= de base = application de cours) sur le sujet avant d'entamer quelque chose de plus élaboré du type d'un devoir maison. Car la seule chose que cela va t'approter c'est une frustration de ne pas savoir faire les choses ce qui est logique vu que tu n'as pas vu le cours sur le sujet ni appliqué cette notion. Le but étant de ne pas se tirer une balle dansl e pied avant même de commencer. Dionc je t'encourage fortement à commencer par poser tes questions sur la compréhension du cours dans la partie "exercices de cours" pour que tu puisses bien assimiler la notion de limite avant qu'on l'applique sur ton devoir (1 semaine 1/2 pour comprendre la notion de limite c'est (très?) largement assez je pense).

Par contre, tu peux pour l'instant faie la question 1) de ton devoir maison en te souvenant du lien entre point d'intersection de deux courbes et résolution de système d'équations.

Bon courage!

j ai retrouvé mon cours de premiere de l année derniere je pense que ca va me suffir:)

Ok!
En espérant alors, car la notion de nombre dérivée et de dérivée d'une fonction dépandent fortement de la notion de limite. Il faut donc mieux avoir les idées au clair et je te recommande fortement de poser des questions à la moindre hésitation sur ton cours ou sur une application de celui-ci pour éviter d'accumuler des lacune sur la notion de limite car elle est vraiment primordiale.

Alors allons-y que proposes-tu pour la première question alors (la lecture graphique) ainsi que pour les limites aux bornes de l'intervalle (c'est à dire en 0 et en +∞) ?

Bon courage!

la derivée j ai tout compris;)))) (merci ma prof de math à 60 euros l heure)
alors j ai fais le calcule mais pour la redaction j ai du mal ...
alors

lim_{x tend vers 0} g(x) = lim_{x tend vers 0} (x - 2) - 1/x



-Lim_{x tend vers 0+} 1/x = +∞
-Lim_{x tend vers 0} x-2 =-2

Lim_{x tend vers 0+} g(x) = -∞



On a donc lim_{x tend vers 0+} (x - 2) - 1/x = -∞



C est pour la deux ça:)

(La vache vu le prix j'espère qu'elle est compétente en effet !!!! J'hallucine toujours le prix de certaine heure de cours particnulier mais bon c'est ainsi, hélas)

Alors, la rédaction en effet laisseu n peut à désirer . Essayons de mettre les éléments dans l'ordre. Déjà, on n'écrit pas "lim .. = lim ...". Pourquoi? Car imagine qu'il y a une forme indéterminée ou qu'il n'y est pas de limite, on arrive à manipuler des choses qui n'existent même pas ce qui n'est pas très conseillé.

Par conséquent, on écrit: pour tout x>0, on a: G(x)=x-2 - 1/x
Puis, on regarde la limite de chacun des termes qui composent cette fonction G dans un premier temps:

Vu que x>0, on a donc à calculer des limites lorsque x tend vers 0⁺ (c'est à dire x tend vers 0 par valeurs positives).
On a donc:
Lim_x-->0+ 1/x = +∞
Donc Lim_x-->0+ -1/x=-∞ (par multiplcation par -1).

De plus, Lim_x-->0+ x-2=-2 (car Lim_x-->0+ x = 0 et Lim_x-->0+ -2=-2 tout simplement).

Vu que cette deuxième limite est finie, on a le droit d'utiliser la propriété d'addition des limites ce qui donne ce que tu trouvais c'est àdire:

Lim_x-->0+ G(x)=-∞

Est-ce que tu comprends la démarche de la rédaction? Et pourquoi, il ne faut pas écrire "Lim ...= Lim ..."?

Bon courage pour la question suivante!

Oui je comprends ...
c est cher mais elle m explique bien:)

pour la fontion g '(x) je la caculerai demain je veux y reflechir

Et oui j ai compris ce que tu as fais!!

Pour la C par contre je pense qu il faut que je fasse un tableau de variation qui a un peut etre un rapport avec la question 2 B
Non????

La deuxième partie de la question b) c'est justement déduire les variations de g. Ainsi, on peut faire un tableau de variation de cette fonction.

Et d'après ce qu'on cherche, on constante que les solutions de notre problème sont exactement les solution de l'équation g(x)=0. A partir de là, il faut regarder le tableau de variation pour savoir le nombre de fois où la fontion va passer par 0. Et c'est exactement la réponse à la question c).

Bon courage!

alors pour la deux C.
Posté le: Mar 27 Oct 2009 9:58 am Sujet du message:

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Bonjour,

1) Tu fais seul.

2)g(x) = (x - 2 ) - 1/x

a.Determiner les limites de g aux bornes de l ensemble de definition.

Quand x tend +inf , 1/x tend vers 0 donc la limite est donnée par x .

Quand x tend vers 0+, x tend vers 0 et -1/x tend vers -inf.

b).On note g' la fonction dérivée de g.Calculer g' (x).Montrer que g est strictement croissante sur ]0 ; +oo[.

Tu vas trouver g '(x)=(x²+1)/x².

Tu conclus.


c.En deduidre le nombre de solutions de l equation (E) et en donner, à l aide de la calculatrice, un encadrement d amplitude 10 puissance (-2).

Résoudre 1/x=x - 2

c'est résoudre : x-2-1/x=0 donc trouver les solutions de g(x)=0

g(x) est continue et croissante sur ]0;+inf[ avec 0 qui appartient à lim g(x) qd x tend vers 0+ et lim g(x) qd x tend vers +inf.


mais je ne sais pas comment finir...




3.Un troisieme élève dit :"Je peux résoudre l équation (E) algébriquement" .HJustifier en résolvant l equation (E), qque ce troisieme éleve a raison.



1/x=x - 2 donne :

x-2-1/x=0

Réduc au même déno :

(x²-2x-1)/x=0

Il faut que le numé soit nul donc résoudre sur ]0;+inf [ :

x²-2x-1=0


et apres je ne sais pas voila:) merci beaucoup d avance pour votre aide:)

Bonjour,

Qu'entends-tu par: "Quand x tend +inf , 1/x tend vers 0 donc la limite est donnée par x ." ?

A la question, 2)a) le but est de déterminer les limites de g(x) lorsque x tend vers 0⁺ et lorsque x tend vers +∞. Donc la réponse doit être de la forme en bout de course:

Lim_x-->0+ g(x)=? et lim_x-->+∞ g(x)= ?

Pour la question 2)b) la dérivée est juste, il reste maintenant à trouver les variation de la fonction g car c'est le but de la question. Quelle est le rapport entre la dérivée et les variation de la fonction?

Pour la question 2)c), la rédaction que tu donnes utilise le théorème des valeurs intermédiaires mais je ne suis pas convaincu que tu l'es vu car on ne le voit pas en première S mais en terminale S sauf erreur de ma part. C'est pour cela qu'on te demande de t'aider du tableau de variation pour conclure sur cette question là.

Je ne sais pas sur quel autre forum, tu te fais aidé mais l'aide m'a l'air assez expéditive (un genre blasé de la part de ton interlocuteur j'ai l'impression). De plus, cela est flagrant qu'il s'agit d'un copier-coller car j'avais déjà donné quelques explications pour certaines questions qui sont reprises ici de manière plus que bâclées. Enfin, cela ne me gêne pas que ce soit un copier-coller (tout le monde se faisant aider comme il l'entend bien entendu) mais je n'ai pas l'impression que la démarche qui est marqué dans ton message soit bien comprise par toi car tu n'arrive pas à conclure alors que la démarche est justement orientée vers la conclusion, donc si tu l'avais toi-même faite, tu saurais exactement comment conclure car tu saurais exactement où tu vas. Et en fait c'est ce qui me gêne le plus car tu recopies quelque chose que tu ne sembles pas avoir saisi et tu cherches à conclure à partir de cette base qui est bancale. Ce n'estp as ainsi que tu amélioreras tes réflexes et ta réflexion mathématiques pour aller plus vite et mieux assimiler les raisonnements utilisés

Le but n'est pas d'arriver au résultat à tout prix sinon je donnerai moi-même les solutions mais de comprendre les étapes et les démarches utilisées dans chaque question pour arriver au résultat.

Je te laisse donc reprendre tranquillement là où nous étions et n'hésite pas à poser tes questions sur la démarche ou simplmetn de compréhension de la question.

Bon courage!

alors je vous montre le deroulement de mon calcul
g(x) =x-2 - 1/x
g'(x) = 1- (-1/x²)
g'(x)=1 + 1/x²
g'(x)=(x²+1)/x²


C est bon ça???

ca c est pour la derivée alors c est positif
car un carré est possitif:) + 1 c est possitif aussi
et divisée par un positif c est positif alors:)

oui je confirme que j ai une aide mais je veux comprendre pk il a fait ça c est pour ça que je le refait:

La méthode pour calculer la dérivée est exacte.
Et nous savons donc qu'elle est positive.

Est-ce qu'on ne peut pas avoir mieux que positif? En effet, est-ce que g'(x) peut s'annuler sur l'intervalle qu'on considère?
Qu'en déduit-on sur les variations de g?


Je ne repproche pas le fait que tu essaie de comprendre l'aide annexe mais ce n'est pas logique de faire ainsi. En effet, si tu ne comprends pas l'aide en question pourquoi chercher à conclure à partir de celle-ci? Il ne te viendrait pas à l'idée de gravir une échelle à laquelle il manque les 10 premiers barreau sous prétexte qu'au 11ième barreau, il y a ton dessert préféré. Il faut donc remettre les barreaux un par un pour arriver au résultat tout simplement.

Je te laisse conclure pour la 2)b) et quelles sont tes idées pour la 2)c)?

Bon courage!

CA S ANNULE EN +2

la methode pour les derivées elle m a coutée 90 euros:) c est normal qu elle soit bonne:)
Ba le sens de variation c est que c est positif non,

pour la 2 C

On sait que g(x) est continue et strictement croissante sur ]0;+inf[ ( J'ai oublié le mot strictement dans mon 1er envoi mais j'ai corrigé !!).

La fct g(x) croît de -infini jusqu'à +infini et 0 est évidemment compris entre -infini et +infini donc il existe un réel "a" tel que :

g(a)=0

On voit sur le graphique que :

2 < a < 3.

La dérviée ne s'annule pas en +2. C'est justement lefait qu'elle ne s'annule pas du tout qui te permet de dire qu'elle est strictement positive.

Le sens de variation n'a rien à voir avec le fait que la fonction soit positif ou pas. En effet, ce qu'on appelle variation c'est le fait d'être croissante ou décroissante ou encore constante. Donc rien à voir avec le signe de la fonction.

En fait ce qui te donne la variation de la fonction c'est le signe de sa dérivée. C'est d'ailleurs pour cela qu'on étudie le signe de la dérivée (sinon, il n'y aurait aucun intérêt ni à dériver ni à regarder le signe de cette fonction dérivée).

On va voir si tu as compris ce que tu as rédiger dans ton deuxième message. En quoi être strictement croissant à de l'importance pour conclure? En quoi être continue à de l'importance pour conclure?

Bon courage!

le fait qu elle soit continue nous permet de dire qu elle est strictement croissante:)

Il n'y a pas de rapport entre la continuité et les variation d'une fonction en fait.

La continuité, vulgairement, c'est de dire qu'on peut tracer la courbe représentant notre fonction sans lever le crayon (ceci n'est pas du tout rigoureux comme définition mais ça à le bon goût d'être visuel je pense).

La croissance d'une fonction sur un intervalle I c'est le fait que les abcisses soient rangés dans le même ordre que leurs images
c'est à dire que si je prends x,y dans I tels que x≤y alors f(x)≤f(y).

La décroissance d'une fonction sur un intervalle I c'est le fait que les abcisses soient rangés dans l'ordre inverse que leurs images
c'est à dire que si je prends x,y dans I tels que x≤y alors f(x)≥f(y).

On cosntate que la notion de continuité n'estp as du tout lié à la notion de croissance ou de décroissance. Est-ce plus clair ainsi?

Maintenant, quelle est notre intérêt de parler de stricte croissance pour la question c)? (Je maintiens que le théorème que tu souhaites utiliser est hors programme d'ailleurs mais vu que tu y tiens autant essayer de le comprendre et non de l'appliquer bêtement).

Bon courage!

je sais pas c est quoi le theoreme je suis en premiere es moi pas s:p

Pourquoi parles-tu de continuité et de stricte croissance pour répondreà la question 2)c) alors?

Tu exposes des hypothèses pour conclure, la question légitime que je me pose devant ces hypothèses c'est: "à quoi servent-elles?" ou "dans quel but les énnoncer?"

La question commence par "en-déduire". Par conséquent, il y a une relation directe entre la ou les questions précédentes et la question dont on cherche la solution. Ce qu'on a mis en évidence juste avant c'est le tableau de variation de la fonction g.

Par conséquent, qu'est-ce qui nous permet dans ce tableau de déduire la réponse à la question 2)c)? La question est en fait celle-ci.

Mais nous n'avons pas encore répondu à la question 2)b) de façon concrète vu que tu parlais du signe de la fonction g alors qu'on cherchait les variation de la fonction g à partir de sa fonction dérivée. Je pense que c'est le lien entre toutes ses choses qui n'a pas l'air d'être clair pour toi.

Si c'est le cas, il faut qu'on éclaircisse ces liens et n'hésite pas à poser des questions dans ce sens là. Et si ce n'est pas le cas c'est à dire que tout est clair entre le passage du signe de la dérivée aux variations de la fonction, quelle est la réponse à la question 2)b) et que déduisons-nous de cette réponse pour répondre à la question 2)c)?

Bon courage!

alors j ai refais le B et le C seule cette fois par contre j aimerai bien qu evous m aider dans la redaction:)

donc pour la derivée c est bon ensuite je mets


Le déno "x²" de g ' (x) qui est un carré est > 0.

Le numé qui est la somme d'un carré x² et du nb 1 est aussi > 0.

Donc (x²+1)/x² est tjrs positif car c'est un quotient de 2 nbs .


ensuite j ai fais un tableau de variation mais je sais pas comment passer de l explication "le deno....2 nbs" à mon tableau de variation

alors le tableu de varition:)


x 0 +oo


g'(x) +


signe de g(x) et là je fais une unique fleche qui monte et arrivé à +oo je mets limite trouvé dans le 2a.

ensuite pour le C.
Résoudre 1/x=x - 2

c'est résoudre : x-2-1/x=0 donc trouver les solutions de g(x)=0


on sait que g(x) est continue et strictement croissante sur ]0;+inf[ avec 0 qui appartient à lim g(x) qd x tend vers 0+ et lim g(x) qd x tend vers +inf. Du fait qu elle soit continue et stricement monotone on peut utilier le theorement de la bijonction qui est le suivante:
Soit f definie sur[a,b],, continue et stricement monotone, soit C un réel [f(a),f(b)]Il existe un unique xO solution de (fx0)=C ( merci mon cahier)

ensuite ou il faut utiliser la calculette mais je ne sais pas comment on fait...



pour la 3 et derniere question : je suis encore bloquée

1/x=x - 2 donne :

x-2-1/x=0

Réduc au même déno :

(x²-2x-1)/x=0


et apres je fais quoi?

enfin ca serait plus jolie de mettre on sait que g(x) est continue et strictement croissante sur ]0;+oo[de plus les limites de g(x) sont +oo et - OO donc d apres le theoreme de la bijection l equation g(x)=0 n admer qu une seule et unique solution:)

Bonjour,

Je vais me répéter mais le fait que la dérivée soit positive ne nous permet pas de conclure à la strict croissance de la fonction g. De plus le fait de connaître le signe de la dérivée de notre fonction ne nous donne pas le signe de la fonction elle-même. En effet, j'ai déjà dit qu'il n'y avait pas de lien entre signe de la dérivée et signe de la fonction.

Tu marques que tu ne sais pas faire le tableau de variation c'est à dire passer du signe de la dérivée à la monotonie de ta fonction mais tu arrives à faire une flèche qui monte au regard du "signe de g(x)". Quel est l'intérêt de faire du bluff sur un forum d'aide? Je ne comprend pas trop ta démarche en fait car à deux reprises je t'ai dit qu'il n'y a pas de lien entre signe de la dérivée et signe de la fonction et à trois reprise tu t'en-têtes. La conclusion immédiate que je me pose c'est me lis-tu? Ou "à quoi je sers?". De même pour la question c) car le théorème des valeur intermédiaire n'est sauf erreur pas au programme et par conséquent le théorème de la bijection aussi (car il s'agit d'une application du théorème des valeur intermédiaire). De plus, tu marques des hypothèses de continuité alors même que tu ne sais pas la définition de la continuité et que tu trouve un lien entre continuité et stricte croissance (confère ton message précédent). Je veux bien qu'on utilise le théorème des valeurs intermédiaires pour répondre à l'exercice mais au moins sachons le comprendre et non l'appliquer bêtement (c'est pas la première fois que tu viens pourtant, tu dois savoir comment fonctionne le forum à force).

Je vais donc te faire des rappels de cours car il ne sert à rien de continuer cette exercice si le cours n'est pas assimilé (c'est à dire compris et/ou su). Alors allons-y:

Rappels:
Comment trouver le sens de variation d'une fonction et faire son tableau de variation?

1ère étape: On cherche l'ensemble de définition de la fonction que je vais noter I
2ème étape: On cherche l'ensemble de dérivation de la fonction (c'est à dire l'ensemble sur lequel la fonction est dérivable) que je vais noter J
3ème étape: Je dérive ma fonction sur l'intervalle J
4ème étape: Je cherche le signe de la dérivée sur l'intervalle J
5ème étape: Je déduis du signe de la dérivée, les variation de la fonction par le théorème suivant:

Théorème: Soit F une fonction dérivable,
i) Pour tout x dans I, F'(x) est positive (respectivement, strictement positive) <=> F est croissante (respectivement, strictement croissante) sur I
ii) Pour tout x dans I, F'(x) est négative (respectivement, strictement négative) <=> F est décroissante (respectivement, strictement décroissante) sur I
iii) Pour tout x dans I, F'(x)=0 <=> F est constante sur I

Démonstration: (je me limite au cas i), les autres se font de manière similaire)
Soit F dérivable sur I,
Soit x et y dans I tel que x≤y
On suppose que F est croissante sur I. Donc pour tout x et y dans I, F(x)≤F(y)

D'où F(y)-F(x)≥0 (*)
On suppose x différent de y et on fixe x dans I. La seule chose qui est variable maintenant c'est y.
De plus, on sait que y>x (on a supposer x différent de y donc l'égalité n'est lus possible) et par conséquent, y-x>0. Donc 1/(y-x) >0 (quotient de deux nombres strictement positifs)

Donc en multipliant (*) par 1/(y-x), on obtient: [F(y)-F(x)]/(y-x)≥0

De plus, on sait que F est dérivable, donc Lim_y-->x [F(y)-F(x)]/(y-x)= F'(x) (par définition)

Donc en passant à la limite en y dans l'inégalité, on obtient: pour tout x dans I, F'(x)≥0.

Conclusion: Si F est dérivable et croissante sur I alors pour tout x dans I, F'(x)≥0

Réciproquement, si pour tout x dans I, F'(x)≥0. Alors Lim_y-->x [F(y)-F(x)]/(y-x)≥0

Cela signifie que pour tout y et x tel que x différent de y, on a [F(y)-F(x)]/(y-x)≥0 (il manque un peu de rigueur pour ce passage là mais l'idée est là).
Ce quotient étant positif ou nul, cela signifie que le dénominateur est du même signe que le numérateur. Par conséquent, pour tout x et y dans I tels que x≥y alors F(x)≥F(y).
Ce qui conclut à la croissance de F sur I (par définition)
Donc si pour tout x dans I, F'(x)≥0 alors F est croissante sur I

On a donc démontré la première équivalence.

6ème étape: Dresser le tableau de variation. C'est à dire que dans la première ligne, on met x et les valeurs remarquable pour la dérivée et la fonction (c'est à dire les bornes de l'ensemble de définition ainsi que les point d'annulation de la fonction). Dans le deuxième ligne, on met le signe de la dérivée (+ si positif, - si négatif). Et dans la dernière ligne, on met les variation de la fonction (flèche montante si croissante, flèche descendante si décroissante). Et on complète les variation, en ajoutant au bout des flèches les valeurs au point remarquable (limite au borne de l 'intervalle si elle sont calculables et valeur aux points d'annulation de la dérivée).

Le fait de faire un tableau de variation permet juste de synthétiser les phrases du style: "F'(x) est négative sur I donc F est croissante sur I" ou encore "La dérivée s'annule au point x₀ en changeant de signe, donc il y a changement de variation de la fonction."

La totalité de ces étapes s'appelle l'étude d'une fonction.

Est-ce que tu comprend mieux ce qui lie la notion de dérivée et la notion de variation? Est-ce plus clair de la démarche à employer? Sinon, n'hésite pas poser tes questions.

Je te laisse reprendre la question 2)b) au vu de ce qui vient d'être dit.

Bon courage!

hhhhhan je le connais ce theoreme alors je peux dire
On sait que l ensemble de definition est ]O;+oo[

apres avoir calculer g'(x) est derivable sur ]0;+oo[ et on sait que son signe est postif

5ème étape: Je déduis du signe de la dérivée, les variation de la fonction par le théorème suivant:

Théorème: Soit F une fonction dérivable,
i) Pour tout x dans I, F'(x) est positive (respectivement, strictement positive) <=> F est croissante (respectivement, strictement croissante) sur I
ii) Pour tout x dans I, F'(x) est négative (respectivement, strictement négative) <=> F est décroissante (respectivement, strictement décroissante) sur I
iii) Pour tout x dans I, F'(x)=0 <=> F est constante sur I

alors on prend un x dans I exemple deux

on fait :g '(x)=(x²+1)/x².


g'(2)=(2²+1)/2²
g'(2) =5/4
g'(2)=1.25
2 est compris dans]0;+oo[ de plus g'(2) est positif alors g est croissante et stricement croissante sur ]O:+oo[

J pense que j ai bon là


ensuite je fais un tableau de variation
x 0 +oo

g' +


signe de g on fait la flefle possitive

lim +oo lim -00



j espere que c est ça

Et si cuicui je vous lis...Mon seul probleme c est la theorique... j ai besoin d exemple pour comprendre....je suis navrée:)

Non je me suis trompée dans la premiere phrase
je dis
apres avoir calculer g'(x) on sait que son signe est positif
voila:)